华杯赛知识点模块考点分析(杂题)

华杯赛知识点模块考点分析（杂题）
华杯赛考试试题难度在几大权威杯赛中是比较高的，不过我们仔细研究每年的试题，都会发现常见的知识点模块，我们针对性的做复习巩固，相信会取得不错的成绩。

本套试题针对杯赛考试的知识点模块考点，进行分析解答。

以供参考。

构造论证与最值：
一、整体比重
构造论证、极值问题在华杯赛中还是占有相当的比重。

从十四、十五届决赛试卷来看，整体比重在16.7%。

如第十届的第3和12题，十五届的9和11题，考的都是这种类型的试题。

二、知识点分布以及难度分布
构造论证、极值问题等问题考察知识点比较分散，从最近四年的试题来看，考察过的知识点主要有：
1、等差数列估算和极值问题；
2、操作问题-----划数、最大值最小值；
3、逻辑推理-----足球赛、数独；
4、构造问题------相间染色。

【考察难度】
所考知识点以中等试题为主，含个别难题，试题以3★、4★为主。

学生基本上能下手，但是真正要得满分，还是需要加强各方面的训练！
【最近四届试题分析】
[15届决赛]右图中有5个由4个1×1的正方格组成的不同形状的硬纸板。

问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

【答案】不能
【知识点】染色分析+奇偶性分析
【分析】将长方形黑白染色，将5个图形也进行黑白染色，如下图
除④号盖住3个黑的或者1个黑的，其它均盖住一黑一白，所以5个纸板只能盖住11个黑的或者9个黑的。

矛盾！
【总结】此类题目难度不大，基本方法也是常规的黑白相间染色。

但是对解题的步骤有很高的要求！
[15届决赛]足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分，若A，
B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？
【答案】7、5
【知识点】逻辑推理---足球赛
【分析】假设ABCDE5支队伍总分为abcde，则五队总分为
a+b+c+d+e=20+e。

易知单循环赛共10场，总得分不会超过30分。

只要有一场比赛踢平，则总得分减少1分。

A队一定是3负1平；B队有可能是4平或者1胜1平2负；C队一定是2胜1平1负；D队一定是2胜2平。

所以比赛至少有 3场平局，至多有5场平局。

最后总得分最多27分，最少25分。

对应的E队伍最多7分，最少5分。

【总结】对这类题，考的是足球赛中的一些常识。

需要我们学生对基本的结论很清楚。

如总的场次、总分和平局数量的关系等等。

[14届决赛]将七位数"2468135"重复写287次组成一个2009位数"24681352468135…"。

删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按照上述方法一直删除下去知道剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 ______。

【答案】2
【知识点】操作---划数
【分析】通过找规律可以发现，第一次留下的数是编号为2的倍数的数，第二次留下的数是编号为4的倍数的数，依次类推，到最后留下的数应该是最接近 2009的，而且能写成2n形式的数，应为第1024个，7个数为一个周期，1024÷7=146…2。

对应周期的第二个数为2。

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【总结】题目本身看着很难，但是通过找规律可以快速的找到方法。

有的时候碰到很复杂的试题的时候，不妨通过找规律的方法哦。

[14届决赛]在50个连续的奇数1,3，5，…，99中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
【答案】43
【知识点】极值问题---等差数列
【分析】要使得个数尽量多，选的数尽量小即可。

考虑前n个奇数的和1+3+5+…+(2n-1)=n2.
452=2025,442=1936。

所以选的个数不能超过44个。

但44个奇
数的和必为偶数，矛盾！这样一来，最多只能取43个，而事实上是可以是实现的。

只需要从1,3,5，,89删去两个奇数即可！满足它们的和为89即可！
【总结】此题难度较大，需要学生具备估算能力、奇偶分析能力。

[13届决赛]黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是______。

【答案】2005
【知识点】极值问题---操作类
【分析】先求剩下的最大值，那么擦去的数应该尽量小，
首先擦去1,3，写上2，
擦去2,2，写生2，
擦去2,4，写上3，
……
擦去2006，2008，写上2007；
同理可知剩下的数最小为2。

所以最大值和最小值的差为2005。

【总结】此题需要学生自己去构造操作的方法。

[12届决赛]下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的"小九宫"格，其中，有一些方格填有1至9的数字。

小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个"小九宫"格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数。

请写出这个9位数，并且简单说明理由。

【答案】327468951.
【知识点】逻辑推理---数独
【分析】用（a，b）表示第a行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以方格（6，4）＝8；第3行和第5 行都有数字9，所以（7，4）＝9；正中的"小九宫"中已有数字7，所以只能是（3，4）＝7；此时，第4列中只余（5，4），这一列只有数字6未填，所以（5，4）＝6。

所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是：327468951。

【总结】这种题型考察的是生活中常见的数独，只要我们的学生接触过这类题，整体难度不会很大。

对数独，只要多接触，方法自然而然的就会成型。

华杯赛知识点模块考点分析（数论问题）
【文字：大小】
一、数论模块命题特点分析结论
1、问题考察频率较高
十四届第11题，十五届第10题连续两届对于约倍问题进行考察，且全部涉及最大公约数与最小公倍数的性质，可以预测约倍问题是今年备考的一个重点方向。

【第十四届华杯赛决赛第11题】已知a，b，c是三个自然数，且a 与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270，求b与c的最小公倍数。

【第十五届华杯赛决赛第10题】右图是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连接B或者C。

小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道周长是3米。

开始时，A连接C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接。

若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了____秒钟。

2、质合问题命中度高
十四届第6题，十五届第12题两次涉及质数合数与分解质因数的考点，有较大的预测意义。

第一次简单考察分解质因数，第二次考察质数判别法，需要考生认真整理这一部分知识框架。

【第十四届华杯赛决赛第6题】已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C的最大值为？
【答案】：1626。

【第十五届华杯赛决赛第12题】华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。

将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112=1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。

【答案】：1163是质数，理由略。

3、数字谜与分数拆分思想在压轴题中的展现
十四届第14题，十五届第14题。

对于数字谜的思想应该说华杯赛决赛已经考察了多次，但华杯赛侧重于借助数字谜的形式考察数论中整除、约倍以及余数的知识；分数拆分也是应对华杯赛数论考察的重要知识点，需要认真进行准备。

【第十四届华杯赛决赛第14题】，2011年"华杯赛"数学冬令营（北京）内部讲义（小学）P34例11）在图所示的乘法算式中，汉字分别代表1~9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。

如果"祝"字是4，"贺"字是8，求出"华杯赛"所代表的三位整数。

【答案】159。

【十五届华杯赛决赛试题A卷第14题】已知两位自然数""能被它的数字之积整除，求出""代表的两位数。

【答案】11,12,15,24,36。

二、数论模块考察难度及考生获奖需要达到的程度
1、考察难度：
约倍问题4★；质合问题3★；数字谜与分数拆分5★。

2、考生需要达到的程度：
华杯赛对于数论模块考察的偏好众所周知，因此华杯赛获奖的一大必
备条件就是数论模块的系统梳理与适量练习。

想获得华杯赛一等奖，必须要对这三类问题认识深刻，所谓"认识深刻"，指的是基本知识熟练，各种题型熟悉，复杂技巧掌握。

给各位考生提3点建议：第一，借助数论知识体系图进行系统梳理；第二，华杯赛历年数论真题演练2-3遍；第三，数论题目专题训练。

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