【数学】山东省淄博市2017届高三第一次模拟考试(理)

山东省淄博市2017届高三第一次模拟考试（理）
本试卷，分第I卷和第II卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合
A. B. C. D.
2.已知，其中是实数，i是虚数单位，则的共轭复数为
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是
A.若
B.“”是“函数为偶函数”的充要条件
C. ，使成立
D. 已知两个平面，若两条异面直线满足，
4.设随机变量服从正态分布的值为
A. B. C.3 D.5
5.已知圆，若倾斜角为45°的直线l过抛物线
的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为，则a等于
A. B. C. D.
6.下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的为
A. B. C. D.
7.设向量，其中O为坐标原点，，若A,B,C三点共线，则的最小值为
A.4
B. 6
C.8
D.9
8.已知满足不等式组当时，目标函数的最大值的变
化范围是
A. B. C. D.
9.已知一个平放的各棱长均为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于
A. B. C. D.
10.如图所示，由直线轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，若对，不等式
恒成立，则
实数A等于
A. B. C. D.
第II卷（共100分）
填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________.
12.函数的部分
图象如图所示，则__________.
13.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置
上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺
丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个
螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有__________种.
14.已知A为双曲线的右顶点，分别为虚轴的两个端点，F为右焦点.若，则双曲线C的离心率是_________.
15.在研究函数的性质时，某同学受两点间距离分工启发，将变形为，并给出关于函数以下五个描述：
①函数的图象是中心对称图形；②函数的图象是轴对称图形；
③函数在上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；
⑤无论m为何实数，关于x的方程都有实数根.
其中描述正确的是___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本题满分12分）已知函数相邻两条对称轴之间的距离为.
（I）求的值及函数的单调递减区间；
（II）已知分别为中角的对边，且满足面积S的最大值.
17. （本题满分12分）如图，四棱锥，
都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点.
（I）证明：AE//平面PCD；
（II）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小.
18. （本题满分12分）为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛，经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军.决赛规则如下：
①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的选后顺序通过抽签决定；
③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④选得3分者获胜，已知甲、乙答对每道题的概率分别为，且每次答题的结果相互独立.
（I）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；
（II）若甲选答题，记乙所得分数为X，求X的分布列和数学期望.
19. （本题满分12分）数列是公差为正数的等差数列，是方程
的两实数根，数列满足.
（I）求；
（II）设为数列的前n项和，求，并求的最大值.
20. （本题满分13分）设.
（I）令的单调区间；
（II）当时，直线的图像有两个交点，
.
21. （本题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点. （I）求椭圆C的标准方程；
（II）当时，求面积的最大值；
（III）若直线l的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点A的定点.
安徽省江南十校2017年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则|z|=（）
A．B．1 C．5 D．25
2．设集合A={x∈Z||x|≤2}，，则A∩B=（）
A．{1，2} B．{﹣1，﹣2}
C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}
3．已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m=（）A．B．C．D．
4．已知，则sinα（sinα﹣cosα）=（）
A．B．C．D．
5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）
A．B．C．D．
7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、
B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．20 B．22 C．24 D．26
9．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，则的值为（）
A．B．C．D．
10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）
A．B．
C．D．
11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）
A．B．C．D．
12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f（x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是．
14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x 的次数为1的项的系数为．
15．已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．
16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=k sin x cos x（k ＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．
（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；
（2）求数列{S n}的前n项和T n．
18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：
（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：
②记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
19．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，DE=BF= CG．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得GH=CG．
（1）求证：PH⊥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．
20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．
（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；
（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+ln x，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；
（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．
（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；
（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．B
【解析】==，则|z|==1．
故选：B．
2．C
【解析】A={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={x|x≥或x＜0}，
故A∩B={﹣2，﹣1，2}，
故选：C．
3．D
【解析】根据题意，向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），
则；
若（+）∥（﹣），
（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1）
解可得：；
故选：D．
4．A
【解析】，故选：A．
5．D
【解析】模拟执行程序框图，可得：
n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3
满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4
满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5
满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6
…
∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，
∴共要循环7次，故j=7．
故选：D．
6．B
【解析】质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，
正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．
基本事件总数N=42=16，
记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含听基本事件有：（1，1），（0，1），（1，0），共3个，∴事件A发生的概率为．
故选：B．
7．D
【解析】由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，
则，
解得a=，
故E所得为钱．
故选：D．
8．C
【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．
9．D
【解析】在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，∴A=45°，B=60°，C=75°，
那么△ABC的面积为S1=ac sin B=a2=a2外接圆面积为S2=πR2，R=，
∴=．故选D．
10．B
【解析】由题意，x=0，y＜0，排除A，
0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，
D选项中，f（﹣2）=5，f（﹣3）=，不符合，排除D．
故选：B．
11．D
【解析】∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，
其体积为=，同理，
故棱锥S﹣ABC的体积为．故选：D．
12．C
【解析】令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，
作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：
若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，
则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，
经计算可得k P A=5，k PB=10，k PO=﹣1，k PC=﹣，
∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．
故选：C
二、填空题
13．5
【解答】5 由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，
解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由解得M（﹣1，3），
由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，
故答案为：5．
14．﹣7
【解析】（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，
令x=y=1，得23×（a+1）5=256，
解得a=1，
所以（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数为：
．
故答案为：﹣7．
15．133
【解析】双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，
不妨设点P（x，y）在右支上，
由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，
即为=9，且﹣=1，
解出x=2，y=±9，
则x2+y2=52+81=133．
故答案为：133．
16．2+
【解析】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x ﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，
根据所得图象与y=k sin x cos x=sin2x（k＞0）的图象关于对称，
设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，
则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，
故有，
求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），
∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，
则k+m的最小正值为2+．
三、解答题
17．（1）证明：当n=1时，a1=S1，S1﹣2a1=1﹣4，
可得a1=3，
S n﹣2a n=n﹣4转化为：S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4（n≥2），
即S n=2S n﹣1﹣n+4，
所以S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]
注意到S1﹣1+2=4，
所以{S n﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列；
（2）由（1）知：，所以，
于是
==．
18．解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，
∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，
当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，
∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：
（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，
P（X=100）==0.2，
P（X=106）==0.3，
P（X=118）==0.4，
P（X=130）==0.1，
∴X的分布列为：
E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．
②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45
所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）
由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．
故推荐小明去美团外卖应聘．
19．证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，
∴OP∥DE，∴OP⊥面ABCD．
∴∠P AO为AP与面ABCD所成角，
∵AP与平面ABCD所成角为60°，∴∠P AO=60°．
在Rt△AOP中，．
Rt△AHC中，．
梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2，∴AP⊥PH，
又EH=FH，∴PH⊥EF，又AP∩EF=P，∴PH⊥面AEF．
解：（2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，
∴如图所示建立空间直角坐标系．
G（0，0，），E（，0，），F（0，，），H（0，0，），P（，，），
=（﹣，，0），=（﹣，0，），，
∵PH⊥面AEF，∴面AEF的法向量为，
设面EFG法向量为，
则，取x=，得，
设二面角A﹣EF﹣G的平面角为θ，由题意θ为钝角，
则cosθ=﹣=﹣．故二面角A﹣EF﹣G的余弦值为．
20．解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，
将与联立，消去y得：，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，
所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，
所以实数m的范围组成的集合M是；
（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，即k P A+k PB=0，令，
所以，
整理得：，
由（1）知x1，x2是的两个根，
所以，
代入（*）化简得，
由题意解得或
所以定点P的坐标为或，
经检验，满足题意，
所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，
坐标为或．
21．解：（Ⅰ）设曲线y=f（x）在Q（x1，y1）点处切线是y=x，则
由于所以x1=1，y1=1，
由题意知：，于是a=0．
（Ⅱ）证明：令，
当x∈（0，1）时，0＜e x﹣1＜1，所以，
即，当x∈（1，+∞）时，1＜e x﹣1，所以，
即，于是F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣ln x
在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）﹣g（x）≥1，于是原不等式成立．
（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣ln x﹣ax+a（x＞0），
则函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）
等价于函数G（x）有且只有一个零点x0，，
注意到为（0，+∞）上的增函数且值域为R，
所以在（0，+∞）上有唯一零点x1，
且G'（x）在（0，x1）上为负，（x1，+∞）上为正，所以G（x1）为极小值，
又函数G（x）有唯一零点x0，结合G（x）的单调性知x1=x0，
所以，即，
即，
即．令，
显然，x0是H（x）的零点，，H'（x）在（0，1）上为正，（1，+∞）上为负，
于是H（x）在（1，+∞）上单调递减，
注意到，
所以H（x）在（1，2）内有一个零点，在[2，+∞）内无零点，
所以H（x）的零点一定小于2，
从而函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）时一定有x0＜2．22．解：由条件：．
设点，点P到C2之距离
.．此时cosθ=﹣，此时点．
23．解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时，
2≤|2a﹣1|≤3且，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
设g（a）=t•a+t2﹣3，
则，
可得或t≥3．。