人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(55)

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）
一、选择题（共10题）
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩∁U A=( )
A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}
2.对x∈R都成立的不等式是( )
A．√x2+1≥√2x B．x2+1>2x C．1
x2+1
<1D．x2+4≥4x
3.已知圆C:x2+y2=2，直线l:x−y+m=0，则“l与C相交”是“m<2”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π
6
)单调递增的区间是( )
A．(0,π
2)B．(π
2
,π)C．(π,3π
2
)D．(3π
2
,2π)
5.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，那么集合A∩B等于( )
A．{3}B．{1,2}C．{1,3}D．{1,2,3} 6.下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2+1
4
)>lgx(x>0)
B．sinx+1
sinx
≥2(x≠kπ,k∈Z)
C．x2+1≥2∣x∣(x∈R)
D．1
x2+1
>1(x∈R)
7.函数y=2cos(2x+π
4
)的图象( )
A．关于原点对称B．关于点(−3π
8
,0)对称
C．关于y轴对称D．关于直线x=π
4
对称
8.已知函数f(x)=sin(ωx+π
6)+a
2
cosωx(a>0,ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤√3，若
f (x ) 在 [0,π] 上的值域为 [3
2
,√3]，则 ω 的取值范围是 ( )
A ． [16,1
3]
B ． [13,2
3]
C ． [1
6,+∞)
D ． [1
2,1]
9. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −8<0}，B ={x∣ 2x −1>0}，则 A ∩B = ( ) A ． (−∞,−2) B ． (−2,1
2) C ． (4,+∞)
D ． (1
2,4)
10. −300∘ 的弧度数是 ( ) A ． −π
6
B ． −π
3
C ． −
5π6
D ． −
5π3
二、填空题（共10题）
11. 函数 y =sin (2x −π
6) 的最小正周期为 ．
12. 已知 f (x )=ax 2+bx 是定义在 [a −1,2a ] 上的偶函数，则 a +b 的值是 ．
13. 坐标平面内的点 (m 2,m ) 不在平面区域 x −3y +2>0 内，则 m 的范围是 ．
14. 设函数 f (x )={32x −2x,x <2
log 4(x 2−1),x ≥2,，则 f [f (3)]= ．
15. 若函数 f (x )=log 2x +x −k (k ∈Z ) 在区间 (2,3) 内有零点，则 k = ．
16. 已知集合 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}，则 M ∩N = ．
17. 已知函数 f (x )=sin (kx 5+π
3)，其中 k ∈N ∗，当 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，
函数 f (x ) 至少有一个最大值与一个最小值，那么 k 的最小值为 ．
18. 函数 y =(12)x 2−2
的值域是 ．
19. 用“>”“<”号填空：如果 a >b >0>c ，那么 c
a c
b ．
20. 集合 {x∣ cos (πcosx )=0,x ∈[0,π]}= ．（用列举法表示）
三、解答题（共10题）
21. 已知集合 A ={x ∣1<ax <2}，B ={x ∣−1<x <1}，求满足 A ⊆B 的实数 a 的取值范围．
22. 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a 2，若 a ∈A ，求实数 a 的值．
23. 已知集合 A ={x∣ x 2−4<0}，B ={x∣ (x −2a )(x +a )<0}(a >0)．
(1) 若 a =1，求 A ∩B ；
(2) 若 B ⊆A ，求实数 a 的取值范围．
24. 已知函数 f (x )={−x 2+x,x ≤1log 13
x,x >1，g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣，若对任意的 x 1,x 2∈R ，都有
f (x 1)≤
g (x 2) 成立，求实数 k 的取值范围．
25. 定义在 (−∞,0)∪(0,+∞) 上的函数 y =f (x ) 满足 f (x
y )=f (x )−f (y )，且函数 f (x ) 在
(0,+∞) 上是增函数．
(1) 求 f (−1)，并证明函数 y =f (x ) 是偶函数． (2) 若 f (4)=2，解不等式 f (x −5)−f (3
x )≤1．
26. 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速
度可以表示为函数 v =5log 2O
10，单位是 m/s ，其中 O 表示燕子的耗氧量． (1) 计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2) 当一只燕子的耗氧量是 40 个单位时，它的飞行速度是多少？
27. 判断下列函数是否为幂函数．
（1）y =x 4
；（2）y =1
x 2；（3）y =x −2
；（4）y =x 1
2
；（5）y =2x 2；（6）y =x 3+2；（7）y =
1；（8）y =√x ．
28. 已知 f (x )=x 2，g (x )=x ，求函数 p (x )=f (x )⋅g (x )，并画出其图象．
29. 如何理解区间的概念？
30.某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个
月卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价应为多少元？
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
【知识点】交、并、补集运算
2. 【答案】D
【解析】对于A项，x≥0，故错误；
当x=1时，x2+1=2x，故B项错误；
当x=0时，1
x2+1
=1，故C项错误；
对于D项，当x∈R时，x2+4≥4x恒成立，故正确．【知识点】不等式的性质
3. 【答案】A
【解析】“l与C相交”⇔
√2
<√2，解得−2<m<2．所以“l与C相交”是“m<2”的充分不必要条件．
【知识点】充分条件与必要条件
4. 【答案】A
【解析】因为函数y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π
2,2kπ+π
2
)(k∈Z)，
对于函数f(x)=7sin(x−π
6)，由2kπ−π
2
<x−π
6
<2kπ+π
2
(k∈Z)，
解得2kπ−π
3<x<2kπ+2π
3
(k∈Z)，
取k=0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−π
3,2π
3
)，
则(0,π
2)⊆(−π
3
,2π
3
)，(π
2
,π)⊄(−π
3
,2π
3
)，A选项满足条件，B不满足条件；
取k=1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(5π
3,8π
3
)，
(π,3π
2)⊄(−π
3
,2π
3
)且(π,3π
2
)⊄(5π
3
,8π
3
)，(3π
2
,2π)⊄(5π
3
,8π
3
)，CD选项均不满足条件．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
5. 【答案】B
【知识点】交、并、补集运算
6. 【答案】C
【解析】 x =1
2
时，A 中的不等式不成立；x =π
2
时，B 中的不等式不成立；x =1 时，D 中的不
等式不成立；选C ．
【知识点】均值不等式的应用
7. 【答案】B
【解析】由 2x +π
4=kπ，得到函数图象的对称轴方程为 x =
kπ2
−π8
(k ∈Z )．
把 x =0 代入，得 k =1
4
∉Z ；
把 x =π4 代入，得 k =3
4∉Z ．由此可排除C 、D ．
由 2x +π
4
=kπ+π
2
，得到函数图象的对称中心的横坐标为 x =
kπ2
+π
8
(k ∈Z )．
把 x =0，得 k =−1
4∉Z ，故排除A ； 把 x =−3π8
代入，得 k =−1∈Z ，故B 正确．
故选B ．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
8. 【答案】A
【解析】 f (x )=sin (ωx +π
6)+a
2cosωx =
√3
2
sinωx +a+12
cosωx ，
f (x )max
=√3=√(√3
2)2
+(1+a 2)2
，
因为 a >0，所以 a =2，所以 f (x )=√3sin (ωx +π
3)． 因为 0≤x ≤π，ω>0，所以 π
3≤ωx +π
3≤ωπ+π
3， 因为 3
2≤f (x )≤√3，所以
π2
≤ωπ+π3
≤
2π3
，所以 16
≤ω≤1
3
．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
9. 【答案】D
【解析】因为 A ={x∣ x 2−2x −8<0}={x∣ −2<x <4}，B ={x∣ 2x −1>0}={x∣ x >1
2}，
所以 A ∩B ={x∣ 1
2<x <4}．
【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算
10. 【答案】D
【知识点】弧度制
二、填空题（共10题） 11. 【答案】 π
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
12. 【答案】 1
3
【解析】依题意 b =0，且 2a =−(a −1)，所以 a =1
3，则 a +b =1
3． 【知识点】函数的奇偶性
13. 【答案】 [1,2]
【知识点】二次不等式的解法
14. 【答案】 24
【解析】先求 f (3)=log 48=3
2，再求 f (3
2)=33−3=24，即 f [f (3)]=24．
【知识点】分段函数
15. 【答案】 4
【解析】因函数 f (x ) 在区间 (2,3) 内递增，则 f (2)f (3)<0，
即 (log 22+2−k )⋅(log 23+3−k )<0，整理得 (3−k )⋅(log 23+3−k )<0， 解得 3<k <3+log 23，而 4<3+log 23<5． 因为 k ∈Z ，所以 k =4．
【知识点】对数函数及其性质、零点的存在性定理
16. 【答案】 {−2}
【解析】 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}={−2,3}，∴M ∩N ={−2}． 【知识点】交、并、补集运算
17. 【答案】 32
【解析】因为 T =10πk
，且任意两个整数间的距离都大于等于 1，
所以 T =
10πk
≤1，
解得 k ≥10π， 取 k =32．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
18. 【答案】 (0,4]
【解析】设 t =x 2−2≥−2， 因为 y =(12)t
为减函数， 所以 0<(12)t ≤(12)−2
=4，
故函数 y =(12)
x 2
−2
的值域是 (0,4]．
【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质
19. 【答案】 >
【知识点】不等式的性质
20. 【答案】 {π3,2π
3
}
【知识点】集合的表示方法
三、解答题（共10题）
21. 【答案】①当 a =0 时，A =∅，满足 A ⊆B ．
②当 a >0 时，A ={x ∣∣1a <x <2
a }，
又因为 B ={x ∣−1<x <1} 且 A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴： 所以 {a >0,1
a ≥−1,2a
≤1,
所以 a ≥2．
当 a <0 时，A ={x ∣∣2a
<x <1
a
}，
因为 A ⊆B ，如图， 所以 {a <0,2
a ≥−1,1a
≤1,
所以 a ≤−2．
综上所述，a 的取值范围是 {a ∣a =0或a ≥2或a ≤−2}．
【知识点】包含关系、子集与真子集
22. 【答案】由题意可知，a =1 或 a 2=a ．
（1）若 a =1，则 a 2=1，这与 a 2≠1 相矛盾，故 a ≠1．
（2）若 a 2=a ，则 a =0 或 a =1（舍去），又当 a =0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0．
【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性
23. 【答案】
(1) A =(−2,2)； 当 a =1 时，B =(−1,2)， 所以 A ∩B =(−1,2)．
(2) A =(−2,2)，B =(−a,2a )，
由 B ⊆A ，得不等式组：{−a ≥−2,2a ≤2, 解得 a ≤1，
又因为 a >0， 所以 0<a ≤1．
【知识点】交、并、补集运算、包含关系、子集与真子集
24. 【答案】对任意的 x 1,x 2∈R ，都有 f (x 1)≤g (x 2) 成立，即 f (x )max ≤g (x )min ．
观察 f (x )={−x 2+x,x ≤1
log 13
x,x >1 的图象可知，
当 x =12 时，函数 f (x )max =1
4．
因为 g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣≥∣x −k −(x −2)∣=∣k −2∣， 所以 g (x )min =∣k −2∣，所以 ∣k −2∣≥1
4
，解得 k ≤7
4
或 k ≥9
4
．
故实数 k 的取值范围是 (−∞,74
]∪[9
4
,+∞)．
【知识点】函数的最大（小）值、分段函数
25. 【答案】
(1) 令 x =y ≠0，则 f (1)=f (x )−f (y )=0，
再令 x =1，y =−1 可得 f (−1)=f (1)−f (−1)=−f (−1)， 所以 f (−1)=0．
令 y =−1 可得 f (−x )=f (x )−f (−1)=f (x )，
所以f(x)是偶函数．
(2) 因为f(2)=f(4)−f(2)，所以f(2)=1
2
f(4)=1，
又f(x−5)−f(3
x )=f(x2−5x
3
)，
所以f(x 5−5x
3
)≤f(2)，
因为f(x)是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，
所以−2≤x 2−5x
3
≤2，且x2−5x
3
≠0，
解得−1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6．
所以不等式的解集为{x∣ −1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6}．
【知识点】函数不等式的解法、函数的单调性、函数的奇偶性
26. 【答案】
(1) 由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0，代入题中公式，可得0=5log2O
10
，解得O= 10个单位．
(2) 将耗氧量O=40代入题中公式，得v=5log240
10
=5log24=10(m/s)．【知识点】函数模型的综合应用
27. 【答案】（1）（2）（3）（4）（8）为幂函数，（5）（6）（7）不是幂函数．
【知识点】幂函数及其性质
28. 【答案】p(x)=x3，定义域为R．其大致图象如下：
【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数图象
29. 【答案】区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立；
区间表示连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；
∞是一个符号，而不是一个数，以“−∞”或“+∞”作为区间的一端时，这端必须用小括号．
【知识点】函数的相关概念
30. 【答案】设应将每件商品定价为x元，其月利润为y元，
由题意得：
y=(x−40)⋅[500−(x−50)×10]
=−10x2+1400x−40000.
=70时，y max=9000．
当x=−1400
2×(−10)
答：商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价70元．【知识点】函数模型的综合应用
11。