[数学]省班 高三文科数学导学案

第一章集合与常用逻辑
第一节集合的概念及其基本运算
课型：复习课
姓名使用时间月日评价
【考纲要求】
①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题
③理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
④在具体情境中，了解全集与空集的含义.
⑤理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
⑥理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
⑦能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
【学习内容】
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：、、.
(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．
(3)集合的表示法：、、、.
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为、、. 2．集合间的基本关系
(1)子集、真子集及其性质
对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则(或)．∅；A A；A⊆B，B⊆C⇒A C.
若A含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个，A的非空真子集有个．
(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则 .
【课堂研讨】
题型一 集合的基本概念
例1 定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝
{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________．
题型二 集合与集合的基本关系
例2 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－12<x ≤2. (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；
(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；
(3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．
题型三 集合的基本运算
例3 若集合A ＝{x |x 2
－2x －8<0}，B ＝{x |x －m <0}．
(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁U B )；
(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；
(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．
【延伸拓展】
已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为____．
【达标检测】
1、 设a ，b ∈R，集合⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 011＋b 2 012的值为________． 2 、 设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，
(1)若B ⊆A ，求a 的值；
(2)若A ⊆B ，求a 的值．
3、 设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.
第二节 命题及关系、充分条件与必要条件
课型：复习课
姓名 使用时间 月 日 评价
【考纲要求】
① 理解命题的概念.
②了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
.
【学习内容】
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中的语句叫真命题，的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性
（3）充分条件必要条件
如果p⇒q，则p是q的，q是p的；
如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.
【课堂研讨】
题型一四种命题及其关系
例1 设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
题型二充分、必要、充要条件的概念与判断
例2 指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；
(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)(y－2)＝0.
题型三充要条件的证明
例3 求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1. 【延伸拓展】
已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是1
3<x<
1
2，则m的取值范围是
____________．
【达标检测】
1 、若a、b、c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”
的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
2、给出以下四个条件：①ab>0；②a>0或b>0；③a＋b>2；④a>0且b>0.其中可以作为“若a，b∈R，则a＋b>0”的一个充分而不必要条件的是________
3 、求证：方程x2＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>3，这个
条件是其充分条件吗？为什么？
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
课型：复习课
姓名使用时间月日评价
【考纲要求】
①了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
②理解全称量词与存在量词的意义.
③能正确地对含有一个量词的命题进行否定
【学习内容】
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“”、“”、“”叫做逻辑联结词．
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．
(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示．
(4)全称命题与特称命题
①命题叫全称命题．②的命题叫特称命题．3．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)“p或q”的否定为：“非p且非q”；“p且q”的否定为：“非p或非q”．
【课堂研讨】
题型一含有逻辑联结词命题的真假判断
例1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“ p”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：5≤5；q：27不是质数．
题型二 含有一个量词的命题的否定
例2 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14
≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；
(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；
(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.
题型三 根据含有逻辑联结词的命题的真假，求参数的
取值范围
例3 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．
【延伸拓展】
试题：已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx
＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．
【达标检测】
1、指出下列命题的真假：
(1)命题“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；
(2)命题“－1是偶数或奇数”；
(3)命题“2属于集合Q，也属于集合R”；
2 、写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：∀x∈R，x不是3x－5＝0的根；
(2)q：有些合数是偶数；
(3)r：∃x0∈R，|x0－1|>0.
3 、已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax
＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
第二章函数
第一节函数及其表示
课型：复习课
姓名使用时间月日评价
【考纲要求】
①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.
③了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.
【学习内容】
1．函数的基本概念
函数的定义
设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中
的个数x,在集合B中都有
的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：、、.
3．映射的概念
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对
应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集
合B中定的元素y与之对应，那么就称对
应f：A→B为从集合A到集合B的.
4．函数与映射的关系
由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，
要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是 .
【课堂研讨】
题型一 对函数概念的准确理解
例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)y ＝1，y ＝x 0；
(2)y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4； (3)y ＝x ，y ＝3
t 3； (4)y ＝|x |，y ＝(x )2.
题型二 求函数的定义域 例2 (2010·湖北)函数y ＝
1
log 0.5(4x －3)
的定义域为
( )
A.⎝⎛⎭⎫34，1
B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞
C ．(1，＋∞)
D.⎝⎛⎭⎫
34，1∪(1，＋∞)
题型三 求函数值
例3 (2009·四川)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的 不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝
(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫52的值是 ( ) A ．0 B.12 C ．1 D.5
2
题型四 分段函数
例4 已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1 (x ≥0)
－1 (x <0)，求不等式x ＋(x ＋2)f (x
＋2)≤5的解集．
【延伸拓展】 求函数解析式：
(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 3＋1
x 3，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．
【达标检测】
1、试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f (x )＝|x |
x ，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x ≥0，－1，x <0；
(2)f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x 2＋x ； (3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.
2、函数f (x )＝1
x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为______________．
3、设函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝
1
f (x )
，若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． 4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 3x ，x ＞0，2x
， x ≤0，
则 f
⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫19的值为
( )
A ．4 B.14 C ．－4 D ．－1
4
第二节 函数的单调性与最值
课型：复习课
姓名 使用时间 月 日 评价 【考纲要求】
理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.
【学习内容】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间定义
若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．
2.函数的最值
【课堂研讨】
题型一函数单调性的判断
例1 判断并证明函数f (x )＝x 3＋a (a ∈R ，a 是常数)的单调性．
题型二 求函数的单调区间
例2 求函数 )(x f (x 2－3x ＋2)的单调区间．
题型三 求函数的最值
例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23
.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
【延伸拓展】
函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.
(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 【达标检测】
1、讨论函数f (x )＝x ＋a
x (a >0)的单调性．
2、函数=)(x f (2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )
A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫3
4，＋∞
3、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫
x 1x 2
＝f (x 1)－f (x 2)，
且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；
(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．
第三节 函数的奇偶性
课型：复习课
姓名 使用时间 月 日 评价 【考纲要求】
了解函数奇偶性、周期性的含义.
【学习内容】
1．奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性.
(2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【课堂研讨】
题型一函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝3－x 2＋x 2
－3； (2)f (x )＝(x ＋1)
1－x
1＋x
； (3)f (x )＝4－x
2
|x ＋3|－3.
题型二 函数的奇偶性与单调性
例2 (1)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2
－x －1，求f (x )的解析式；
(2)设a >0，f (x )＝e x
a ＋a
e
x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；
(3)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2
)<0的实数m 的取值范围．
题型三 函数的奇偶性与周期性
例3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当
x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)．
【延伸拓展】
试题：(12分)函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明；
(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0， ＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
【达标检测】
1、 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝lg 1－x 1＋x
；(2)f (x )＝(x －1)
2＋x
2－x
；
(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋x
x ，x 2
－x
x
；
(4)f (x )＝－x
2
|x 2－2|－2.
2、 若函数f (x )＝log a (x ＋x 2
＋2a 2
)是奇函数，则实数a 的值是________． 3、 已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2) ＝－f (x )，则f (9)的值为 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
§2.4指数与指数函数
课型：复习课
姓名使用时间月日评价
【考纲要求】
①了解指数函数模型的实际背景.
②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
③理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10,1/2，1/3的指数函数的图像.
④体会指数函数是一类重要的函数模型
【学习内容】
1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n次方等于a(n＞1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也
就是，若x n＝a，则x叫做其中n＞1且n∈N*.式子n
a叫
做，这里n叫做，a叫做.
2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正负两个n次方根可以合写为(a＞0)．
③( n
a)n＝.
④当n为奇数时，n
a n＝；
当n为偶数时，n
a n＝|a|＝.
⑤负数没有偶次方根．
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正整数指数幂：
an=a ·a ·…·a (n ∈N *)．
②零指数幂：a 0＝ (a ≠0)．
③负整数指数幂：a －
p
＝ (a ≠0，p ∈N *)．
④正分数指数幂： ＝ (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．
⑤负分数指数幂： ＝ ＝ (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑥0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 . 2)有理数指数幂的性质
①a r a s ＝ (a >0，r 、s ∈Q)； ②(a r )s ＝ (a >0，r 、s ∈Q)； ③(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
n
m a n 个
n m
a
【课堂研讨】
题型一 指数式与根式的计算 例1 (1)15＋2
－(3－1)0
－9－45；
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)函数y ＝a 2 010－
x ＋2 010(a >0且a ≠1)恒过点
__________．
(2)方程2x ＝2－x 的解的个数为________．
题型三 指数函数的性质
例3设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
【延伸拓展】
已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0
)
3()6)(2)(2(656131212132b a b a b a -÷-
恒成立，求k 的取值范围．
【达标检测】 1 、 计算下列各式：
2 如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线
交函数y ＝4x 的图象于点C .若AC 平行于y 轴，求点A 的坐标．
3 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．
1
00.2563
4133
2
23
3
7(1)1.5()868(2)(14a a b a b
-⨯-+--÷-+
§2.5 对数与对数函数
课型：复习课
姓名 使用时间 月 日 评价 【考纲要求】
① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或
常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
② 理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，1/2的对数函数的图像.
③ 体会对数函数是一类重要的函数模型；
④ 了解指数函数x
a y = 与对数函数x y a log = （a ＞0，且a ≠1）互为反函数. 【学习内容】 1．对数的概念 (1)对数的定义
如果ax ＝N(a>0且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)几种常见对数
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①log a (MN )＝ ；②log a M
N ＝ ；
③log a M n ＝ (n ∈R)；④ ＝ . (2)对数的性质
① ＝ ；②log a a N ＝ (a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式
①换底公式： (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝ .
3．对数函数的图象与性质
【课堂研讨】
题型一对数式的化简与求值
例1 计算：
(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)2－lg 9＋1·27＋lg 8－lg 1 000
lg 0.3·lg 1.2
；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
题型二比较大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)log23.4，log28.5；(2)log67，log76；
(3)m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；
(4)若0<a<b<1，试确定log a b，log b a，
的大小关系．
题型三与对数函数图象有关的问题
例3 作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．
题型四 与对数函数性质有关的问题
例4 已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．
【延伸拓展】
已知函数f (x )＝log a (a x
－1) (a >0且a ≠1)． 求证：(1)函数f (x )的图象总在y 轴的一侧； (2)函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.
【达标检测】 1 、化简或求值： (1)log 2
7
48＋log 212－1
2log 242－log 22；
(2)2log 525＋3log 264；
(3)12ln(2x ＋2x 2
－1)＋ln(x ＋1－x －1) (x >1)； (4)已知3a ＝5b
＝c ，且1a ＋1b
＝2，求c 的值．
2 、 比较下列各组数的大小： (1)log 323与log 56
5；
(2)log 1.10.7与log 1.20.7；
(3)已知 ，比较2b,2a,2c
的大小关系．
3 、 已知函数f (x )＝log a (2x
＋b －1) (a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满 足的关系是 ( ) A ．0<a －1
<b <1 B ．0<b <a －1
<1 C ．0<b －1
<a <1 D ．0<a －1
<b －1
<1
4、已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,3)
D ．(3，＋∞)
§2.6 一次函数、二次函数与幂函数
课型：复习课
姓名 使用时间 月 日 评价 【考纲要求】 ①了解幂函数的概念.
② 结合函数12
1
3
2
,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图像，了解它们的变化情况
c a b 2
12121log log log <
<
【学习内容】
1．一次函数、二次函数的图象及性质
(1)一次函数y＝kx＋b，当k>0时，在实数集R上是增函数，当k<0时在实数集R上是减函数．b叫纵截距，当b＝0时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b≠0时函数为非奇非偶函数．
(2)二次函数的解析式
①二次函数的一般式为.
②二次函数的顶点式为，其中顶点为.
③二次函数的两根式为，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．(也就是函数的零点)
根据已知条件，选择恰当的形式，利用待定系数法可求解析式．
3)二次函数图象和性质
①二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为；对称轴方程为.熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴，并会画示意图．
②在对称轴的两侧单调性相反．
③当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
2．幂函数
(1)幂函数的定义形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是，α为.
(2)幂函数的图象
3)幂函数的性质
【课堂研讨】
题型一求二次函数的解析式
例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．
题型二二次函数的图象与性质
例2已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1] 内有一个最大值－5，求a的值．
题型三幂函数的图象和性质
例题3 已知幂函数 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a
＋1) 的a 的取值范围．
【延伸拓展】 设函数f (x )＝ax 2
－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．
【达标检测】
1、 已知二次函数的对称轴为x ＝－2，截x 轴上的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式
2 、函数f (x )＝－x 2＋4x －1在区间[t ，t ＋1]
(t ∈R)上的最大值为g (t )．
(1)求g (t )的解析式；
(2)求g (t )的最大值．
§2.7 函数与方程
课型：复习课
姓名 使用时间 月 日 评价
【考纲要求】
结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数
【学习内容】
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
322
)(--=m m x x f 3)23(m a --<3m -
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与
有交点⇔函数y＝f(x)有 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．
2.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【课堂研讨】
题型一判断函数在给定区间上零点的存在性
例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
题型二函数零点个数的判断
例2 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 ( ) A．多于4个B．4个 C．3个D．2个
题型三 二次函数的零点分布问题
例3 已知关于x 的二次方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．
【延伸拓展】
已知函数f (x )＝|x |x ＋2，如果关于x 的方程f (x )＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
【达标检测】
1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f (x )＝x 3＋1，x ∈R；
(2)f (x )＝1x
－x ，x ∈(0,1)．
2函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为
( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3、是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2
＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由
§3.1 变化率与导数、导数的计算
课型：复习课
姓名 使用时间 月 日 评价
【考纲要求】
①了解导数概念的实际背景.
② 通过函数图像直观理解导数的几何意义.
③ 能根据导数定义，求函数x
y x y x y C y 1,,,2====， 的导数. ④ 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
【学习内容】
1.几何意义
函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'x f 的几何意义是在曲线y ＝)('x f 上点
处的切线的 相应地，切线方程为 .
2．函数f (x )的导函数
称函数)('x f ＝lim 0→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(为)('x f 的导函数，导函数有时也记作
y ′.
3．基本初等函数的导数公式
(1)[f (x )±g (x )]′＝ ；
(2)[f (x )·g (x )]′＝ ； (3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 【课堂研讨】
题型一 利用导数的定义求函数的导数
例1 求函数12+=x y
在0x 到0x ＋Δx 之间的平均变化率．
题型二 导数的运算
例2 求下列函数的导数：
(1)y ＝x （2311x x x ++）；
(2)y ＝x －sin 2x cos 2x ；
(3)y ＝1)1)
-.
题型三 导数的几何意义
例3 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．
【延伸拓展】
已知曲线y ＝13x 3＋43
. (1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
【达标检测】
1 过曲线y ＝f (x )＝x 3
上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P 处切线的斜率．
2 求下列函数的导数：
(1)y ＝(x －2)2
； (2)y ＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 2；
(3)y＝log2(ax3)．
3 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．
§3.2 导数的应用
课型：复习课
姓名使用时间月日评价
【考纲要求】
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
【学习内容】
1．函数的单调性
在(a，b)内可导函数f (x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.则有：f ′(x)≥0⇔f (x)为
f ′(x)≤0⇔f (x)为
2．函数的极值
(1)判断f (x0)是极值的方法
一般地，当函数f (x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f (x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f (x0)是极小
值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f ′(x)；
②求方程的根；
③检查f ′(x)在方程的根左右值的符号．如果左正右负，那么 f (x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增为函数的最小值，
为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．
(3)设函数f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f (x)在(a，b)内的；
②将f (x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【课堂研讨】
题型一函数的单调性与导数
例1已知f(x)＝e x－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
例2 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
题型三函数的最值与导数
例3 已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．
题型四生活中的优化问题
例4某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
【延伸拓展】
已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值
【达标检测】
1 已知a∈R，函数f(x)＝ (－x2＋ax)e x (x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围
2 设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx (x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b、c的值；
(2)求g(x)的单调区间与极值．
3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．
4 、用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为
2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
．
§3.3 导数的综合应用
课型：复习课
姓名使用时间月日评价
【考纲要求】
会利用导数解决实际问题.
【学习内容】
1.利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求导数)('
x f ；
(2)在函数
)(x f 的定义域内解不等式)('
x f >0或)('x f <0；
(3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间．
2．求可导函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；(2)求导数)('x f ；(3)解方程)('x f ＝0，求出函数定义
域内的所有根；(4)列表检验
)('x f 在)('x f ＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果
左正右负，那么)(x f 在x 0处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0
处取极小
值．
3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]内的最大值与最小值
(1)确定函数)(x f 在闭区间[a ，b ]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b )内的极值； (3)求函数
)(x f 在[a ,b ]端点处的函数值f (a )，f (b );
(4)比较函数)(x f 的各极值与f (a )，f (b )的大小，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 【课堂研讨】
题型一 利用导数的几何意义解题
例1 设函数)(x f ＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d (a 、b 、c 、d ∈R)的图象关于原点对称，且当x ＝1时f (x )有极小值－23.
(1)求a 、b 、c 、d 的值；
(2)当x ∈[－1,1]时，问图象上是否存在两点使过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论． 题型二 用导数研究函数的性质
例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x (x －a )． (1)求函数)(x f 的单调区间；
(2)设g (a )为
)(x f 在区间[0,2]上的最小值．
(i)写出g (a )的表达式；
(ii)求a 的取值范围，使得－6≤g (a )≤－2. 题型三 恒成立及求参数范围问题 例3 已知函数)(x f ＝ln x －a
x
.
(1)若a >0，试判断)(x f 在定义域内的单调性； (2)若)(x f 在[1，e]上的最小值为3
2，求a 的值；
(3)若)(x f <x 2
在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 题型四 用导数证明不等式问题 例4 已知函数)(x f ＝x 2
＋ln x .
(1)求函数)(x f 在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数)(x f 的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2
的下方．
【延伸拓展】
已知函数
)(x f ＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x
(x ∈R)，
其中a ∈R.(1)当a ＝0时，求曲线y ＝)(x f 在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠2
3时，求函数f (x )的单调区间与极值．。