第十二-十五章 级数

A, 若数值级数
n 1
n
§9.2 函数级数
u ( ) u ( ) u ( )
i 1 n 1 2

un ( )
(2)
收敛,则函数级数(1)的收敛点; 若级数(2)发散, 则级数(1)的发散点.
定理1 (柯西一致收敛准则) 函数级数 在区间 I 一致收敛 0, N N 有 n N , p N , x I , un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x)
n 1 n n 1 n

定理8 （达朗贝尔判别法）设有正项级数
u
n 1

n
(un 0)
（1）若N N , n N ，

有
级数 un 收敛； n 1 un 1 （2）若N N , n N，有 u 1 ，则级数 u n 发散. n u l lim 推论 设有正项级数 un，且 n n
u ( x)
n 1 n
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性.
如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1
a aq a aqn , 1 q 1 q 1 q
n
当q 1时, lim q n 0
2) sin nx , p 是参数,且 p 0, 0 x . n
n 1 p

五、绝对收敛级数的性质
定理13 若级数绝对收敛,其和为S ,则任 意交换级数的项,得到的新级的也绝对收敛, 其和也是S . 定理 14 若级数都绝对收敛,其和分别是A
与B,则它们的乘积级绝对收敛,其和AB .
u1 u2 u3 u4 u2k 1 u2k ,(un 0)
定理9 (莱布尼兹判别法) 设有交错级数 (1)nun n 1 ( un>0). 若 un .0 (1) n N,有 un un ;1(2) lim n 则交错级数 (1) u 收敛,且 rn S Sn un, 其 1
lim un lim sn lim sn1 s s 0. n n n
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n n1 例如 ( 1) 2 3 4 n1
2.必要条件不充分.
1 1 1 例如调和级数 1 2 3 n

引理(阿贝尔变换) 设 ak 与bk (k 1,2,, n)是 两组数,若1) a1 a2 an 0; m 2) M 0 Bm bk M , m 1, 2, , n k 1 则 n
a1b1 a2b2 anbn
a b
k 1
k k
a1M
n 1
数列 s n 有极限 s , 即 lim s n s 则称无穷级
n
数
un 收敛, 这时极限 s 叫做级数 un 的和. 并 n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3


即 常数项级数收敛(发散) lim sn存在(不存在)
n
余项 rn s sn un1 un 2
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
(u1 u2 ) (u3 u4 u5 ) 1 s2 , 2 s5 , 3 s9 , , m sn ,
则 lim m lim sn s. m n
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
即
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
un i i 1

无穷级数收敛性举例: 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形.
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n n lim q lim sn 当q 1时, n n
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散
有 lim un 0, 但级数是否收敛?
n
讨论
n 1 1 1 1 , s2 n sn n1 n 2 2n 2 n 2
假设调和级数收敛 , 其和为s.
于是 lim( s2 n sn ) s s 0,
n
1 便有 0 (n ) 2
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质 3
若级数
un 收敛,则 un 也收敛 n 1 n k 1


( k 1) .且其逆亦真.
证明
uk 1 uk 2 uk n n uk 1 uk 2 uk n sn k sk , 则 lim n lim sn k lim sk s sk . n n n
n 1 n

n 1
an 0 例1. 设数列 {an }单调减少,且 lim . 讨论 n 下列级数的收敛性: 1) an sin nx ; 2) . a cos nx n
n 1
n 1
例2. 判别下列级数绝对收敛与条件收敛:
1) (1)
n 1 n
n2 1 3 ; n 1 n
这是不可能的.
级数发散 .
思考题
设 bn 与 cn 都收敛，且bn a n c n
n1 n 1
( n 1,2,)，能否推出 a n 收敛？
n 1

推论2 若去掉，增添或改变级数的有限项， 则不改变此级数的敛散性. 定理2 若级数 u n 收敛，其和是 S，则级 n 1 数 cun也收敛，其和是 cS 其中 c是常数 (c 0) n 1 （由定义1即可推得）
n
三、基本性质
性质 1 如果级数
u
n 1

n
收敛,则 kun 亦收敛.
n 1

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数 s 则级数
u
n 1

n,
vn ,
n 1

(u
n 1

n
v n ) 收敛,其和为 s .
第九章 级数
§9.1数值级数 §9.2函数级数 §9.3幂级数
§9.4傅立叶级数
§9.1 数值级数
一 收敛与发散的概念 un 对它的各项依次用 “+”号 定义 给定一个数列 ，
连接起来的表达式u1 u2 u3 un （1）
。
，其中 un称为数项 称为数项级数或无穷级数 （也常简称级数）
n 1 p


的敛散性，其中是 p 任意实数.
且
un v 推论 设 与 n 1
un lim k n v n
n 1


n
(vn 0)是两个正项级数，
(0 k )

un ) (1)若 v 收敛，且(0 k ，则级数 也 n 1 收敛； ) 则级数 u n (2)若 v 发散，且 (0 k , 也 n 1 发散. （由极限定义结合定理6可证）
例如 (1 1) (1 1)
1111
收敛 发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛 lim un 0.
证明
s un
n 1
n
则 un sn sn1 ,
n 1
rn S Sn un1 un2 un3 un4 un1 un2 un3 un4 un5 un1 (un2 un3 ) (un4 un5 ) un 1
下面讨论一般变号级数 un 的敛散性. n 1 定义5 若正项级数收敛 ,则称级数 绝对收敛; 若级数收敛,而正项级数却发散,则称级条件收 敛. un 绝对收敛,则级数 un 必 定理10 若级数 n 1 n 1 收敛. 证明 利用绝对值不等式及级数的柯西收 敛准则即可证得.
n 1
un1 q(常数) 1 ，则 un
n
（1）当 l 1时，级数 un收敛； n0 (2) 当 l 1 时，级数 un发散.
n0
n0

四、变号级数
定义 若级数 既有无限多项是正数，又有 无限多项是负数，则称此级数是变号级数. 特别是，级数的项依次是正数与负数相间， 即称为交错级数，如下式：
n 1

Sn与 rn分别是交错级数的和，n 项部分和 中S 、 与余和. 证明:R N ,有 S2k (u1 u2 ) (u2k 1 u2k ) 由条 件 m, N 有 u2m1 u2m 0;于是,偶子列 {S2k } 单调 增加,又
n 1
n
又S2k u1 u2 u3 u2k 1 u2k u1 (u2 u3 ) (u2k 2 u2k 1 ) u2k u1 即偶子列{S2k }有上界,根据单调有界原理知{S2k } S2 k S 由条件2),有lim S2 k 1 lim S2 k lim u 2 k 1 S , 收敛,设 lim k k k 即 k 奇子列 {S , 交错级 2 k 1} 也收敛于S ,从而 lim S n S n n 1 数 1 u收敛 .再根据定理3.有 n

级数（1）的通项前 n 项之和，记为S u
n
n k 1
n
n 1
k
u1 u 2 u n
称它为数项级数（1）的第 n 项部分和，简称部分和。
级数的收敛与发散:
当 n 无限增大时, 如果级数 un 的部分和
一、数级数的收敛域 {un ( x)}是定义在数集A上的一个 定义1 设 函数列,和式 un ( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x) (1) 称为定义在数集A上的函数级数. 称 Sn ( x) ui ( x) i 1 为函数级数(1)的n项部分和函数.

定理5 正项级数 un 收敛它的部分和数 n 1 列{Sn } 有上界 证明：由定义3知， {Sn }单调增加，根据单调有 界原理可推得. 例 证明：正项级数 理5）
1 收敛 . n 1 n !


（利用定
vn 是两个 un ， 定理6 （比较判别法）设 n 1 n 1 正项级数，且 N N , n N 有 un cvn ， c是正 常数. vn 收敛，则级数 u n也收敛； (1) 若级数 n 1 n 1 (2) 若级数 un发散，则级数 vn也发散. n 1 n 1 1 例5 讨论广义调和级数 n （ p---级数）
anbn 满足下 定理11 (狄利克雷判别法) 若级数 k 1 an 0; 列条件:1)数列 {an } 单调减少,且 lim n b 有界,即 2){Bn的部分和数列 } 有 M 0,n N , Bn b1 b2 bn M , 则级数 anbn收敛.