(完整版)数学归纳法练习题

数学归纳法练习题
一、选择题
1. 用数学归纳法证明12
1
*11(,1)1n n a a a a
n N a a
++-++++=∈≠-L ,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 2
1a a ++ D. 2
3
1a a a +++ 2. 用数学归纳法证明11111111
1234212122n n n n n
-
+-++-=+++
-++L L *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )
A.
121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 11
2122
k k -++ 3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,n
n
x y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( )
A. 假设*
21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确; B. 假设*21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设*
()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确; D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.
二、填空题
4. 数列{}n a 中,111
,21
n n n a a a a +=
=+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是 5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为 6. 用数学归纳法证明“当*
2
3
51
,12222
n n N -∈+++++L 时是31的倍数”时,1n =时的原式是 ,从k 到1
k +时需添加的项是
三、解答题
7. 求证:对于整数0n ≥时,2
211112n n +++能被133整除. 8. 若*
n N ∈,求证:2
3sin cos
cos
cos
cos 2
222
2sin
2n n
n
α
α
αααα
=
L .
9. 若*
n N ∈,且2n ≥,求证:
1111312224
n n n +++>++L . 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*
n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明.
11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n
f n n =+⋅+ 对于任意*
n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.
12. 正数数列{}n a 中,11
()2n n n
S a a =
+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*
n N ∈,试比较 3(1)!n
n +和 的大小.
【答案】
一、选择题
1. C
2. D
3. B 二、填空题
4. 11111,,,,23456. 11
n a n =
+(*
n N ∈)
5. 1
2114916(1)
(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++L L
6. 2
3
4
12222++++, 55152535422222k
k k k k ++++++++.
三、解答题(略解)
7. ① 0n =时,原式=2
1112133+=能被133整除;
② 设n k =时,2
2111
12k k +++ 能被133整除
1n k =+时,原式=3
23221212311
1211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+
=2
212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除.
8. ① 1n =时,左=cos
2
α
, 右=
sin cos
2
2sin
2
αα
α
=,左=右
② 设n k =时, 2
3sin cos
cos
cos
cos 2
222
2sin
2k k k
α
α
αααα
=L
1n k =+时, 2
311
sin (cos
cos
cos
cos )cos cos
2
2
222
2
2sin
2k k k k k
α
α
ααααα
α
++⋅=⋅L
=
1
111
1
1
sin sin cos
22sin
cos
2sin
2
2
2k k k k k k αα
αα
α
α
++++++⋅=
9. ① 2n =时,左=
11713341224+=>
② 设n k =时, 11113
12224
k k k +++>
++L 1n k =+时, 左=1111
222122k k k k ++++
+++L =111111
()12212122k k k k k k +++-++
+++++L ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>13
24
.
10. 计算得: 12343715
1,,,248
a a a a ====.猜想 1212n n n a --=
① 1n =时,计算得11a =,结论成立;
② 设n k =时, 121
2
k k k a --=, 则
1n k =+时, 11
1111
21
[2(1)](2)2k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-
∴11
212k k k
a ++-=.
11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.
② 设n k =正确即 ()(27)39k
f k k =+⋅+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,
11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+
13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除.
12. ⑴ 11a =,
21a =,
3a = ⑵ 猜想
: n a =
① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即
n a =
则 1n k =+ 时
111111[()2k k k k k a S S a a ++++=-=+--
2
1110k k a ++⇒+-=,解得(取正值
) 1k a +=
13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……
猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!n
n >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!n
n <+
① 4n = 时,
显然成立;
② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!k
k <+ 则 1n k =+ 时
1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=⋅<+⋅<+⋅+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )
即 1
3(11)!k k +<++。