数的整除教师版

一、常见数字的整除判定方法
1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2.一个位数数字和能被3一个数各位数数字和能被9
3.11
4.被7、
性质c 整除．即如果c ︱a ，
c ︱(a ±b )．
性质整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ，
c ∣a ．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那
么b ∣a ，c ∣a ．
性质4如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b
知识精讲
数的整除
与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．
性质5如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果b ｜a ，那么bm ｜am （m 为非0整
数）；
性质6如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果b ｜a ，且d ｜
c ，那么b
d ｜ac ；
当两个整数a 和(0)b b ≠，a 被b 除的余数为0a ，也把a 叫作b 的倍数，b 叫作a 的约数；如果a 被b b 不
【例1】某数被13除，商是9【例23个数字之和是多少？
7311++=+□□，92|+□，7=□；
()()7313|+-+=+□□，8=□；
8923=，所以737393736=-=□，6=□；
3个数字之和是78621++=。

【例3】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.⑴请随便填出一种，
并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？
【解析】 一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而
4+3+2=9,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为
4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内
经典例题
的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；
（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所
以一共有12种不同的填法．
【例4】一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，
并求笔记本的单价.
【解析】
8|79□，【例5】
【解析】
6，8中
之一。

又3|8650
ab，且（8+6+5）除以3余1，∴a b
+除以3余2。

为满足题意“数值尽可能小”，只需取0
b=。

∴要求的六位数是865020。

a=，2
方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000进行试除分别被3、4、5整除，就是被60整除，865000601441640
+=能被60整除
÷=，所以86500020865020
∴要求的六位数是865020。

【例6】要使156
abc能被36整除，而且所得的商最小，那么,,
a b c分别是多少？
【解析】分解为互质的几个数的乘积，3649
=⨯分别考虑所以6c能被4整除,从而c只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，,a b应尽可能小，先取0
++
+++++=++，所以3b c
a=，又15612
a b c b c
是9的倍数所以1
c=时，取得最小值.
b=，5
A B
2008
【分析】9
691能被55
【分析】55整除，因为11整
即96910
46915能【例9】
因为每名工人的工资都一样，并且都是整数元；
所以45678
|A B；
因为4559
=⨯；
所以5678
|A B；
|A B且9678
因为5678|A B ，所以5|B ，0B =或5； 因为9678|A B ，所以967821|A B A B ++++=++，93|A B ++；
当0B =时，93033|A B A A ++=++=+，6A =；
当5B =时，93538|A B A A ++=++=+，1A =； 【例1037整
能被37整除．
abcd
】200920092009
200909n 个能被【解析】
200920092009200909n 个中奇位数减偶位数的差为是11的
【例13】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对
应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)
【解析】 设原序数为abcd ，则反序数为dcba ，则
abcd ＋dcba 100010010100010010a b c d d c b a =+++++++()()
1191101091a b c d =+++()，因为等式的右边能被11整除，所以abcd +dcba 能被11整除
【例14】试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原
数的差一定能被9整除.
【解析】 设原来的两位数为ab ，则新的两位数为ba .ba －ab (10)(10)9()b a a b b a =---=-.因为9()
b a -能被9整除，所以他们的差能被9整除.
【例15】一个六位数abcdef ，如果满足4abcdef fabcde ⨯=，则称abcdef 为“迎春数”(如
6，7，
同理．5f =，6，7，8，9，可以得到abcdef 为128205，153846，179487，205128，230769.
所有的和是999999．
【习题1】要使1232能被5整除，至少要加上（???????）。

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【分析】选D。

能被5整除，末位是0或5，至少加上3就能被5整除【习题2】被3和7除都余1的最小三位奇数是（???????）。

【分析】选C
【习题3】在内填上适当的数字，使六位数43217能被4整除。

在内填上适当的数字，使六位数43217能被25整除。

能被4整除，那么该数末两位一定能被7能被4整除，
43217能被25整除。

7能被25整除，只能是120中的方框里填一个数字，使它能同时被5整除，最多有（
整除的数各个数位上数字之和能被
所以最大的数是909。

【作业3】在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数之和最小是。

【分析】除数最小是9，此时被除数最小是1698152
⨯+=，和是1529161
+=。

【作业4】要使算式“□0144
÷”的商是两位数，“□里最小可以填；要使“4734
÷□”的商是两位数，“□”
里最大可以填。

【分析】商是两位数，最小是10，此时被除数最小是440，所以框里最小是5；除数越大，商越小，因此我们从最小的商考虑，商最小是10，所以框里最大填7。

【作业5】916233能被11整除吗？
（2）8233837能被13整除吗？
【分析】（1）奇数位：3216
-=??
++=偶数位：96318
++=?18612
12不能被11整除，所以916233
（2）
-=。

7396
82338377396
【作业6】用10以内的奇数组成一个能同时被3、
1395。

【作业75，这个数如果是奇数，最小是（???），如果是
???）
5，这个数是奇数，最小是105。

5，是偶数，最大是990
13的倍数，求□中的数字是几？
【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。

【作业9】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？
【解析】详解类似上题，从略。

填入05
【作业10】六位数257a38能被3整除，数字a=？
【答案】2或5或8
【解析】本题主要考察能被3整除的数的特点.。