最新上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期
期中数学试题
一、单选题 1．集合2{|1}A y y x ==-，2}{|1B x y x ==-，则下列关系式正确的是（ ）
A ．A
B = B ．A B ⊆
C ．B A
⊆
D ．[1,)A B ⋂=+∞
【答案】D
【解析】先分别求得集合A 与集合B,进而即可得集合A 与集合B 的关系. 【详解】 集合2{|1}A y y x ==
-,2}{|1B x y x ==-
则{|0}A y y =≥,|11}{B x x x =≥≤-或 对比四个选项可知,A 、B 、C 均错误.
因为{|0}|11}[1,){A B y y x x x ⋂=≥⋂≥≤-=+∞或 所以D 正确 故选:D 【点睛】
本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题. 2．已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定（ ） A ．p 为真命题 B ．q 为假命题
C ．,p q 都是假命题
D ．,p q 中至少有一个是假命题
【答案】D
【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”
才为真命题．所以应选D ．
3．若:,1A a R a ∈<,:B x 的二次方程2
(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一
根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【详解】
:,11120A a R a a a ∈<⇒-<<⇒-<，即两根之积小于零，充分性成立，反之不
成立，
A 是
B 的充分不必要条件，故选A.
4．买4个苹果和5只桃子的金额之和小于22元，而买6个苹果和3只桃子的金额之和大于24元，那么买2个苹果和买3只桃子的金额比较，其结果是（ ） A ．2个苹果贵 B ．3只桃子
C ．相同
D ．不能确定
【答案】A
【解析】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,再列出不等式进行求解即可. 【详解】
设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,由题可得4522
6324
a b a b +<⎧⎨
+>⎩,
故1215663015120a b a b +<⎧⎨+>⎩
,由不等式性质可知()()1206630151215a b a b -<+-+,化简得
3a >.
又121566
12648a b a b +<⎧⎨
+>⎩
,由不等式性质可知()()66481215126a b a b ->+-+,化简得
2b <.
故362b a <<,即买2个苹果贵. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了根据讲实际中的情景利用数学语言表达,再根据不等式的性质判断分析的方法等.属于中档题.
二、填空题
5．用列举法表示集合：4,1M m
Z m Z m ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
=_______________. 【答案】{}5,3,2,0,1,3---
【解析】易得1m +为4的因数,再分别列举即可. 【详解】 由题
4
1
Z m ∈+,故1m +为4的因数,故14,2,1,1,2,4m +=---,
故5,3,2,0,1,3m =---.故{}5,3,2,0,1,3M =---. 故答案为：{}5,3,2,0,1,3--- 【点睛】
本题主要考查了集合的元素求解,属于基础题.
6．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，则m 的值为 ． 【答案】1或﹣1或0
【解析】试题分析：由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，我们易得到集合A 是集合B 的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A ≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m 的值． 解：∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A
当m=0时，B=∅满足条件 当m ≠∅时，B={1}，或B={﹣1} 即m=1，或m=﹣1 故m 的值为：1或﹣1或0 故答案：1或﹣1或0
【考点】集合的包含关系判断及应用．
7．满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=的集合M 有___________个. 【答案】4
【解析】由集合{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，根据集合并集的运算，列举出所有的可能，即可得到答案. 【详解】
由题意，集合满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，
则集合M 可能为{,},{,,},{,,},{,,,}c d a c d b c d a b c d ，共有4种可能，故答案为4个. 【点睛】
本题主要考查了集合的并集运算及其应用，其中解答中熟记集合的并集运算，合理列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆I 的集合C 为________.
【答案】(){}
1,2或∅
【解析】先求解A B I ,再根据集合间的关系求解即可. 【详解】
因为{(,)|46}A x y x y =+=,{(,)|327}B x y x y =+=,又
461
3272x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨
+==⎩⎩
, 故{(1,2)}A B ⋂=,又()C A B ⊆I ,故(){}
1,2C =或C =∅. 故答案为：(){}
1,2或∅ 【点睛】
本题主要考查了根据集合间的关系求解集合的问题,属于基础题.
9．设全集{}2
2,3,3U a a =+-，集合{}
,3A a =，{}2U C A =，则a =___________.
【解析】根据{}2U C A =与{}2
2,3,3U a a =+-可知{}
2
3,3A a a =+-,再根据集合
相等求解即可. 【详解】
由{}2U C A =,{}2
2,3,3U a a =+-可知{}
2
3,3A a a =+-,即
{}{}2
3,3,3a
a a +-=.
故232,3
a a a a ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即
()()2230130a a a a +-=⇒-+=
,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =
【点睛】
本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题.
10．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是_____________. 【答案】不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【解析】根据逆否命题的定义直接写出即可.
【详解】
命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是“不能被5整除的整数末位不是0且不是5”.
故答案为：不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【点睛】
本题主要考查了原命题的逆否命题,属于基础题.
11．有限集S 中的元素个数记作()n S ，设A 、B 是有限集合，给出下列命题： （1）A B =∅I 的充分不必要条件是()()()n A B n A n B =+U ； （2）A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤； （3）A B =的充要条件是()()n A n B = 其中假命题是（写题号）________________. 【答案】(1)(3)
【解析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.
(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可. (3)根据集合相等的定义判断即可. 【详解】
(1)当A B =∅I 时,()n A B U 即为集合,A B 的元素个数之和,即为()()n A n B +. 又当()()()n A B n A n B =+U 时,,A B 中的元素个数和等于A B U 中的元素个数,故
A B =∅I .
故A B =∅I 是()()()n A B n A n B =+U 的充要条件.故(1)错误.
(2)当A B ⊆时,A 中的元素个数小于等于B 中的元素个数,故()()n A n B ≤, 但当()()n A n B ≤时A 也可能有不属于B 的元素.
故A B ⊆是()()n A n B ≤的充分不必要条件,即A B ⊆的必要不充分条件是
()()n A n B ≤.
故(2)正确.
(3)当()()n A n B =意为,A B 中的元素个数相等,并不一定有A B =.故(3)错误. 故答案为：(1)(3) 【点睛】
本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题. 12．集合{}0,1,2,3,4,5S =，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________． 【答案】6个
【解析】根据孤立元素的定义，并且结合集合S 可以把S 的4元子集进行一一列举，即可得到答案． 【详解】
由孤立元素的定义可得：{0S =，1，2，3，4，5}中不含“孤立元素”的集合4个元素有：
{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，
{2，3，4，5}，
所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是6个． 故答案为6个． 【点睛】
本题主要考查有关集合的新定义，解决此类问题的关键是正确理解新定义“孤立元素”，并且正确理解S 的4元子集，而在列举时应当做到不重不漏． 13．已知12a b -<<<，则2b a -的范围是______________. 【答案】()1,5-
【解析】根据不等式的性质运算求解即可. 【详解】
由题12a b -<<<,故12,12a b -<<-<<,0a b -<.
故21a -<-<,224b -<<,则425b a -<-<,又1,0b b a >-->,故21b a ->-. 故125b a -<-<. 故答案为：()1,5- 【点睛】
本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.
14．不等式组222
230
x x x a ⎧+-≥⎨<⎩
的解集是空集，则正数a 的取值范围是______________. 【答案】(]0,1
【解析】由题可知22x a <有解但与2230x x +-≥无交集在根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】
由题因为正数a ,故22x a a a x ⇒-<<<,又()()2
230130x x x x +-≥⇒-+≥,
解得1x ≥或3x ≤-.由题意有a x a -<<与1x ≥或3x ≤-无交集,故
1
13
a a a ≤⎧⇒≤⎨
-≥-⎩. 故正数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】
本题主要考查了根据集合的解求解参数范围的问题,需要根据题意分别求得不等式的取值范围,再列出区间端点满足的关系式求解即可.属于基础题. 15．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02
ax b
x +>-的解集为______
【答案】()(),12,-∞-+∞U
【解析】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞可以确定a 的正负以及,a b 的关系，从而可得
02
ax b
x +>-的解. 【详解】
不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，故0a >且0a b -=，
故
02ax b
x +>-可化为()102
a x x +>-即()()120x x +->， 它的解为()(),12,-∞-+∞U ，填()(),12,-∞-+∞U . 【点睛】
本题考查一元一次不等式的解与对应方程之间的关系及分式不等式的解法，属于容易题.
16．不等式|1||1|x x m ++-≥的解集是R ，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】(],2-∞
【解析】利用绝对值不等式分段求解的方法求得()|1||1|f x x x =++-的最小值,再利
用恒成立问题求得实数m 的取值范围即可. 【详解】
设()|1||1|f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
,故min ()2f x =.故2m ≤.
故答案为：(],2-∞ 【点睛】
本题主要考查了去绝对值求解绝对值函数的最值问题,属于基础题.
17．已知二次函数2
2
()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使
()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.
【答案】3(3,)2
-
【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使
()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以
(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210
p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3
(3,)2
-.
【考点】一元二次方程的根与系数的关系.
【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.
18．已知01b a <<+，如果关于x 的不等式2
2
2
()x b a x ->的解集中恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】()1,3
【解析】因式分解求2
2
2
()x b a x ->的解集,再根据解集中恰有3个整数解可求得区间
端点满足的不等式再列式求解即可. 【详解】
关于x 的不等式222
()x b a x ->即(
)
2
22
120a x bx b -+-<, ,
化简得()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∵()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个,
故二次函数()()1(1)a x b a x x b f ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣=⎦开口向上,又因为01b a <<+所以
10,1a a ->>.
∴不等式的解集为11b b x a a -
<<-+,因为01b a <<+所以011b
a
<<+, 所以解集里的整数是2,1,0--三个.
∴321b
a -≤-<--, ∴321
b
a -≤-
<--化简得2233a b a -<≤-, ∵1b a <+, ∴221a a -<+, ∴3a < 综上有13a << 故答案为：()1,3 【点睛】
本题主要考查了根据不等式的解集求解参数的有关问题,需要注意含参数的二次不等式因式分解求解的方法,同时需要根据函数零点的区间列出对应的不等式求解的方法,属于难题.
三、解答题
19．已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：
（1）()U U A C B B C C I U I （2）()()U U A B C C C C B U I U I 【答案】(1)
(2)
【解析】(1)先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集即可. (2)先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集即可. 【详解】
(1) 先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集可得如图阴影部分.
(2) 先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集可得如图阴影部分.
【点睛】
本题主要考查了根据集合的运算与韦恩图关系的问题,需要根据题意分段分步分析,属于基础题.
20．某商场将进货单价是40元的商品按销售单价50元售出时，每月能卖出500件该商品.如果这批商品在销售单价的基础上每涨1元，每月就减少销售10件，问此商品销售价为何值时每月可以获得最大利润？
【答案】此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润
【解析】设售价为x 元,求出销售量与利润再分析最值即可.
【详解】
设售价为x 元,总利润为y 元,则
()()240500105010140040000y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦
()2
10709000x =--+,故当70x =元时, y 取得最大值9000.
故此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润.
【点睛】
本题主要考查了建立二次函数模型解决实际问题的最优解的问题,需要根据题意建立利润y 与售价x 间的关系,再根据二次的最值求解即可.属于基础题. 21．已知不等式
3514x x -≤-的解集是A ，不等式1||2
x m x ->的解集是B ． （1）当4m =时，求A B I ； （2）如果A B ⊆，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) 831|2x x ⎧
<⎫≤⎨⎬⎩⎭；(2) 6m ≥或14
m < 【解析】(1)根据分值不等式的求解方法求解集合,A B ,再求交集即可.
(2) 先求解1||2
x m x ->
,再分m 的正负进行讨论,再利用A B ⊆列出区间端点满足的表达式求解即可.
【详解】 3535211100444x x x x x x ---≤⇒-≤⇒≤---即()()214040
x x x ⎧--≤⎨-≠⎩.解得142x ≤<. (1) 当4m =时, 求解1|4|2
x x ->
, 当4x <时有18423x x x ->⇒<.
当4x ≥时1482x x x ->
⇒>. 综上有83
x <或8x >.此时A B =I 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭ (2)先求解集合:B 1||2
x m x ->
当x m <时, 1223m x x x m ->⇒<；当x m ≥时, 122x m x x m ->⇒>. 故当0m <时,集合B R =,此时A B ⊆恒成立.
当0m ≥,因为A B ⊆,且1:|
42A x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭,3:2|2x m x x m B ⎧>⎭<⎫⎨⎬⎩或. 此时243m ≤或122m >,解得6m ≥或14m <,即6m ≥或104
m ≤< 综上所述, 6m ≥或14
m < 【点睛】
本题主要考查了分式不等式与绝对值不等式的求解以及根据不等式的解集求解参数范围的问题,需要根据题意分情况讨论求解含参的不等式,再根据集合的基本关系列出区间端点满足的关系式进行求解.属于中档题.
22．已知二次函数2
()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标是(),0c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.
（1）求不等式()0f x <的解（用a 、c 表示）；
（2）若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]1,1k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；(2) 2m ≤-或0m =或2m ≥ 【解析】(1)根据二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点可知20ax bx c ++=有两个不同的实数根,利用过(),0c 与韦达定理可求得20ax bx c ++=的两根,再根据二次函数开口方向求解即可.
(2)由题()0f c =可得10ac b ++=,代入2210m km b ac -+++≥有220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,再分m 与0的大小关系分类讨论即可.
【详解】
(1) 2
()f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点,且过(),0c 可设另一个根为2x ,利用韦达定理有221c cx x a a
=⇒=,又0,0a c >>,且当0x c <<时,恒有()0f x >,则1c a
<. ∴()0f x <的解集为1,
c a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭ (2)∵()0f c =∴20ac bc c ++=,
又∵0c >,∴10ac b ++=
故要使2210m km b ac -+++≥即220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,则 当0m >时, 2m k ≥恒成立,故 2m ≥
当0m <时, 2m k ≤恒成立,故 2m ≤-
当0m =时, 20200k -⋅≥对所有[]1,1k ∈-恒成立
从而实数m 的取值范围为2m ≤-或0m =或2m ≥
【点睛】
本题主要考查了二次函数的方程的根与不等式的关系等,同时也考查了恒成立的问题,需要分类讨论进行求解,属于中档题.
23．已知集合{}()1,2,3,,2A n n N *=⋅⋅⋅∈，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的
正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}31,C x A x k k N
*=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；
（2）当1000n =时，若集合S 具有性质P . ①那么集合{}
2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；
②求集合S 中元素个数的最大值.
【答案】（1）B 不具有性质P ，C 具有性质P ，理由见解析；（2）①T 具有性质P ，理由见解析；②1333.
【解析】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,.19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L ，根据性质P 的定义可知其不具有性质P ；{}
31,C x A x k k N *=∈=-∈，令110m =<，利用性质P 的定义即可验证；
（2）当1000n =，则{}1,2,3,,1999,2000A =L . ①根据{}
2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可说明集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；
②设集合S 有k 个元素，由①可知，任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有1个不超过1000，从而得到集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析即可求得20002
k k k t +
≤+≤，即20002k k +≤，解此不等式得1333k ≤. 【详解】
（1）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ，
{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P .
因为对任意不大于10的正整数m ，
都可以找到该集合中的两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m +=成立. 集合{}31,C x A x k k N *=∈=-∈具有性质P .
因为可取110m =<，对于该集合中任一元素1131c k =-，2231c k =-，1k 、2k N *∈. 都有121231c c k k -=-≠；
（2）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .
①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P . 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈.
因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,2000x ∈L .
从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以T A ⊆.
由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，
使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.
对于上述正整数m ，从集合{}
2001T x x S =-∈中任取一对元素112001t x =-，222001t x =-，其中1x 、2x S ∈，则有1212t t s s m -=-≠.
所以，集合{}
2001T x x S =-∈具有性质P ；
②设集合S 有k 个元素，由①可知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P .
任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000.
所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000.
不妨设S 中有2k t t ⎛
⎫≥ ⎪⎝⎭
个元素1b 、2b 、L 、t b 不超过1000. 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤.
使得对S 中任意两个元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.
所以一定有1b m +、2b m +、L 、t b m S +∉.
又100010002000i b m +≤+=，故1b m +、2b m +、L 、t b m A +∈.
即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此20002k k k t +≤+≤，所以20002
k k +≤，得1333k ≤. 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中的任意两个元素1y 、2y ，都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P .
而此时集合S 中有1333个元素，因此，集合S 元素个数的最大值为1333.
【点睛】
本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，属于难题.。