高考数学总复习 第11章 第8节 离散型随机变量的均值与方差课件 理 新人教A版

②先化验 3 只，结果为阴性，再从其他 2 只中任取 1 只
3 C4 2 化验(无论第 2 次验中没有，均在第 2 次结束)，则C3＝5. 5
1 2 3 故依方案乙所需化验次数为 2 的概率为 ＋ ＝ . 5 5 5
(2)设方案甲化验的次数为 η，则 1 4 1 1 P(η＝1)＝5，P(η＝2)＝5×4＝5， 4 3 1 1 P(η＝3)＝5×4×3＝5， 4 3 2 2 P(η＝4)＝5×4×3＝5， 1 1 1 2 14 故 E(η)＝1×5＋2×5＋3×5＋4×5＝ 5 .
【特别提醒】E(ξ )是一个实数，即 ξ 作为随机变量是可 变的，而 E(ξ)是不变的．
【活学活用】 1.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的 袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同． (1)若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率
及抽全三种颜色球的概率；
(2)若抽取后不放回，抽完红球所需次数为ξ，求ξ的分布 列及期望．
求离散型随机变量均值的方法步骤： 1．理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； 2．求ξ取每个值的概率；
3．写出ξ的分布列；
4．由均值的定义求E(ξ)．
( 浙江高考 ) 如图，一个小球从 M
处投入，通过管道自上而下落到A或B或
C ，已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的． 某商家按上述投球方式进行促销活 动，若投入的小球落到A，B，C.则分别
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
为随机变量 X
数学期望
，它反映了离散型随机变量取值
的 平均水平 ． (2)方差
称 D(X)＝i＝1
∑ （xi－E（X））2pi
n
为随机变量 X 的方差，它
刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 ，其
算术平方根 D（X）
为随机变量 X 的标准差．
2 2 解：(1)抽 1 次得红球的概率为5，得白球的概率为5，得 1 黑球的概率为5. 所以恰 2 次为红色球的概率为
2 2 23 P1＝C3( ) ＝
36 ， 5 5 125
2 2 1 3 24 抽全三种颜色的概率为 P2＝( × × )· A＝ . 5 5 5 3 125
(2)ξ的分布列为：
答案：A
3．设随机试验的结果只有 A 与 A，P(A)＝p，令随机变 量ξ
1，A， ＝ 则 0，A，
ξ 的方差为(
) B．2p(1－p) D．p(1－p)
A．p C．－p(1－p)
解析：E(ξ)＝0· (1－p)＋1· p＝p， D(ξ)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p ＝p－p2＝p(1－p)．
600 当 x＝ ＝75 时，f(x)＝3 为最小值． 2×4
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方 差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上 刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论
依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
已知5只动物只有1只患有某种疾病，需要通过化验血
设方案乙化验的次数为 ξ，则 3 C2 C1 2 4 2 P(ξ＝2)＝ ，P(ξ＝3)＝ 3· 1＝ ， 5 C5 C3 5 3 2 12 故 E(ξ)＝2× ＋3× ＝ . 5 5 5 故 E(η)＞E(ξ)，即方案乙化验次数的期望值较小．
【活学活用】 3. 李先生家在 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开 车到公司上班有 L1 ， L2 两条路线 (如 图)，路线 L1 上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的 1 概率均为 ；路线 L2 上有 B1，B2 两个路口，各路口遇到红灯 2 3 3 的概率依次为4，5.
5 1 答案：12 4
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表 示取到次品的个数，则E(X)等于________．
C2 7 解析：X＝0 时，P＝C2 ； 10
1 C1 7C3 X＝1 时，P＝ C2 ； 10
C2 3 X＝2 时，P＝ 2 ， C10
2 1 2 7×3＋2×3 3 C7 C1 C C 7 3 3 ∴E(X)＝0×C2 ＋1× C2 ＋2×C2 ＝ ＝5. 2 C 10 10 10 10 3 答案： 5
则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某一天每次出
车都超过了3 km，且一次的总路程数可能的取值是20、22、 24、26、28、30(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、 0.20、0.20、100a2＋3a、4a.
(1)求这一天中一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和 方差； (2)求这一天中一次所收出租车费Y的均值和方差．
【思路点拨】 解答本题时，可以先将 小球落到A、B、C的树型图画出(如图)，然 后分清小球落入 A 、 B 、 C 的线路，分别求 出概率，得到分布列．
1 1 1 1 1 【自主解答】 (1)由题意知 P(ξ＝50%)＝2×2×2＋2×2× 1 1 1 1 3 2×2＝8＋16＝16. 1 1 1 1 1 1 1 3 P(ξ＝70%)＝2×2＋2×2×2＝4＋8＝8， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 P(ξ＝90%)＝2×2＋2×2×2＋2×2×2×2＝16， ∴ξ的分布列为
(2)由已知Y＝3X－3(X>3，X∈N)， ∴E(Y)＝E(3X－3)＝3E(X)－3
＝3×25－3＝72(元)，
D(Y)＝D(3X－3)＝32D(X)＝86.76. 【特别提醒】1. 呈线性关系的两变量的均值与方差可用 下 列 公 式 计 算 ： 若 η ＝ aξ ＋ b ， 则 E(η) ＝ aE(ξ) ＋ b ， D(η) ＝ a2D(ξ)，其中a、b都为有限数．
答案：D
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表． 若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X P
－1 a
0 b
1 c
2 1 12
1 a＋b＋c＋ ＝1， 12 1 解析：由题意 －a＋c＋6＝0， 1 a·1＋c·1＋4· ＝1， 12 5 1 解得 a＝12，b＝c＝4.
设为1，2，3等奖．
(1) 已知获得 1 ， 2 ， 3 等奖的折扣率分别为 50% ， 70% ， 90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1，2，3)等奖的折扣率．求随机 变量ξ的分布列及期望E(ξ)；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动．记随机变
量η为获得1等奖或2等奖的人次．求P(η＝2)．
随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样 的？ 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、 方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，
样本均值、方差趋于随机变量的均值与方差．
二、均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b ． (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b为常数)
差的和．求 f(x) 的最小值，并指出 x 为何值时， f(x) 取到最小
值．
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 P Y2 P 2 0.2 5 0.8 8 0.5 10 0.2 12 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. 100－x x (2)f(x)＝D(100Y1)＋D( 100 Y2) 100－x 2 x 2 ＝(100) DY1＋( 100 ) DY2 4 2 2 ＝ 2[x ＋3(100－x) ] 100 4 2 2 ＝ 2(4x －600x＋3×100 )． 100
ξ
P
即
2 C2 2 C2 5
3
1 C1 1 2C3 · C2 3 5
4
2 C1 1 2C3 · C3 2 5
5
3 C1 1 2C3 · C4 1 5
ξቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
2 1 10
3 1 5
4 3 10
5 2 5
∴E(ξ)＝4.
求离散型随机变量的方差的方法步骤： 1．求E(ξ)； 2．代入方差公式求D(ξ)．
某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时， 租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．设出租车一次行驶的路程数 X(按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，
液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物， 呈阴性的即为没患病动物．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若结 果呈阳性，则表明患病动物是这 3只中的1只，然后再逐个化 验，直到确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中
任取1只化验．
(1)求依方案乙所需化验次数恰好为2的概率；
(2)试比较两种方案，哪种方案化验次数的期望值较小．
【思路点拨】
【自主解答】(1)依方案乙化验 2 次化验出结果，有两种 可能： ①先化验 3 只，结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好 C2 1 1 4 1 次验中，此时概率为 3× 1＝ . C5 C3 5
X 20 22 24 26 28 30 P 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18 0.12
∴ E(X) ＝ 20×0.12 ＋ 22×0.18 ＋ 24×0.20 ＋ 26×0.20 ＋ 28×0.18＋30×0.12＝25(km)． D(X) ＝ 52 × 0.12 ＋ 32 × 0.18 ＋ 12 × 0.20 ＋ 12 × 0.20 ＋ 32 × 0.18＋52×0.12＝9.64.
【思路点拨】
【自主解答】(1)由概率分布的性质有 0.12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1， ∴100a2＋7a＝0.3， ∴1 000a2＋70a－3＝0， 3 1 ∴a＝100或 a＝－10(舍去)， 即 a＝0.03.
∴100a2＋3a＝0.18，4a＝0.12， ∴X 的分布列为：
第八节 离散型随机变量的均值与方差
1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的 概念． 2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能 解决一些实际问题．
一、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值 称 E(X)＝ 的均值或
且设 η＝2ξ＋3，则 η 的均值是( 7 A.3 C．－1 B．4 D．1
)
1 1 1 解析：由分布列性质有 ＋ ＋a＝1，即 a＝ . 2 3 6 1 1 1 1 E(ξ)＝(－1)× ＋0× ＋1× ＝－ . 2 3 6 3 2 7 ∴E(ξ)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝3－ ＝ . 3 3
ξ
P
50% 3 16
70% 3 8
90% 7 16
3 3 7 120 3 期望 E(ξ) ＝ 16× 50% ＋8 × 70% ＋ 90% ×16 ＝160 ＝ 4 ＝ 75%. 3 3 9 (2)投入 1 球获得 1 等奖或 2 等奖的概率为16＋8＝16， ∴P(η＝2)＝C2 3·( 9 2 7 1 701 16) ×16＝4 096.
2．期望与方差的关系是D(ξ)＝E(ξ2)－(Eξ) 2，因此也可利 用该关系求方差． 【活学活用】 2.A，B两个投资项目的利润分别为随机变
量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为： X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3
(1) 在 A ， B 两个项目上各投资 100 万元， Y1 和 Y2 分别表示 投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目， f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方
1．随机变量X的分布列如下图，则X的数学期望是( X P A.2.0 C．2.2 1 0.2 B．2.1 D．随m的变化而变化 2 0.5 3 m
)
解析：由题知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，
∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.
答案：B
2．已知分布列为：
ξ P －1 1 2 0 1 3 1 a