09年高考模拟试题广东省华南师大附中2009届高三综合测试(理)1440

09年高考模拟试题广东省华南师大附中2009届高三综
合测试（理） 测试题 2019.9
1,如图，已知矩形ABCD 中，AB=1，BC=a (a ≥2), PA ⊥平面A
BCD.
(1)问BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，并说明理由
(2)若PA=1，且BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求此时二面角Q-PD-A 的正切值.
Q
P
D
C
B
A
2,已知y 轴右侧一动圆1C 与一定圆4)2(:2
22=+-y x C 外切，也与y 轴相切.
（1）求动圆1C 圆心的轨迹C ；
（2）过点T （－2，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，求一点)0,(0x E ，使得AEB ∆ 是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形。

3,设函数满足1)0(=f ，且对任意R y x ∈,，都有 2)()()()1(+--⋅=+x y f y f x f xy f . （Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若数列满足：（），且, 求数列的通项；
（Ⅲ）求证：
4,已知函数 f (x) = x 3 －(l －3)x 2 －(l +3)x + l －1（l > 0）在区间[n, m]上为减函数，记m 的最大值为m 0，n 的最小值为n 0，且满足m 0-n 0 = 4．
（1）求m 0，n 0的值以及函数f (x)的解析式；
（2）已知等差数列{x n }的首项x 1 = ，公差d = ．又过点A(0, f (0))，B(1, f (1))的直线方程为y=g(x)．试问：在数列{x n }中，哪些项满足f (x n )>g(x n )？
（3）若对任意x 1，x 2∈[a, m 0]（x 1 ≠ x 2），都有成立，
求a 的最小值．
()f x {}n a 13()1n n a f a +=-*
n N ∈11a ={}n a (1)
31
12,().
22(1)f n n N f n -*⎛⎫≤+<∈ ⎪-⎝⎭()()()1
2
1
2
22f x f x x x f
++<
5,计算：= ．
6,在等比数列中，若，则的值为 . 7,一个公司有N 个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n 的样本 (N 是n 的倍数)．已知某部门被抽取了m 个员工，那么这一部门的员工数是 ． 8,已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q), f(1)=3,则
)
7()
8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(2222f f f f f f f f f f f f ++
+++++= ．
9,(不等式选讲选做题)若b a 、为正实数，3=+b a ，则b a +++11的最大值是______
10,（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，B 、C 为切点,且OC = 3，AB = 4，延长OA 到D 点，则△ABD 的面积是
_________
测试题答案
1,
解：（1）假设存在符合条件的点Q, 连AQ, 因PA ⊥平面ABCD, 则AQ 是PQ 在平面ABCD 上的射影.由三垂线定理知
.QD AQ QD PQ ⊥⇔⊥
2
2
(sin 2)x dx
-+⎰{}n a 151,4a a ==3a Q
P
D
C
B
A
当2>a 时，因AB=1, 则以AD 为直径的圆与边BC 必交于
两点, 这两点满足AQ ⊥DQ, 也就是说BC 边上存在两个点满足
QD PQ ⊥；
当2=a 时，因AB=1, 则以AD 为直径的圆与边BC 相切,切点Q 满足AQ ⊥DQ, 即BC 边上存在唯 一点Q 满足QD PQ ⊥； （2）由(1)知, 此时BC=2，Q 为BC 中点. 因PA ⊥平面ABCD, PA ⊂ 平面PAD, 则平面PAD ⊥平面ABCD, 且平面PAD ∩平面ABCD=AD.
取AD 的中点G ，连QG, 则QG ⊥AD ⇒ QG ⊥平面PAD,作PD GH ⊥于H, 连QH ，则GH 是QH 在平面PAD 上射影, 故QHG PD QH ∠⊥所以,是二面角Q-PD-A 的平面角，在PAD Rt ∆中，
PD
GD PA HG ⋅=
51
511=⨯=，在Rt △ABC 中,.5tan ==
∠GH QG
QHG
即二面角Q-PD-A 的正切值为5.
2, 解（1）由题意知动点C 1到定点（2,0）与到定直线2-=x 的距离相等，则动点M 的轨迹是以定点（2,0）为焦点，定直线2-=x 为准线的抛物线。

所以点M 的轨迹方程为.82
x y =
又点C 1在原点时，动圆不存在，所以，动点C 1的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以
（2，0）为焦点的抛物线，除去原点. （2）设直线0168,8,2:22
=+-=-=my y x y
my x l 得代入……①
).(11,064642*-<>>-=∆m m m 或解之得
H
G
Q
P
D
C
B
A
设是方程则212211,),,(),,(y y y x B y x A ①的两个实数根，由韦达定理得
16,82121==+y y m y y ，
所以，线段AB 的中点坐标为
),4,24(2
m m F -
而
,646414)(1||2
2212212-⋅+=-+⋅+=m m y y y y m AB 若x 轴上存在一点)0,(0x E , 使△AEB 是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，
则AB EF ⊥，且
AB EF 21=
,直线EF 的方程为：
)24(42
+--=-m x m m y 令0=y 得E 点坐标为)0,24(2
+m ，则()
()2
2
2242424||m m m EF ++-+=
=142
+m , 所以 .646412114222
-⋅+⋅=+m m m 解得2±=m ，
则E 点坐标为（10,0）
3, 解：（Ⅰ）因. 若令得220)0()0()0()1(=+--=f f f f 再令0=y 得2)0()0()()1(+--=x f f x f f ⇒ R x x x f ∈+=,1)( （Ⅱ）∵1)(+=x x f ，∴231)1(31)(31+=-+=-=+n n n n a a a f a ,
∴又 ∴数列是首项为2,公比为3的等比数列, ∴
1
321-⋅=+n n a ，即
（Ⅲ）∵R x x x f ∈+=,1)(，∴T=
…
23211=⋅+≥n n 另一方面：因为r r r
r r n r n r n n n n n C )21()21(321)1)...(2)(1()21
(≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+---=，
所以
综上可得命题成立.
4, 解:（1），
由题意可知m 0，n 0为方程f '(x) = 0的两根．
(0)1f =0,x y ==113(1),n n a a ++=+112,a +={}1n a +1231
n n a -=⋅-(1)11
[1](1),2(1)2f n n n N f n n -*
+
=+∈-0122331111
(
)()()()2222r r n n n n n T C C C C C n n n n =++++++
1
211
1()11111121()()()2(1)22
122222212n r n n n T ++-≤+++⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+==-=--<2
()32(3)(3)f x x x λλ'=---+
∴其中m 0 > n 0．
∵m 0-n 0 = 4
= 4，即= 0．
解得l = 6或l = -3，∵l > 0，∴l = 6, ∴f (x) = x 3 - 3x 2 - 9x + 5． 同时可解得：m 0 = 3，n 0 = -1
（2）由（Ⅰ）得A(0, 5)，B(1, -6)，∴g(x) = -11x + 5．
∴===． ∵>0，∴． 由题意，得
．
若，则，∴n < 91． 若，则，∴n > 191．
∴当n< 91或n > 191（n ∈N*）时，满足题意．
（3）由(1)有及l = 6, 易解得m 0 = 3，n 0 = -1.
=-
=
+=．
由题意，
< 0恒成立，∴恒成立．
∵m 0 = 3，∴a ≤x 1<x 2≤3．∴．
要使恒成立，只要2a ≥2，即a ≥1．∴a 的最小值为1． 5, 8 6, 2
7, n mN
8, 24
00002(3),33.
3m n m n λλ-⎧+=⎪⎨
+⎪=-⎩2
318λλ--()()n n f x g x -32395115n n n n x x x x --++-32
32n n n x x x -+()()12n n n x x x --()()n n f x g x -(0,1)(2,)n x ∈+∞11(1)10100n x n =
+-01n x <<11(1)1
10100n +-<2n x >11
(1)2
10100n +->00002(3),
33.
3m n m n λλ-⎧+=⎪⎨+⎪=-⎩()()()1
2
1
2
22f x f x x x f
++-()()()32
121212
395222x x x x x x
+++--+[]323211
1
22
2
13953952x x x x x x --++--+()3223112122
38x x x x x x ---+()22
1122324x x x x -+()()21212
328x x x x --+-(
)
()()1212
22f x f x x x f
++-122x x +>12(2,6)x x a +∈122x x +>
9, 10
48 10, 5。