江西省吉安市2021届新高考第三次适应性考试数学试题含解析

江西省吉安市2021届新高考第三次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x
g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则
正数a 的取值范围为（ ）
A ．(]01，
B ．(]04，
C ．[)1+∞，
D ．(]
0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】
根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0
0002
42ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数
()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结
合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】
函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x g
x x a -=-⋅，
由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，
即0
000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，
令()ln 5h
x x x =+-，
∴()111x
h x x x
-'=
-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减，
∴()()14max h
x h ==，而0
024224x
x a a a -⋅+⋅≥=，
当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
2．设i 是虚数单位，复数1i
i
+=（ ） A ．1i -+
B ．-1i -
C ．1i +
D ．1i -
【分析】
利用复数的除法运算，化简复数1i
1i i
+=-，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，复数()1i (i)
1i 1i i i (i)
+⋅-+==-⨯-，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2i
C ．1i -+
D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】
22(1)22,21i
z i i z i i
+-=+=
=-. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
4．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A ．
16
37
B ．
949
C ．
937
D ．
311
【答案】C
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】
因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，
五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 5．已知集合{
}
2
{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0,1}-
C ．{2,2}-
D ．{1,0,1,2}-
【答案】A 【解析】 【分析】
化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解. 【详解】
集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，
{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .
故选:A. 【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题.
6．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<…的图象有一个横坐标为3
π
的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω
倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值
范围是( ) A ．2935,2424⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ B ．2935,2424⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ C ．2935,2424⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2935,2424⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】A 【解析】
根据题意，2cos
sin 33π
πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，
即可求出ω的取值范围. 【详解】
已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3
π
的交点， 则2cos
sin 33π
πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
Q
， 2536ππϕ∴
+=，6
πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
倍， 则sin 26y x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 所以当[0,2]x πÎ时，2,4666x π
π
πωπω⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦
， ()f x Q 在[0,2]π有且仅有5个零点，
5466
π
ππωπ∴+
<„，
29352424
ω∴<„. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 7．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-
C ．(1,3)
D ．(,1)(3,)-∞+∞U
【答案】A 【解析】 【分析】
由0ax b ->的解集，可知0a >及
1b
a
=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出
()()30ax b x +->的解集.
【详解】
由0ax b ->的解集为()
1,+?
，可知0a >且
1b
a
=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，
因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．
3
π B ．
23
π C ．π
D ．
43
π 【答案】A 【解析】 【分析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面ACM 的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求. 【详解】 如图所示：
设内切球球心为O ，O 到平面ACM 的距离为d ，截面圆的半径为r ， 因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为1， 又因为O AMC M AOC V V --=，所以12
3AMC AOC d S S ⨯⨯=
V V ， 又因为()()
2
2
1
1
225
2
6,22122
2
AMC
AOC S S =⨯-==⨯=V V
所以1263
3d ⨯=
，所以63
d =，
所以截面圆的半径3r ==，所以截面圆的面积为2
3S ππ=⋅=⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
9．已知集合{|M x y =，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2] B ．{0,1,2}
C ．{1,2}
D ．(1,2)
【答案】C 【解析】 【分析】
分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【详解】
因为集合{}|1M x x =≥，{}
{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=， 所以{}1,2M N =I 故选：C 【点睛】
本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3
n n
b a =
（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）
A ．3-
B ．13
- C ．1 D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329
f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】
因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即
329n b n =
-，因为函数()3
29
f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且53
31b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.
故选:D. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.
11．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=v
v v （ ）
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出2a b +r r ,再与a r
相乘即可求出答案. 【详解】
因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r
.
故选:C. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 12．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 B ．直线8
x π=
需是函数()y f x =图象的一条对称轴
C ．点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心
D ．将函数()y f x =图象向左平移需8
π
个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简函数得到())4
f x x π
=-，再逐项判断正误得到答案.
【详解】
()sin 2cos 2)4
f x x x x π
=-=-
A 选项，132(,)4413
220,x x ππππ⎛⎫
∈⇒ ⎪
⎝
⎭
-∈-函数先增后减，错误 B 选项，208
4
x x π
π
=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，24
4
4
x x π
π
π
=
⇒-
=
，不是对称中心，错误
D 选项，图象向左平移需8
π
个单位得到2sin(2())2sin 284y x x ππ=+-=，正确
故答案选D 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知π4cos()25-=-α，且π(,0)2
α∈-，则2
π2cos 2sin(2)4+-αα的值是____________．
【答案】1
25
【解析】 【分析】 【详解】
由于ππ4cos()cos()sin 225-=-==-ααα，且π(,0)2α∈-，则2
3cos 1sin 5
αα=-=，得
24
sin 22sin cos 25
==-ααα，则
2πππ2cos 2sin(2)1cos22(sin 2cos cos2sin )1444+-=++-=+ααααα1
sin 225
=α．
14．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天. 【答案】72 【解析】 【分析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中， 游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天， 所以在全年）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多73
3607220
-⨯=天. 故答案为：72. 【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______. 【答案】12
【解析】 【分析】
基本事件总数328n ==，三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=．由此能求出三人都收到礼物的概率． 【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同）， 基本事件总数328n ==，
三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m =⨯⨯=． 则三人都收到礼物的概率4182
m p n ===． 故答案为：12
． 【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 16．已知2
30x dx n =⎰，则(1)n x y ++展开式中2x y 的系数为__
【答案】1． 【解析】 【分析】
由题意求定积分得到n 的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中2
x y 的系数．
【详解】
∵已知2
40
32
44
x x dx n ⎰=
==，则4( 1)(1)n x y x y ++=++，
它表示4个因式(1)x y ++的乘积．
故其中有2个因式取x ，一个因式取y ，剩下的一个因式取1，可得2
x y 的项．
故展开式中2
x y 的系数211
42112C C C ⋅⋅=．
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2
ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 只有一个零点.
（1）求实数a 的值；
（2）若12x x <，且()()12f x f x =，证明：122x x +>. 【答案】（1）1a =-（2）证明见解析 【解析】 【分析】
(1)求导可得在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上()0f x ¢>,在⎛ ⎝⎭
上()0f x ¢<,所以函数()f x 在
x =
,取最小值,由函数()f x 只有一个零点,观察可知()10f =1=,即可求得结果.
(2)由(1)可知()10f =为最小值,()()12f x f x =则1201x x <<<构造函数
()()()()222ln ln 2h x f x f x x x x =--=--+-（01x <≤）,求导借助基本不等式可判断()h x 为减
函数,即可得()()110h x h >=,即()()()11120h x f x f x =-->则有()()112f x f x -<,由已知
()()12f x f x =可得()()122f x f x -<，由11<x ,可知 121x ->,因为1x >时,()f x 为增函数，即可得
122x x -<证得结论.
【详解】
（1）()2221a x x a
f x x x x
-+'=-+=（0x >）.
因为0a <，所以180a ->，
令()
0f x ¢=
得114
x =，
2x =
， 且10x <，20x >
，在⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上()0f x ¢>；
在10,4⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
上()0f x ¢<； 所以函数()f x
在14
x +=
时，取最小值， 当最小值为0时，函数()f x 只有一个零点， 易得()10f =
，所以114
+=， 解得1a =-.
（2）由（1）得1a =-，函数()2
ln f x x x x =--，
设()()12f x f x m ==（0m >），则1201x x <<<， 设()()()2h x f x f x =--（01x <≤），
则()()()()()2
2ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，
()()2
112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫
⎪
⎝⎭
， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=， 即()()()11120h x f x f x =-->，
所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->， 又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>. 【点睛】
本题考查借助导数研究函数的单调性及最值,考查学生分析问题的能力,及逻辑推理能力,难度困难. 18．已知f(x)=|x +3|-|x-2|
（1）求函数f(x)的最大值m ；
（2）正数a ，b ，c 满足a +2b +3c=m ，求证：12336
.5
a b c ++≥ 【答案】（1）5m =（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最大值.
（2）由（1）得235a b c ++=.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“1的代换”的方法，结合基本不等式证得不等式成立. 【详解】
（1）由绝对值不等式性质得()|3||2||(3)(2)|5f x x x x x =+--≤+--=
当且仅当(3)(2)0
32x x x x +-≥⎧⎨+>-⎩
即2x ≥时等号成立，所以5m =
（2）由（1）得235a b c ++=. 法1：由柯西不等式得
222222⎡⎤
⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦
2
2(123)36≥=++= 当且仅当5
6
a b c ===
时等号成立， 即123536a b c ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
，所以123365a b c ++≥
. 法2：由235a b c ++=得
231555
a b c
++=， 12312323555a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫
++=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
123246369555555555b c a c a b a a b b c c =++++++++ 142233665555555b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1446123655555
≥
+++=， 当且仅当5
6a b c ===时“=”成立.
【点睛】
本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题. 19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x a t
y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
212
3sin ρθ
=
+.
（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且PA
a 的值. 【答案】（1）()2,0-，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1a =或1a =-
【解析】 【分析】
（1）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C 与l 的交点坐标；
（2）由直线l 的普通方程为20x y a +-=，故C
上任意一点(2cos )P αα，根据点到直线距离公式求得P 到直线l 的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案. 【详解】
（1）Q 2
212
3sin ρθ
=
+，
∴2223sin 12ρρθ+=.
由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，得22
3412x y +=，
曲线C 的直角坐标方程为22
143
x y +=.
当2a =-时，直线l 的普通方程为220x y ++=
由2
2
22014
3x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()2,0-，31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（2）由题意知直线l 的普通方程为20x y a +-=，
C
的参数方程为2cos x y α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩（α为参数） 故C
上任意一点(2cos )P αα到l 的距离为
4sin 6|2cos 23sin |55a
a d πααα⎛
⎫+- ⎪+-⎝
⎭==
则24sin 6||2sin 455
a
d PA d πα︒⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭===
. 当0a ≥时，||PA 的最大值为
2|4|
105a --=所以1a =；
当0a <时，||PA 的最大值为2|4|105
a -=，所以1a =-.
综上所述，1a =或1a =- 【点睛】
解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA ﹣3asinB ＝1． （1）求A ；
（2）已知a ＝23，B ＝3
π
，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6
π
； （2）63. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcosA ﹣3sinAsinB ＝1，结合sinB ＞1，可求tanA ＝
3
3
，结合范围A ∈（1，π），可得A 的值；（2）由已知可求C ＝2
π
，可求b 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】 （1）∵bcosA ﹣
asinB ＝1．
∴由正弦定理可得：sinBcosA ﹣sinAsinB ＝1，
∵sinB ＞1， ∴cosA ＝sinA ， ∴tanA ＝
，
∵A ∈（1，π）， ∴A ＝
；
（2）∵a ＝2，B ＝，A ＝，
∴C ＝，根据正弦定理得到
sin sin a b A B
= ∴b ＝6， ∴S △ABC ＝ab ＝＝6
．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21．已知椭圆C 2222:1(0)x y b a a b +=<<3
且经过点3) （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(0，2)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，以OA 、OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点M 在椭圆C 上，求直线l 的方程.
【答案】（1）2214x y +=（2）15
2y x =±+
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及222a c b -=列方程，由此求得2
2
,a b ，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量
加法的几何意义得到OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r
，由此求得M 点的坐标，将,,A B M 的坐标代入椭圆方程，化简后
可求得直线l 的斜率，由此求得直线l 的方程. 【详解】
（13
，点3(1,2在椭圆上，所以22313124c a a b =+=，且222a c b -=
解得2
2
4,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+，设
()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由2
2142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得22
(14)16120k x kx +++=，
所以121222
1612
,1414k x x x x
k k
+=-
=++， 由已知得OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，所以012
12x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，由于点A B M 、、都在椭圆上，
所以22
22
22
2
20121212012(1,
1,1,()14
4
4
)4
x x x x x y y y y y ++=+=+=++=， 展开有22
22
121212121212()()21,240442
x x x x y y y y x x y y +++++=++=，
又2
2
121212122
44(2)(2)2()414k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=+，
所以22
22
124415240154,1414k k k k k -++⨯=⇒=∴=±++， 经检验满足2
2
2
(16)4(14)1264480k k k ∆=-+⨯=->， 故直线l 的方程为15
2y x =±+. 【点睛】
本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
22．2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50)
频数
2 b 20 10
（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在[10,20)(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
【答案】（1）0.01,5a b ==，乙公司影响度高；（2）见解析，()2E X = 【解析】 【分析】
（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a ，由导游人数为40人可得b ，再由总收人不低于40可计算出优秀率；
（2）易得总收入在[10,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数X 的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可. 【详解】
（1）由直方图知，(0.0250.0350.02)101a a ++++⨯=，解得0.01a =， 由频数分布表中知：22010340b ++++=，解得5b =.
所以，甲公司的导游优秀率为：(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=， 乙公司的导游优秀率为：
103
100%32.5%40
+⨯=， 由于32.5%30%>，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在[10,20)中的有0.0110404⨯⨯=人，
乙公司旅游总收入在[10,20)中的有2人，故X 的可能取值为1，2，3，易知：
12423641(1)205C C P X C ====，214236123
(2)205C C P X C ====;
343641
(3)205
C P X C ====.
所以X 的分布列为：
()1232555
E X =⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
23．已知函数()ln b
f x x ax x =-+
（a ，b R ∈），且对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
.
（Ⅰ）用含a 的表达式表示b ；
（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围，并证明202a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由. 【答案】（1）b a =（2）见解析（3）见解析 【解析】
试题分析：利用赋值法求出,a b 关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需()0f x '=在(0,)+∞内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.
试题解析：（Ⅰ）根据题意：令1x =，可得()1102f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 所以()10f a b =-+=，
经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 所以b a =.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()ln a
f x x ax x
=-+
，且0x >， 所以()21a f x a x x =--' 22
ax x a
x
-+-=， 令()2
g x ax x a =-+-，要使()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，
所以
()20,10,{2140,00
a a a g a >>=->=-<V 或()20,
10,
{
2140,00
a a a g a <>=->=->V 解得102a <<或无解，所以a 的取值范围102a <<，可得2
1
028
a <<，
由题意知 2222ln 222a a a f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
2
22ln ln22a a a =+--，
令()22ln h x x x =+- 3
ln22
x -，则()222232x h x x x =-'- 42
3442x x x -+-=． 而当10,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，4
344x x -+-= ()43410x x ---<，即()0h x '<，
所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以
()12h x h ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭ 12ln24ln216-+-- 633lne 015>->
即1
02
a <<时，
202a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
． （Ⅲ）因为()21a f x a x x =--' 22
ax x a x
-+-=，()2
g x ax x a =-+-． 令()0f x '=
得1x =
2x =．
由（Ⅱ）知102a <<时，()y g x =的对称轴()1
1,2x a
=
∈+∞，2140a ∆=->，()00g a =-<，所以21x >.
又121x x =，可得11x <，此时，()f x 在()10,x 上单调递减，()12,x x 上单调递增，()2,x +∞上单调递减，所以 ()y f x =最多只有三个不同的零点．
又因为()10f =，所以()1,1x 在()f x 上递增，即[
)1,1x x ∈时，()0f x <恒成立．
根据（2）可知202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
且21028a <<，所以()21,12a x ∉，即()2
10,2a x ∈，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =． 由0101x x <<<，得
11x >，又()0010f f x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，()10f =， 所以()f x 恰有三个不同的零点：0x ，1，
1x ． 综上所述，()y f x =恰有三个不同的零点．
【点睛】利用赋值法求出,a b 关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需
()0f x '=在()0,+∞内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，利用函数的导数研
究函数的单调性、极值，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点.。