2018届高考数学理科二轮总复习高考大题滚动练二 含解

高考大题滚动练(二)
1．(2017·江苏苏州大学指导卷)已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x . (1)求函数f (x )的定义域和最小正周期； (2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2时，求函数f (x )的值域． 解 (1)函数f (x )的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ∈R ，且x ≠k π＋π
2，k ∈Z ，
因为f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝
⎛⎭
⎫1＋
3sin x cos x cos 2
x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋3
2sin 2x
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1
2， 所以f (x )的最小正周期为T ＝
2π
2
＝π. (2)由x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得π6<2x ＋π6<7π6， 所以－1
2
<sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )∈⎝⎛⎦⎤0，32， 即函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2的值域为⎝⎛⎦
⎤0，3
2. 2．(2017·江苏泰州姜堰区质检)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1
a n a n ＋1.
①求数列{b n }的通项公式；
②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则d >0.
由a 2a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧
(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，
4a 1＋6d ＝16，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝7，d ＝－2
(舍去)， 所以a n ＝2n －1.
(2)①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1
a n a n ＋1
， 所以b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1
(2n －1)(2n ＋1)
＝12⎝⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1， 所以b 1＝a 1＝1， b 2－b 1＝1
2⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …，
b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫1
2n －3－12n －1(n ≥2)，
累加得b n －b 1＝1
2⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝
n －12n －1， 所以b n ＝3n －2
2n －1
，n ≥2.
b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －2
2n －1
，n ∈N *.
②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－1
4n －2，
b m ＝32－1
4m －2
，
所以43＋⎝⎛⎭⎫3
2－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，
化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1
.
当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．
所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．
3．(2017·江苏新海中学质检)求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣
⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥
⎤
1
00 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．
解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣
⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥
⎤
1
00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，
则由⎣
⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤
1 00 13 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x 0，y ′＝1
3y 0
，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x ′，y 0＝3y ′， 所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣
⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥
⎤
1
00 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1. 所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝2
3
.
4．在极坐标系中，设直线θ＝π
3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A ，B 两点，求线段AB 中
点的极坐标．
解 方法一 将直线θ＝π
3化为普通方程，得y ＝3x ，
将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程，得 x 2＋y 2－10x ＋4＝0.
联立⎩⎨⎧
y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0，
消去y ，得
2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝1
2
，x 2＝2，
所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为5
43，
化为极坐标为⎝⎛⎭⎫
52，π3.
方法二 联立直线与曲线的方程组⎩⎪⎨⎪⎧
θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，
消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4， 所以线段AB 中点的极坐标为⎝⎛
⎭⎫
ρ1＋ρ22
，π3，即⎝⎛⎭⎫52，π3.。