2016-2017年陕西省延安市黄陵中学普通班高一(下)第三次月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一（下）第三次
月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）
1．（5分）圆（x+2）2+y2＝5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2＝5B．x2+（y﹣2）2＝5
C．（x+2）2+（y+2）2＝5D．x2+（y+2）2＝5
2．（5分）方程y＝﹣表示的曲线（）
A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆
3．（5分）两圆x2+y2﹣1＝0和x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离
4．（5分）直线mx+ny+3＝0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y＝3倾斜角的2倍，则（）
A．B．C．D．
5．（5分）两条直线l1：2x+y+c＝0，l2：x﹣2y+1＝0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．不能确定6．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y＝0B．x﹣y＝0C．x+y﹣6＝0D．x﹣y+1＝0 7．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1
8．（5分）过点（0，1）的直线与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）
A．2B．C．3D．
9．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4
C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
10．（5分）点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1＝0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6）B．（2，3）C．（﹣5，6）D．（﹣2，3）11．（5分）如图所示，已知M（1，0），N（﹣1，0），直线2x+y﹣b＝0与线段MN相交，则b的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[]D．[0，2]
12．（5分）函数y＝+的最小值是（）
A．0B．C．13D．不存在
二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）
13．（5分）过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是．
14．（5分）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．15．（5分）直线l与直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为．
16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：
（1）过点（1，1）；
（2）直线在y轴上的截距为﹣3．
18．（12分）直线l过点（1，4），且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．19．（12分）光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．
21．（12分）如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；
（3）求几何体ADEBC的体积V．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一（下）
第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）
1．（5分）圆（x+2）2+y2＝5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2＝5B．x2+（y﹣2）2＝5
C．（x+2）2+（y+2）2＝5D．x2+（y+2）2＝5
【解答】解：圆（x+2）2+y2＝5的圆心（﹣2，0），关于（0，0）对称的圆心坐标（2，0）所求圆的方程是（x﹣2）2+y2＝5．
故选：A．
2．（5分）方程y＝﹣表示的曲线（）
A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆
【解答】解：化简整理后为方程x2+y2＝25，但y≤0．
所以曲线的方程表示的是半个圆．
故选：D．
3．（5分）两圆x2+y2﹣1＝0和x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离
【解答】解：圆x2+y2﹣1＝0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1＝1为半径的圆；
圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2＝3为半径的圆；
∵|O1O2|＝
∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，
∴圆x2+y2﹣1＝0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0相交
故选：B．
4．（5分）直线mx+ny+3＝0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y＝3倾斜角的2倍，则（）
A．B．C．D．
【解答】解：对于直线mx+ny+3＝0，令x＝0，得到y＝﹣，即﹣＝﹣3，
解得：n＝1，
∵x﹣y﹣3＝0的斜率为60°，
∴直线mx+ny+3＝0的倾斜角为120°，即斜率为﹣，
∴﹣＝﹣m＝﹣，即m＝．
故选：D．
5．（5分）两条直线l1：2x+y+c＝0，l2：x﹣2y+1＝0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．不能确定
【解答】解：直线l1的斜率是：﹣2，
直线l2的斜率是：，
由﹣2×＝﹣1，得直线垂直，
故选：B．
6．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y＝0B．x﹣y＝0C．x+y﹣6＝0D．x﹣y+1＝0
【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为k＝＝﹣1，
故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为y﹣＝1×（x﹣），即x﹣y+1＝0，
故选：D．
7．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1
【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），
则由题意知，
解得b＝2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1．
故选A．
解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），
故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1
故选A．
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，
排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．
故选：A．
8．（5分）过点（0，1）的直线与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）
A．2B．C．3D．
【解答】解：如图|AB|最小时，弦心距最大为1，．
故选：B．
9．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4
C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），
则
代入x2+y2＝4得（2x﹣4）2+（2y+2）2＝4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2＝1．故选：A．
10．（5分）点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1＝0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6）B．（2，3）C．（﹣5，6）D．（﹣2，3）
【解答】解：设P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1＝0的对称点Q的坐标为Q（a，b），可得PQ的中点为M（，），直线l的斜率k＝，
∵PQ与直线l相互垂直，且PQ的中点M在直线l上，
∴，
解得，
可得Q的坐标为（﹣5，6）．
故选：C．
11．（5分）如图所示，已知M（1，0），N（﹣1，0），直线2x+y﹣b＝0与线段MN相交，则b的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[]D．[0，2]
【解答】解：由题意得：
两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b＝0的两侧，
∴（﹣2﹣b）（2﹣b）≤0，
∴b∈[﹣2，2]．
故选：A．
12．（5分）函数y＝+的最小值是（）
A．0B．C．13D．不存在
【解答】解：y＝+
＝+，
+的几何意义是点A（x，0）到点B（0，1）与点C（2，﹣2）的距离之和，如下图：
故函数y＝+的最小值是＝，
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）
13．（5分）过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是3x+y﹣6＝0．
【解答】解：∵过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线过点（1，3）和（2，0），
∴其方程为：，
整理得3x+y﹣6＝0．
故答案为：3x+y﹣6＝0．
14．（5分）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．【解答】解：设直线l的方程为y＝，
取y＝0，得x＝﹣6m．
所以l和坐标轴围成面积为S＝．
解得m＝±1．
所以直线l的方程为，即x﹣6y±6＝0．
15．（5分）直线l与直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为﹣．
【解答】解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），
∴1＝，且﹣1＝，
解得，a＝﹣2，b＝4，
∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直线l的斜率为：＝﹣，
故答案为﹣．
16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝1．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6＝0的半径为，圆心（0，﹣a），
公共弦所在的直线方程为，ay＝1．大圆的弦心距为：|a+|
由图可知，解之得a＝1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：
（1）过点（1，1）；
（2）直线在y轴上的截距为﹣3．
【解答】解：（1）过点（1，1），
所以当x＝1，y＝1时，
2+t﹣2+3﹣2t＝0，
解得：t＝3；
（2）直线在y轴上的截距为﹣3，
所以过点（0，﹣3），
故﹣3（t﹣2）+3﹣2t＝0，
解得：t＝．
18．（12分）直线l过点（1，4），且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．【解答】解设直线l的方程为+＝1，
则，解得或
则直线l的方程2x+y﹣6＝0
或8x+y﹣12＝0．
19．（12分）光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．
【解答】解：如图所示，由题设，点B在原点O的左侧，根据物理学知识，直线BC一定过（﹣1，6）关于y轴的对称点（1，6），直线AB一定过（1，6）关于x轴的对称点（1，﹣6）且k AB＝k CD，
∴k AB＝k CD＝＝﹣．
∴AB方程为y﹣4＝﹣（x+3）．
令y＝0，得x＝﹣，
∴B（，0）
CD方程为y﹣6＝﹣（x+1）．
令x＝0，得y＝，
∴C（0，）
∴BC的方程为+＝1，
故得BC的一般方程为：5x﹣2y+7＝0．
20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．
【解答】证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB＝90°
∴AC⊥BC，AC∩SC＝C，BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）
（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）
∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°
∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，
则∠AMN＝60°在△CAN中，由勾股定理得．
在Rt△AMN中，＝．
在Rt△CNM中，
故二面角M﹣AC﹣B的正切值为．（5分）
21．（12分）如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；
（3）求几何体ADEBC的体积V．
【解答】解：
（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．∵G，F分别是EC和BD的中点，
∴HG∥BC，HF∥DE．
又∵四边形ADEB为正方形，
∴DE∥AB，从而HF∥AB．
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．
∴平面HGF∥平面ABC．
∴GF∥平面ABC．
（2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB．
又∵平面ABED⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC．
∴BE⊥AC．
又∵CA2+CB2＝AB2，∴AC⊥BC．
∴AC⊥平面BCE．
从而平面EBC⊥平面ACD．
（3）取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，
∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a．
又平面ABED⊥平面ABC，
∴CN⊥平面ABED．
∵C﹣ABED是四棱锥，
∴V C﹣ABED＝S ABED•CN＝a2•a＝a3．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
【解答】解：（1）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）＝x2+2x+b＝0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0
令y＝0得x2+Dx+F＝0这与x2+2x+b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．
令x＝0得y2+Ey+F＝0，方程有一个根为b，代入得出E＝﹣b﹣1．
所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b＝0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）＝0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0＝0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0＝0，解得
假设成立，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．。