2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三(下)开学数学(文科)试题Word版含解析

2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学
数学（文科）试题
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．已知集合A={x|log
2
x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（0，2] D．[2，+∞）
2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）
A．1﹣i B．1 C．﹣iD．﹣i
3．在数列{a
n }中，a
1
=2，a
n+1
=a
n
+ln（1+），则a
n
=（）
A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn
4．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是（）A．B．C．D．
5．如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）
A．i＞3？B．i≤5？C．i＜4？D．i≤4？
6．定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）
A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．6
7．已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，a
5
=5，S
5
=15，则数列的前100项和为（）
A．B．C．D．
8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）
A．B．C．D．
9．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）
A． B．C．D．
10．如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）
A．B．C．D．
11．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足||=||，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1
12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x
1﹣x
2
|+|y
1
﹣y
2
|为两点P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
）
之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；
④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）
A．1个B．2 个C．3 个D．4个
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是．
14．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是．
15．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC 的体积为，其外接球的表面积为．
16．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，
0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log
a
（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是．
三、解答题（共70分）
17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），
（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；
（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．
18．（12分）已知数列{a
n }的前n项和为S
n
，且1，a
n
，S
n
是等差数列．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若b
n =log
2
a
n
，设c
n
=a
n
•b
n
，求数列{c
n
}的前n项和为T
n
．
19．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC 的面积．
20．（12分）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：
①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；
②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．
（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红
2，绿
3
），（红
3
，绿
2
））；
（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．
21．
（12分）如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，∠ABC=60°，AA
1
=AC=2，A
1
B=A
1
D=2，
点E在A
1
D上．
（1）证明：AA
1
⊥面ABCD．
（2）当为何值时，A
1B∥平面EAC，并求出此时直线A
1
B与平面EAC之间的距离．
22．（12分）已知函数．
（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；
（3）若a=﹣2，正实数x
1，x
2
满足f（x
1
）+f（x
2
）+x
1
x
2
=0，证明：．
2019-2020学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学
数学（文科）试题参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．已知集合A={x|log
2
x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（0，2] D．[2，+∞）
【分析】先化简集合A，再由条件A∪B=B得到A⊆B，即可求出c的取值范围．
【解答】解：∵A={x|log
2
x＜1}，∴A={x|0＜x＜2}，
由已知若A∪B=B，得A⊆B，
∴c≥2．
故选D．
【点评】本题考查了集合之间的关系，其关键是由A∪B=B得到得A⊆B．
2．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）
A．1﹣i B．1 C．﹣iD．﹣i
【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．
【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，
z===1﹣．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
3．在数列{a
n }中，a
1
=2，a
n+1
=a
n
+ln（1+），则a
n
=（）
A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn
【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．
【解答】解：∵，
，
…
∴
=
故选：A．
【点评】数列的通项a
n 或前n项和S
n
中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成
n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．
4．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是（）A．B．C．D．
【分析】根据△PBC的面积小于时，可得点P所在区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率．
【解答】解：设P到BC的距离为h
∵矩形ABCD的面积为S，
∴△PBC的面积小于时，h≤
∴点P所在区域的面积为矩形面积的一半，
∴△PBC的面积小于的概率是
故选D．
【点评】本题考查几何概型，解题的关键是根据△PBC的面积小于时，确定点P所在区域的面积为矩形面积的一半
5．如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）
A．i＞3？B．i≤5？C．i＜4？D．i≤4？
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：①S=2，i=2，
②S=2+22=6，i=3，
③S=6+23=14，i=4，
④S=14+24=30，i=5＞4，
故选D．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．
6．定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）
A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．6
【分析】利用向量数量积运算和新定义即可得出．
【解答】解：由数量积可得=10cosθ，解得，∵0≤θ≤π，∴．
∴|×|===8．
故选A．
【点评】正确理解向量数量积运算和新定义是解题的关键．
7．已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，a
5
=5，S
5
=15，则数列的前100项和为（）
A．B．C．D．
【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a
1，d，进而可求a
n
，代入可得
==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d 由题意可得，
解方程可得，d=1，a
1
=1
由等差数列的通项公式可得，a
n =a
1
+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n
∴==
=1﹣=
故选A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题
8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）
A．B．C．D．
【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的
坐标运算求出A的值，即求出A•ω的值．
【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，
设M（，A），则N（，﹣A），
∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，
∴A•ω=．
故选C．
【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．
9．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）
A． B．C．D．
【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．
【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，
当x=1时，y=＞1，排除C，
当x=时，y=＞1，排除B、C，
故选D．
【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．
10．如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）
A．B．C．D．
【分析】画出几何体的直观图，分析出各个面的形状，求出各个面的面积后，相加可得答案．【解答】解：该多面体为一个三棱锥D﹣ABC，
如图1所示，
其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，
S
表面积=S
△ABC
+S
△ABD
+S
△ACD
+S
△
BCD
==，
故选A．
【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．11．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足||=||，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1
【分析】由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，
1），点B（x
1，y
1
），则点C（﹣x
1
，y
1
），x
1
2+y
1
2=1，且﹣1≤y
1
＜1．根据=2y
1
2﹣2y
1
，再利用
二次函数的性质求得它的最小值．再利用二次函数的性质求得它的最小值．
【解答】解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），
点A（0，1），点B（x
1，y
1
），则点C（﹣x
1
，y
1
），
﹣1≤y
1
＜1．
∴=（x
1，y
1
﹣1），=（﹣x
1
，y
1
﹣1），x
1
2+y
1
2=1．
∴•=﹣x
12+y
1
2﹣2y
1
+1=﹣（1﹣y
1
2）+y
1
2﹣2y
1
+1
=2y
12﹣2y
1
，
∴当y
1
=时，取得最小值为﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．
12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x
1﹣x
2
|+|y
1
﹣y
2
|为两点P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
）
之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；
④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）
A．1个B．2 个C．3 个D．4个
【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故①正确，②错误；
到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，
∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③正确；
到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=±1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=±1}，
集合是两条平行线，故④正确；
综上知，正确的命题为①③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是．
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，得到圆心坐标为（1，2），半径r=2，
∵圆心到直线x﹣my﹣1=0的距离d=，又|AB|=2，
∴r2=d2+（）2，即4=+3，
整理后得到3m2=1，解得：m=±．
故答案为：±
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而再由弦心距，圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理解决问题．
14．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）．
【分析】由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围．【解答】解：由题意作出其平面区域，
当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形，
当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形；
故若区域为一个锐角三角形及其内部，
则0＜k＜1；
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题．
15．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC 的体积为，其外接球的表面积为12π．
【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO﹣r|，利用勾股定理列方程解出r．
【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，
∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥SO，又BO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，
∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
同理可证SC⊥平面SAB．
∴SA，SB，SC两两垂直．
∵△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴SA=SB=SC，
∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．
∴三棱锥的体积V==．
设外接球球心为N，则N在SO上．
∵BO==．∴SO==，
设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，
∵OB2+ON2=NB2，∴+（）2=r2，解得r=．
∴外接球的表面积S=4π×3=12π．
故答案为：，12π．
【点评】本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．
16．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，
（x+2）=0（a＞1）0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log
a
恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（，2）．
【分析】由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣log
a
x+2=0
恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log
a
x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log
a
（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=log
a
（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：
又f（﹣2）=f（2）=3，
则对于函数y=log
a
（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，
即log
a 4＜3，且log
a
8＞3，由此解得：＜a＜2，
故答案为：（，2）．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题（共70分）
17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），
（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；
（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．
【分析】（1）由可得，结合角A为锐角，即可解得A的值．
（2）在△ABC中，已知A，B的三角函数值，可求得sinC的值，再由正弦定理可得a的值．【解答】解：（1）∵，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），
∴（cosA+2sinA）（cosA﹣2sinA）=﹣3sin2A，
∴解得：．
又∵角A为锐角，
∴．
（2）在△ABC中，，则．
∴，
∴，
∴由正弦定理得，解得a=5．
【点评】本题主要考查了正弦定理，平行向量和共线向量的性质，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18．（12分）已知数列{a
n }的前n项和为S
n
，且1，a
n
，S
n
是等差数列．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）若b
n =log
2
a
n
，设c
n
=a
n
•b
n
，求数列{c
n
}的前n项和为T
n
．
【分析】（1）由2a
n =1+S
n
，当n=1时，a
1
=1，当n≥2时，2a
n
﹣2a
n﹣1
=a
n
，a
n
=2a
n﹣1
，数列{a
n
}是
首项为1，公比为2的等比数列，即可求得数列{a
n
}的通项公式；
（2）由，采用“错位相减法”即可求得数列{c
n }的前n项和为T
n
．
【解答】解：（1）由1，a
n ，S
n
是等差数列知：2a
n
=1+S
n
…①，
当n=1时，2a
1=1+a
1
，则a
1
=1；…（2分）
当n≥2时，2a
n﹣1=1+S
n﹣1
…②，
①﹣②得2a
n ﹣2a
n﹣1
=a
n
，即a
n
=2a
n﹣1
；…（4分）
故数列{a
n
}是首项为1，公比为2的等比数列，
数列{a
n
}的通项公式：；…6分
（2）由b
n =log
2
a
n
=n﹣1，，…（8分）
，…③
∴，…④
③﹣④得，
=，
=（2﹣n）•2n﹣2，
∴，
数列{c
}的前n项和为：．…（12分）
n
【点评】本题考查等比数列通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
19．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC 的面积．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为=
=
=
所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）
（Ⅱ）因为f（A）=，所以
又0＜A＜π所以
从而故A=
在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=
∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．
故bc=1
从而S
△ABC
=
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考查计算能力，注意A的求法，容易出错．常考题型．
20．（12分）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：
①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；
②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．
（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红
2，绿
3
），（红
3
，绿
2
））；
（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．
【分析】（1）利用列举法能求出取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合．
（2）红绿卡片所有可能组合对共有16个，满足当X≤3或≥6的红绿卡片组合对9对．由此能求出甲同学取得展示才艺资格的概率．
【解答】解：（1）取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合为：
卡片组合绿色卡片
1 2 3 4
红色卡片 1（红
1，绿
1
）（红
1
，绿
2
）（红
1
，绿
3
）
（红
1
，绿
4
）
2（红
2
，绿
1）
（红
2
，绿
2
）（红
2
，绿
3
）（红
2
，绿
4
）
3（红
3，绿
1
）（红
3
，绿
2
）（红
3
，绿
3
）（红
3
，绿
4
）
4（红
4，绿
1
）（红
4
，绿
2
）
（红
4
，绿
3
）（红
4
，绿
4
）
x 值 绿色卡片
1
2 3 4 红色卡片 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4
5
6
7
8
（2）从（1）中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个． 满足当X ≤3或≥6的红绿卡片组合对有：
（红1，绿1），（红1，绿2），（红2，绿1），（红2，绿2）， （红2，绿4），（红4，绿2），（红4，绿3），（红4，绿4）共9对． 所以甲同学取得展示才艺资格的概率为
．
【点评】本题考查古典概型等知识点，解题的关键是列出所有可能的组合，再去根据相关的定义和公式进行求解和计算．
21．（12分）如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠ABC=60°，AA 1=AC=2，A 1B=A 1D=2，
点E 在A 1D 上．
（1）证明：AA 1⊥面ABCD ． （2）当
为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时直线A 1B 与平面EAC 之间的距离．
【分析】（I ）利用勾股定理的逆定理可得：A 1A ⊥AB ；A 1A ⊥AD ．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论． （II ）①当
=1时，A 1B ∥平面EAC ．下面给出证明：连接BD ，交AC 于点O ．利用三角形中
位线定理可得：A 1B ∥OE ，再利用线面平行的判定定理即可证明A 1B ∥平面EAC ．
②由OE 是△A 1BD 的中位线，可得求出点D 到平面EAC 的距离即直线A 1B 与平面EAC 之间的距
离．利用V
E﹣ACD =V
D﹣ACE
，即=，解出即可得出．
【解答】（I）证明：∵AA
1=2，A
1
B=A
1
D=2，
∴=8=，可得∠A
1
AB=90°，
∴A
1A⊥AB；同理可得：A
1
A⊥AD．
又AB∩AD=A，∴AA
1
⊥面ABCD．
（II）①当=1时，A
1
B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．
连接OE，则OE是△A
1BD的中位线，∴A
1
B∥OE．
又A
1
B⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，
∴A
1
B∥平面EAC．
②∵OE是△A
1
BD的中位线，
∴求出点D到平面EAC的距离即直线A
1
B与平面EAC之间的距离．
点E到平面ACD的距h=AA
1
=1．
S
△ACD
==．
EC==2=AC，AE=．
∴S
△ACE
==．
∵V
E﹣ACD =V
D﹣ACE
，
∴=，
∴d==．
【点评】本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直平行判定与性质定理、等边三角形的性质、等体积法、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；
（3）若a=﹣2，正实数x
1，x
2
满足f（x
1
）+f（x
2
）+x
1
x
2
=0，证明：．
【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；
（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，
故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；
（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，
所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，
当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；
当a＞0时，g′（x）=，
令g′（x）=0，得x=，
所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，
因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，
当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），
∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，
综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；
当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；
（3）由x
1＞0，x
2
＞0，即x
1
+x
2
＞0．
令t=x
1x
2
，则由x
1
＞0，x
2
＞0得，φ′（t）=，t＞0，
可知，φ（t ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
所以φ（t ）≥φ（1）=1，
所以（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1，解得x 1+x 2≥
或x 1+x 2≤，
又因为x 1＞0，x 2＞0，
因此x 1+x 2≥成立． 【点评】本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型．。