2019八年级数学下册 专题突破讲练 勾股定理的综合使用试题 (新版)青岛版

勾股定理的综合使用
一、勾股定理
1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c += 2. 勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积的不同表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

二、定理适用范围及应用 1. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考查的对象是直角三角形。

2. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边；
在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b ，a =； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题。

总结
（1）掌握好定理的内容及基本证明；
（2）求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。

例题1 已知直角三角形斜边上的中线长为1，周长为2+6，则这个三角形的面积为（ ） A.
2
1
B. 1
C. 2
D. 6 解析：由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积公式进行计算。

答案：解：设两直角边长分别为x 、y ；
∵直角三角形斜边上的中线长为1，故斜边长为2。

周长为2+6=x+y+2，得x+y=6。

① 由勾股定理得22y x ＝2。

②
①②联立解得x y=1，故这个三角形的面积为21xy=2
1。

故选A 。

例题2 在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+2S 2+2S 3+S 4=（ ）
A. 5
B. 4
C. 6
D. 10
解析：先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB ，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE ，然后利用勾股定理得到DE 2
+BE 2
=BD 2
，代换后有ED 2
+AC 2
=BD 2
，根据正方形的面积公式得到S 1=AC 2
，S 2=DE 2
，BD 2
=1，所以S 1+S 2=1，利用同样方法可得到S 2+S 3=2，S 3+S 4=3，通过计算可得到S 1+2S 2+2S 3+S 4=1+2+3=6。

答案：解：如图
∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB ，∴∠ABC+∠DBE=90°， ∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE， ∵在△ABC 和△BDE 中，
∠ACB ＝∠BED ∠CAB ＝∠EBD AB ＝BD ， ∴△ABC≌△BDE（AAS ），∴AC=BE，
∵DE 2
+BE 2
=BD 2
，∴ED 2
+AC 2
=BD 2
，∵S 1=AC 2
，S 2=DE 2
，BD 2
=1，∴S 1+S 2=1， 同理可得S 2+S 3=2，S 3+S 4=3，∴S 1+2S 2+2S 3+S 4=1+2+3=6。

故选C 。

分类讨论思想的应用
例题 在△ABC 中，AB=22，BC=1，∠ABC=45°，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD=90°，
连接CD ，则线段CD 的长为 。

解析：分①点A 、D 在BC 的两侧，设AD 与边BC 相交于点E ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，再求出BE=DE=
2
1
AD 并得到BE⊥AD，然后求出CE ，在Rt △CDE 中，利用勾股定理列式计算即可得解；②点A 、D 在BC 的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB ，过点D 作DE⊥BC 交BC 的反向延长线于E ，判定△BDE 是等腰直角三角形，然后求出DE=BE=2，再求出CE ，然后在Rt△CDE 中，利用勾股定理列式计算即可得解。

答案：解：①如图1，点A 、D 在BC 的两侧，∵△ABD 是等腰直角三角形，
， ∵∠ABC=45°，∴BE=DE=
21AD=2
1
×4=2，BE⊥AD， ∵BC=1，∴CE=BE－BC=2－1=1，
在Rt△CDE 中，CD=222221+=+DE CE =5； ②如图2，点A 、D 在BC 的同侧，
∵△ABD 是等腰直角三角形，∴BD=AB=22，
过点D 作DE⊥BC 交BC 的反向延长线于E ，则△BDE 是等腰直角三角形， ∴DE=BE=2，
∵BC=1，∴CE=BE+BC=2+1=3， 在Rt△CDE 中，
CD=222223+=+DE CE =13， 综上所述，线段CD 的长为5或13。

图形变换的证明
例题 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD 2
+DB 2
=DE 2。

解析：根据全等三角形的判定解决第一个问题，将图形转换位置，使AD 、DB 、DE 转化到同一个图形中，利用勾股定理进行证明。

答案：证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE。

∵BC=AC，DC=EC ，∴△ACE≌△BCD。

（2）∵△ACB 是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°。

∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2。

由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2。

（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥A C。

若DE=10，AE=16，则BE的长度为（）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
2. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（－2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）
A. －4和－3之间
B. 3和4之间
C. －5和－4之间
D. 4和5之间
*3. 如图，矩形ABCD中，E、F、M为AB、BC、CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）
A. 5
B. 52
C. 6
D. 62
*4. 如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=46，则PE+PF的长是（）
A. 46
B. 6
C. 42
D. 26
**5. 在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1。

过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB。

则点P 到BC所在直线的距离是（）
A. 1
B. 1或
23
1+
-
C. 1或
23
1+
D.
23
1+
-
或
23
1+
**6. 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°。

有以下四个结论：①AF⊥BC；
②∠BOE=135°；③O为BC的中点；④AG：DE=3：3，其中正确结论的序号是（）
A. ①②
B. ②④
C. ②③
D. ①③
二、填空题：
*7. 如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1= 2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= 。

*8. 如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为。

**9. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠BDA=90°，∠CBE=30°，∠CEB=45°，AE=4EC，BC=2，则CD的长为。

三、解答题：
*10. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD。

（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=15，AD=7，BC=5，求CE的长。

**11. 已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F。

（1）求证：GE=GF；
（2）若BD=1，求DF的长。

**12. 如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE。

（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）求证：BD=2AC；
（3）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？
1. C 解析：∵BE⊥AC ，∴△AEB 是直角三角形，∵D 为AB 中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，∴BE=
22AE AB -=12，故选C 。

2. A 解析：∵点P 坐标为（－2，3），∴OP=223)2(+-=13，∵点A 、P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上，∴OA=OP=13，∵9＜13＜16，∴3＜13＜4。

∵点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的横坐标介于－4和－3之间。

故选A 。

3. B 解析：解：如图，过E 作EG⊥CD 于G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，又∵EG⊥CD，∴∠EGD=90°，∴四边形AEGD 是矩形，∴AE=DG，EG=AD ，∴EG=AD=BC=7，MG=DG －DM=3－2=1，∵EF⊥FM，∴△EFM 为直角三角形，∴在Rt△EGM 中，EM==
+22MG EG 2217+=50=52。

故选B 。

4. C 解析：解：方法一：作PM⊥AC 于点M ，可得矩形AEPM∴PE=AM，利用DB=DC 得到∠B=∠DCB∵PM∥AB。

∴∠B=∠MPC∴∠DCB=∠MPC 又∵PC=PC 。

∠PFC=∠PMC =90°∴△PFC≌△CMP∴PF=CM∴PE+PF=AC∵AD：DB=1：3∴可设AD=x ，DB=3x ，那么CD=3x ，AC=22x ，BC=26x∵BC=46∴x=2∴PE+PF=AC=22×2=42。

方法二：连接PD ，PD 把△BCD 分成两个三角形△PBD、△PCD，S △PBD =2
1
BD•PE， S △PCD =
21DC•PF，S △BCD =2
1
BD•AC，所以PE+PF=AC=22×2=42。

故选C 。

5. D 解析：①如图，延长AC ，作PD⊥BC 交点为D ，PE⊥AC，交点为E ，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDPE 是正方形，则CD=DP=PE=EC ，∵在等腰直角△ABC 中，AC=BC=1，AB=AP ，∴AB=2
211+=2，
∴A P=2；∴在直角△AEP 中，（1+EC ）2
+EP 2
=AP 2
∴（1+DP ）2
+DP 2
=（2）2
，解得，；②如图，延长BC ，作PD⊥BC，交点为D ，延长CA ，作PE⊥CA 于点E ，同理可证，四边形CDPE 是正方形，∴CD =DP=PE=EC ，同理可得，在直角△AEP 中，（EC －1）2
+EP 2
=AP 2
，∴（PD －1）2
+PD 2
=（2）2
，解得，PD=
2
3
1+故选D 。

6. D 解析：如图，∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°。

∴∠CAF=30°，∴∠GAF=60°，∴∠AFB=90°，①AF 丄BC 正确；由①可得∠C=∠D=60°，∠DAC=120°，故可得∠DOC=120°，即而可得∠BOE=120°，即可得②∠BOE=135°错误；∵AD=AC，∠DAG=∠C AF ，∠D=∠C=60°，∴△ADG≌△ACF，∴AG=AF，∵AO=AO，∠AGO=∠AFO=90°，∴△AGO≌△AFO，∴∠OAF=30°，∴∠OAC=60°，∴AO=CO=AC，∴BO=CO=AO，即可得③正确；假设DG=x ，∵∠DAG=30°，∴AG=3x ，∴GE=3x，故可得AG ：DE=3：4，即④错误；综上可得①③正确。

故选D 。

7. 2013 解析：由勾股定理得：OP 4=2
212+=5，∵OP 1=2；得OP 2=3；依此类推可得OP n =1+n ，
∴OP 2012=2013，故答案为：2013。

8. 12 解析：Rt△ABD 中，E 是BD 的中点，则AE=BE=DE ；∴∠B=∠BAE，即∠AED =2∠B；∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，
即AE=AC=6.5；∴BD=2AE=13；由勾股定理，得：AB=2
2AD BD -=12。

9. 26 解析：如图，过点C 作CH⊥BD 于点H 。

∵∠CBE=30°，BC=2，∴CH=
2
1
BC=1，
又∵∠CEB=45°，∴EH=CH=1。

则CE=2。

∵AE=4EC=42。

在直角△ADE 中，∠EDA =90°，∠AED=∠CEB=45°，则
AD=DE=
2
2
AE=4。

∴DH=DE+EH =5，∴在直角△DCH 中，根据勾股定理得到
CD=22CH DH +=2215+=26。

故填：26。

10. （1）证明：∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F∴CE=CF，在Rt△BCE 和Rt△DCF 中，∵CE=CF，BC=CD ，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL ）。

（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴DF=EB，CE=CF ，CE⊥AB 于E ，CF⊥AD 于F ，∴Rt△ACE≌Rt△ACF，∴AF=AE，∵AB=15，AD=7，∴AD+DF=AB －EB ，∴EB=DF=4，在Rt△BCE 中，根据勾股定理，CE=3。

11. （1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CFD=90°。

∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°。

在Rt△AEC 和Rt△DFC 中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC ，∴Rt△AEC ≌Rt△DFC。

∴CE=CF。

∴DE=AF。

而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，∴Rt△AFG ≌Rt△DEG。

∴GF=GE。

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，∴CE=
21 AC=2
1
CD 。

∴CE=ED。

∴BC=BD=1。

又∵∠ECB+∠ACE=90°，
∠A+∠ACE=90°，∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，∴BE=21BC =21BD=2
1。

在直角三角形ABC 中，∠A=30°，则AB=2BC=2。

则AE=AB －BE=
23。

∵Rt△AEC≌Rt△DFC，∴DF=AE=2
3。

12. （1）证明：∵AD⊥AB，∴△ABD 为直角三角形。

又∵点E 是BD 的中点，∴AE=
21BD 。

又∵BE=2
1
BD ，∴AE=BE，∴∠B=∠BAE。

又∵∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠AEC=∠B+∠B =2∠B 。

又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C。

（2）证明：由（1）可得AE=AC ，又∵AE=
21BD ，∴2
1
BD=AC ，∴BD=2AC。

（3）解：在Rt△ABD 中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13∴AB ＝22AD BD -＝22513-＝12∴△ABE 的周
长=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25。