《二次函数的图象和性质》课件-沪科版

思考： 观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象， 当x＜0时，y随x的增大怎样变化？ 当x＞0呢 ？ 由此你能得到二次函数y=ax2+k有怎样的代数 性质？
知2－导
感悟新知
归纳
知2－讲
代数性质: (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值 k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y 随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而 增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
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知2－讲
方法 2: 以对应点作中介平移: 观察图中的 两条抛 物线，抛物线y= -x2+1 的顶点是（0，1）， 抛物线 y=-x2-1 的顶点是 （0，-1），因为顶点向下 平移 了2 个单位，所以将 抛物线y=-x2+1 向下平移 2 个 单位可得到抛物线y= -x2-1.
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1. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( A. 最小值为2 B. 图象与x轴没有公共点 C. 当x<0时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是y轴
函数y=-x2-2的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 下平移2个单位 长度得到.
图象向上移还是向下移,移多 少个单位长度,有什么规律吗?
知3－导
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状
相同 , 只是位置不同；当k>0时, 函数y=ax2+k
的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到,
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例1
知2－讲
画出函数y=-x2+1与y=-x2-1 的图象，并根据图象回
答 下列问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2-1？
（2）对于函数y=-x2+1，其图象与x轴的交点坐标是 ____（__-1_,_0_）__,_（__1_,_0_）___； 对称轴是_____y_轴__；顶点 坐标是_______（__0_,_1_）.
(5)当x__=_0_时，y＝0；
(6)当x__=_0_时，函数值y最__大__，是_0__． 导引: 根据二次函数y＝ax2(a≠0)的性质直接作答．
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归纳
知2－讲
在解答函数性质的问题中，即使问题没有要求画 函数图象，也应考虑在演算纸上画出函数图象的草图， 结合函数图象用数形结合的方法来求解，这样能直观 地得到函数的性质.
知1－导
思考： 观察抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1，你能说出它们
的开口方向、对称轴和顶点各是什么吗？ 这两个 图象有什么共同点？ 由此你能得出抛物线y＝ax2＋k有 怎样的几何性质？
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归纳
几何性质: （1）抛物线y＝ax2＋k开口方向由a决定，当a>0
时，开口向上，当a<0时，开口向下； （2）对称轴是y轴； （3）顶点坐标是（0，k）；
D
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导引:
知1－讲
当x＝1时, y1, y2, y3的图象上的对应点分别
是(1, 2), (1, －2), 有两点在第一象限,
一点1,,在由12 第此四可象知限其,中排除
B, C；在第一象限内, y1的对应点(1, 2)在
上, y3的对应点
在下, 排除A.
1,
1 2
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知2－讲
骤，而列表一般采用“五点法”，这五点包括顶点和在对称轴的
左右两边各取的两点．
4. 易错警示: 列表时，自变量的取值应具有代表性和普遍性；连线
时，必须按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序用平滑的曲
线把各点依次连接，切勿跨点连接；抛物线的两端是无限延伸
的， 画的时候要“出头”．
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例1
在直角坐标系中分别画出下列函数的图象:
要点精析:
知2－导
(1)判断二次函数的增减性的技巧: 从抛物线的对称轴
分开，自左向右看“上坡路”就是y随x的增大而增大，
“下坡路”就是y随x的增大而减小．
(2)在二次函数y＝ax2(a≠0)中，a的正负决定开口方向，
|a|的大小决定开口的大小．|a|越大，抛物线开口
越小；反之，|a|越小，抛物线开口越大．
课堂小结
二次函数y=ax2+k的图象与性质
(1) y 1 x2; 2
(2) y 1 x2. 2
知1－讲
导引: 经历列表、描点和连线三个步骤，画出函数的 图象即可．
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解: (1)①列表: x … －4 －2 0 2 4 … y …8 2 0 2 8…
知1－讲
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解: (1)①列表:
知1－讲
②如图，在平面直角坐标系中描出点(－4，8)，(－2，2)
复习提问 引出问题
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知识点 1 二次函数y=ax2的图象
知1－导
1. 用描点法画二次函数的图象，一般要经历列表、描点、 连线三个步骤.
2. 二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，有 一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 顶点.
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知识点
知1－导
3. 画二次函数y＝ax2(a≠0)的图象要经历: 列表，描点，连线三个步
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，
同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、 复引对习出称提问轴问题、顶点坐标、最值、以及增减性吗？ 今天我们将 学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和
性质.
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知识点 1 二次函数y=ax2+k的图象
③用一条平滑的曲线顺次连接这几个点．
这条曲线就是二次函数
y
1 2
x2
的图象．
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归纳
知1－讲
(1)列表、描点、连线是画函数图象的基本方法，用这种 方法可以画出任意一个函数的图象. 列表中的数据越 多，所描的点越多，所画的二次函数图象越精确.
(2)利用列表、描点、连线画二次函数图象时，列表中的 x的值要在对称轴的左右两边对称选取，选点时，应 以计算简单、描点方便为原则.
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知1－练
1. 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的 是( C )
A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于y轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
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知1－练
2. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标 系中的大致图象可能是( D )
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知2－练
1. 下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是( D ) A. 图象的对称轴是y轴 B. 图象的顶点是原点 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. y有最大值
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例3
知1－讲
在同一坐标系中画出y1＝2x2, y2＝－2x2和
y3
1 2
x2
的图象, 正确的是( D)
A
B
C
知2－练
C)
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知3－导
知识点 3 二次函数y=ax2+k与y＝ax2之间的关系
x y=x2 y=x2+1
… -2 -1 0 1 2 … …410 1 4… …521 2 5…
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函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图象 沿y轴向上平移1 个单位长度得到.
-10
-5
相同
知3－导
y=xy2+1 8
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列表如下:
知2－讲
感悟新知
知2－讲
描点、连线, 即得这两个函数的图象, 如图所示.
（1）由图象可以看出, 抛物 线y=-x2+1 向下平移2 个单 位得到抛物 线y=-x2-1. （2）（-1, 0）, （1, 0）；y 轴；（0, 1）
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归纳ห้องสมุดไป่ตู้
知2－讲
方法 1: 以抛物线y=-x2 作中 介平移: 抛物线y=x2+1 是由抛物线y=-x2 向上平移 1个单位得到的， 抛物线y= -x2-1 是由抛物线y=-x2 向 下平移1 个单 位得到的； 因此抛物线y=-x2-1 是由 抛物线y=x2+1 向下平移2个单位得到的 .
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知识点 2 二次函数y＝ax2的性质
知2－导
1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，它的顶点是 原点，对称轴是y轴．
2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质:
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y＝ax2
图象
开口方向 顶点坐标
a＞0
开口向上 (0，0)
a＜0
知2－导
开口向下 (0，0)
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知2－导
（4）a 决定了抛物线的开口大小.
知1－讲
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1. 抛物线y＝2x2－3的顶点在( C )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
知1－练
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知1－练
2. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交
点的个数是( B)
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
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知识点 2 二次函数y＝ax2+k的性质
的开口向上, 并且向上无限伸展； 当a<0时, 抛物线 y=ax2在x轴的下方(除顶点外), 它的开口向下, 并且 向下无限伸展. 3.当a>0时, 在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧, y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值 最小.当a<0时, 在对称轴的左侧, y随着x的增大而增 大；在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小, 当x=0时, 函数y的值最大.
第21章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质——y=ax2+k型
学习目标
1 课时讲解 二次函数y=ax2+k的图象
二次函数y=ax2+k的性质 二次函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
当k<0时, 函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向
下 平移 |k| 个单位得到.
上加下减
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归纳
知3－讲
这三条抛物线的开口方向, 开口大小都相同, 对 称轴都是y轴, 把抛物线y＝2x2向上平移1个单位 长度, 就得到抛物线y＝2x2＋1；把抛物线y＝2x2 向下平移1个单位长度, 就得到抛物线y＝2x2－1.
y＝ax2
a＞0
a＜0
对称轴
y轴
y轴
增减性 最值
x在＜对时0在时称，对，轴y称随y的随轴x的右x的的增侧左增大，侧大而即，而增当即减大x当＞小0；增大x在＜ 当；对0x在＞时称大对0，轴时而称y的随，减轴左xy的随小的侧增x右，的大侧即增而，当即
当x＝0时，y最小值＝0
当x＝0时，y最大值＝0
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6
4
函数y=x2+1的图象与y=x2
2 y=x2 的图象的位置有什么关系?
O
函5数y=x2+x110的图象与y=x2
-2
的图象的形状相同吗?
-4
x
… -2 -1 0 1 2 … 知3－导
y=x2
… 41 0 1 4 …
y=x2-2 … 2 -1 -2 -1 2 …
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象沿 y轴向下平移2个单 位长度得到.
第21章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数 y=ax2 的图象和性质
学习目标
1 课时讲解 二次函数y＝ax2的图象
二次函数y＝ax2 的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么
形状呢？ 它又有什么性质？
本题运用了排除法解答，还可以运用数形结合思 想解答，即根据函数表达式中的“数”a的符号和绝对 值大小来判断抛物线这个“形”的开口方向和开口大 小. a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线 开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小.
课堂小结
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴. 2.当a>0时, 抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它
，
(0，0)，(2，2)，(4，8).
③用一条平滑的曲线顺次连 接这几个点.y这条12 曲x2线就
是二次函数
的图
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(2)①列表:
知1－讲
x … －4 －2 0
2
4…
y … －8 －2 0 －2 －8 …
②如图，在平面直角坐标系中描出
点(－4，－8)，(－2，－2)，(0，0)，
(2，－2)，(4，－8)．
(3)二次函数y＝－ax2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)的图象关
于x轴对称．
感悟新知
6
知2－讲
例2 已知函数y＝－ 5 x2，不画图象，回答下列各题．
(1)开口方向: ___向__下_；
(2)对称轴: ___y_轴_；
(3)顶点坐标: _（__0_, _0_）；
(4)当x＞0时，y随x的增大而__减__小__；
y
8
y
x2 6
4
2
函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
-10
-5
相同
函数y=x2-2的图象
O
y x25 2
x 10
与y=x2的图象的形
-2
状相同吗?
-4
函数y=-x2+3的 图象可由y=-x2 的图象沿y轴向 上平移3个单位 长度得到.
y x2 3
知3－导
y x2
y x2 2