傅里叶光学在光纤光栅色散测量系统中的应用

傅里叶光学在光纤光栅色散测量系统中的应用
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2012年1月
傅里叶光学在光纤光栅色散测量系统中的应用
摘要：本论文首先通过傅里叶变换的方法分析普通的迈克尔孙光纤干涉仪，然后根据傅里叶分析理论建立了基于傅里叶变换光谱技术的光纤光栅色散测量系统。

详细阐述了系统组成和原理，针对测量方法和误差来源进行分析。

对啁啾光纤光栅的实际测量结果证明了系统的可行性。

测量重复性优于5ps。

系统具有结构简单，测量时间短等优点。

关键词:傅里叶变换；光谱技术；光纤光栅；色散
正文：
1.引言
随着光纤光栅制作技术的不断提高及其应用领域的不断扩展，对其本身特性的要求越来越高。

普通的光谱分析仪只能满足光纤光栅反射率、带宽和中心波长特性的测试。

研制高效率、高精度的光纤光栅色散测量系统具有很大的实用价值。

本论文研究基于傅里叶变换光谱技术的测量系统采用双光束干涉原理，利用频率调制方法使不同波长的光受到不同频率的调制，然后通过傅里叶积分变换进行解调而获取不同波长的光谱色散信息。

系统本身具有多路接收和高通量的优点。

使用快速傅里叶变换算法通过计算机处理数据，进一步减少了获得最终结果的时间。

本文将结合傅里叶光学分析的基础来对系统原理、实验方法和误差来源进行详细说明并给出使用该系统对啁啾光纤光栅色散的实测结果。

2.测量原理
基于傅里叶变换光谱技术的测量系统由光源、干涉仪、接收器和计算机组成。

其中干涉仪用来实现干涉调频，待测光纤光栅连接在迈克尔逊干涉仪的一臂。

接收器用于接收光功率并进行光电转换及模拟数字转换。

计算机对采集的干涉图信号进行离散傅里叶变换处理并输出最终的光纤光栅色散特性结果。

2.1 干涉仪
在图 1 所示的普通光纤迈克尔逊干涉仪中，参考臂尾端的反射镜沿光轴方向移动，实现光程扫描。

光源发出的光经耦合器分振幅沿两臂传输，参考臂的光经反射镜反射，测量臂中满足布喇格波长的光被光纤光栅反射，两反射光回到耦合器叠加后的光强被探测器接收。

图1 普通迈克尔孙干涉仪
根据光谱表示方法，两臂光波场中某点光振动可以用解析函数给出：
1110
2220
()2()exp()exp()()2()exp()exp()U t a w i w iwt dw
U t a w i w iwt dw
ϕϕ∞
∞=-=-⎰⎰
其中11()exp()a w i w ϕ-和22()exp()a w i w ϕ-分别是两臂光波场中某点光振动的
傅里叶变换。

根据部分相干理论，如果用Γ表示重组光束的相对时延，
2/h c Γ=， h 为反射镜从零光程差位置开始移动的距离，c 为光程差，那么探测器处强度可以用常数0I 和一个振荡部分0s I (τ)的和表示：0()()os I I I ττ=+。

忽略所乘常数，干涉图振荡部分()os I τ与互相干函数12()I τ的实部成正1212()(),()I U t U t ττ=<+>，这里〈〉表示求时间平均。

互相干本质上与光源和干涉仪的色散相位不均衡与和式子21()()()w w w φφφ=-有关。

将Γ12(τ) 归一化得到复相干度
:
1212()/γτ=Γ可得：
12()()os I τγτ∝ (1)
这里R e 表示复数的实部。

假设光场是稳定的，背景色散可忽略，
Weiner-Khintchine 定理有：
~
12()()()exp{()exp()}G w r w i w iw dw γτϕτ+∞-∞=-⎰
这里()S w =G ()()exp{()exp()w r w i w iw ϕτ-是光源归一化功率谱密度，可知()exp{()r w i w ϕ-是被测光纤光栅反射系数。

定义()S w =G ()()exp{()exp()w r w i w iw ϕτ-，可知()S w 和()exp{()r w i w ϕ-是傅里叶变换对112()(())F S w γτ-=，这里F{ }表示傅里叶变换。

根据傅里叶变换的线性定理*~~*11212122Re[()]()(){()()}F S W S W γτγτγ
τ-=+=+- 对负频率，~()S W 的值都为零，可得
~~12()()()exp(()){2Re[()]}S W G W r w w F ϕγτ=-= (2)
且对于w>0时，结合式( 1)和式( 2)，有
~()()exp((){()}os G W r w w F I ϕτ-∝
~
()(){()}os G W r w F I τ∝ (3) ()arg {()}os w F I ϕτ (4)
等式(3) 的关系是经典傅里叶变换光谱学光谱分析的基础，已经广泛应用于光纤干涉仪。

式(4) 表明色散相位()w ϕ等于干涉图傅里叶变换的辐角，是离散傅里叶变换光谱技术中恢复色散相位的基础。

光纤光栅的色散一般可以用不同频率成分的相对时间延迟来表示()()
g d w d w ϕτ=。

2.2离散傅里叶变换
连续信号傅里叶分析中，在时域或频域都需要对连续函数作积分运算，而且其积分限都要包括从[-∞，+∞]全部时间轴或频率轴的范围。

为在数字计算机上完成傅里叶变换，对此进行了两点修改。

一是连续函数在时频域上都应变成离散数据；二是把计算范围从无限宽收缩到一个有限区域内。

离散傅里叶变换的结果周期化了时域和频域函数。

连续函数()os I τ的离散傅里叶变换表示为：
1
01()exp(2nr /)N r r X n I i N N π-==-∑ 式中r I 为os I 在时间坐标上的离散值：把时间长度τ分为N 等分，采样间隔
s T T N
=，各采样点对应时刻为s rT τ=，0,1,.....1r N =-是频域数据序列的序数。

()X n 表示了对应于频率12n n w f n N
π==∙的频谱。

()X n 是一复数，因此它既含有幅值，又含有相位信息1
m I [()]()tan()Re[()]n X n w X n ϕ-=。

这样，光纤光栅相对时间延迟g τ的离散值就可以由()n w ϕ对n 的数值微分求得。

3. 实验
基于傅里叶变换光谱技术的光纤光栅色散测量系统如图 2 所示。

光源部分使用ASE 宽带光源加可调滤波器的结构，一方面可以减小参考臂反射光中与光纤光栅反射光谱不匹配的部分从而提高条纹可见度，另一方面可以通过调节满足不同光纤光栅带宽和中心波长的需要。

参考臂加入偏振控制器匹配两臂中传输光的偏振态进一步提高干涉条纹可见度。

图2 基于福利叶变换的光谱技术色散测量系统
计算机通过伺服气浮导轨控制平面反射镜沿光轴方向移动并对干涉图数据进行采样。

如果反射镜的运动速度为V ，那么波数为的光将被干涉仪以2f V σσ=的频率调制。

根据采样定理可知,为避免频谱混叠使信号无损地记录下来，干涉图的采样频率f s 必须大于max 24f V σσ≥Hz ，即以max 4V σ/s 的时间间隔对干涉图采样；过度采样会增加数据量，花费计算时间，而不会增加光谱信息。

因此实际测量中的采样频f s 选取要适当。

离散傅里叶变换后的光谱分辨率1
σδ
∆=，决定于平面反射镜的最大移动距离。

实验中不可能无限增大移动距离而达到任意高的分辨率，而且过大的移动距离会增加环境因素对系统的影响从而增大测量结果的误差。

通过在干涉图数据后
补零可以对离散傅里叶变换后的光谱进行改善：使数据N 为2的整次幂便于使用快速傅里叶算法；对原光谱做插值可以在一定程度上克服干涉图数据过短产生的光谱泄漏现象。

式(5) 中反正切函数的值域是( -π，π] ，由等式获得的相位()n w ϕ仅仅是相位的主值，即卷绕的相位，不能直接进行数值微分。

因此必须对相位()n w ϕ先进行解卷绕处理。

简化步骤如下：设当前点的相位为()i ϕ，前一点的相位为(1)i ϕ-。

若- π≤()i ϕ-(1)i ϕ-≤π，则当前相位点不变。

若()i ϕ-(1)i ϕ->π，则当前相位点及其后各点一律减2 。

若()i ϕ-(1)i ϕ-<- π，则当前相位点及其后各点一律加
2。

通过解卷绕处理，就可获得连续的相位，进行数值微分。

4. 实验结果
我们采用该系统对一个啁啾光纤光栅进行测量。

这个啁啾光纤光栅的中心波长为1549.4nm ，3dB 带宽为0.8nm 。

平面反射镜移动距离329.576mm ，采样频率48kHz ，采集60万个数据。

三次重复测量的群时延如图3所示。

从图中可知F BG 中反射功率最大的光谱区域，其测量值的重复性最好。

在FBG 的3dB 反射带宽以上的区域，测量的重复性优于5ps 。

图3 三次重复测量光纤光栅群时延实验结果
实验中，由于所测啁啾光纤光栅群时延远远大于背景群时延（飞秒量级），忽略了系统的背景色散，背景色散主要包括参考臂空气层的色散以及干涉仪中光纤长度不匹配带来的色散。

平面反射镜是系统中唯一运动的部件，其运动精度是系统性能好坏的关键。

由于我们用等时间间隔进行采样，反射镜扫描速度的不均匀性会导致光程差的非线性变化，从而对系统精度造成影响。

解决办法是使用高
相干干涉仪监测反射镜的平移，加入过零电路测定高相干干涉条纹的过零点输出信号触发系统采样；也可以采集高相干干涉图数据在随后的数字计算中对宽带干涉图进行修正。

系统的误差还包括探测器和电子系统对频率响应的不一致，模拟信号在数字化过程中带来的量化误差以及离散傅里叶变换运算中的舍入误差等。

针对各种误差进行数学上的分析，从而进一步改进整个实验系统是我们今后的研究方向。

5.结语
基于傅里叶变换光谱技术的建立是傅里叶光学分析法在光纤光栅测量系统的应用实例。

通过傅里叶变换光谱分析的方法分析传统的测量系统之后进行改进后的测量系统具有高通量、多路接收、高分辨率、宽自由光谱范围和杂散光低、结构简单、测量速度快等优点。

所测啁啾光纤光栅群时延具有5ps的重复性。

对系统进一步改进、集成和小型化后，具有很高的实用转化推广价值。