高中数学课时作业10 函数的图象

课时作业10 函数的图象
1．函数f(x)＝
x
2ln|x|
的图象大致是( D )
解析：由f(－x)＝－f(x)可得f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除A,C,而x∈(0,1)时,ln|x|＜0,f(x)＜0,排除B,故选D.
2．现有四个函数：①y＝xsinx；②y＝xcosx；③y＝x|cosx|；④y＝x·2x.它们的图象(部分)如下,但顺序已被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是( D )
A．④①②③B．①④③②
C．③④②①D．①④②③
解析：函数y＝xsinx是偶函数,由图象知,函数①对应第一个图象；
函数y＝xcosx是奇函数,且当x＝π时,y＝－π＜0,故函数②对应第三个图象；
函数y＝x|cosx|为奇函数,且当x＞0时,y≥0,故函数③与第四个图象对应；
函数y ＝x·2x
为非奇非偶函数,与第二个图象对应．综上可知,选D.
3．(2019·河南信阳模拟)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x),函数g(x)＝4x ＋3
x －2,若函数
f(x)与g(x)的图象共有168个交点,记作P i (x i ,y i )(i ＝1,2,…,168),则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为( D )
A ．2 018
B ．2 017
C ．2 016
D ．1 008
解析：函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x),可得f(－x)＋f(4＋x)＝8,即函数f(x)的图象关于点(2,4)对称,由函数g(x)＝
4x ＋3x －2
＝4
x －2＋11x －2＝4＋11
x －2
,可知其图象关于点(2,4)对称,∵函数f(x)
与g(x)的图象共有168个交点,∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点,且两边的点分别关于点(2,4)对称,故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.
4．已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( A )
A ．f(x)＝12x －1－x 3
B ．f(x)＝12x －1＋x 3
C ．f(x)＝12x ＋1
－x 3
D ．f(x)＝12x ＋1
＋x 3
解析：由图可知,函数图象的渐近线为x ＝12,排除C,D,又函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12,⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．而函数y ＝
12x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12,⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递减,y ＝－x 3在R 上单调递减,则f(x)＝12x －1－x 3
在
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12,⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递减,故选A.
5．如图所示,动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线,与正方体的表面相交于M,N 两点．设BP ＝x,MN ＝y,则函数y ＝f(x)的图象大致是( B )
解析：设正方体的棱长为1,显然,当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时,函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值,所以排除A 、C ；当P 在BE 上时,分别过M,N,P 作底面的垂线,垂足分别为M 1,N 1,P 1,则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2xcos ∠D 1BD ＝263
x,是一次函数,所以排除D,故选B.
6．(2019·泰安模拟)已知f(x)＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ,f′(x)为f(x)的导函数,则y ＝f′(x)的图象大致是( A )
解析：因为f(x)＝14x 2＋cosx,所以f′(x)＝12x －sinx,f′(x)为奇函数,排除B,D ；当x ＝π
6时,f′(x)
＝
π12－1
2
＜0,排除C,∴A 满足． 7．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数,且f(x)在(－∞,0)上是减函数,f(2)＝0,g(x)＝f(x ＋2),则不等式xg(x)≤0的解集是( C )
A ．(－∞,－2]∪[2,＋∞)
B ．[－4,－2]∪[0,＋∞)
C ．(－∞,－4]∪[－2,＋∞)
D ．(－∞,－4]∪[0,＋∞)
解析：依题意,画出函数的大致图象如图所示．
实线部分为g(x)的草图,
则xg(x)≤0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x≥0，
g x ≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x≤0，
g x ≥0，
由图可得xg(x)≤0的解集为(－∞,－4]∪[－2,＋∞)．
8．已知函数f(x)＝2lnx,g(x)＝x 2
－4x ＋5,则方程f(x)＝g(x)的根的个数为( C ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：在平面直角坐标系内作出f(x),g(x)的图象如图所示,由已知g(x)＝(x －2)2
＋1,得其顶点为(2,1),又f(2)＝2ln2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx 图象的下方,故函数f(x)＝2lnx 的图象与函数g(x)＝x 2
－4x ＋5的图象有2个交点．
9．(2019·江苏扬州模拟)不等式2－x≤log 2(x ＋1)的解集是{x|x≥1}__． 解析：画出y ＝2－x,y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示,由图可知,解集为{x|x≥1}．
10．给定min{a,b}＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ，a≤b，
b ，b ＜a ，已知函数f(x)＝min{x,x 2
－4x ＋4}＋4,若动直线y ＝m 与函数y ＝
f(x)的图象有3个交点,则实数m 的取值范围为(4,5)__．
解析：作出函数f(x)的图象,函数f(x)＝min{x,x 2
－4x ＋4}＋4的图象如图所示,由于直线y ＝m 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．
11．已知函数f(x)＝2x
,x ∈R.
(1)当m 取何值时,方程|f(x)－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2
＋f(x)－m ＞0在R 上恒成立,求m 的取值范围． 解：(1)令f(x)＝|f(x)－2|＝|2x
－2|,G(x)＝m,画出f(x)的图象如图所示.
由图象看出,当m ＝0或m≥2时,函数f(x)与G(x)的图象只有一个交点,即原方程有一个解； 当0＜m ＜2时,函数f(x)与G(x)的图象有两个交点,即原方程有两个解． (2)令f(x)＝t(t ＞0),H(t)＝t 2
＋t,
因为H(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1
4
在区间(0,＋∞)上是增函数,
所以H(t)＞H(0)＝0.
因此要使t 2
＋t ＞m 在区间(0,＋∞)上恒成立,应有m≤0, 即所求m 的取值范围为(－∞,0]．
12．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x ＋1
x ＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋a
x ,g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a 的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),
∵点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上, ∴2－y ＝－x ＋1
－x ＋2,
∴y ＝x ＋1x ,即f(x)＝x ＋1
x .
(2)由题意g(x)＝x ＋a ＋1
x ,
且g(x)＝x ＋a ＋1
x
≥6,x ∈(0,2]．
∵x ∈(0,2],∴a ＋1≥x(6－x),即a≥－x 2
＋6x －1. 令q(x)＝－x 2
＋6x －1,x ∈(0,2], q(x)＝－x 2
＋6x －1＝－(x －3)2
＋8,
∴当x ∈(0,2]时,q(x)是增函数,q(x)max ＝q(2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7,＋∞)．
13．(2019·安徽江南十校联考)若函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( B )
A ．f(x)＝e x
－1
x 2－1
B ．f(x)＝e
x
x 2－1
C ．f(x)＝x 3＋x ＋1
x 2－1
D ．f(x)＝x 4
＋x ＋1
x 2－1
解析：由题中图象可知,函数的定义域为{x|x≠a 且x≠b},f(x)在(－∞,a)上为增函数,在(a,0]上先增后减,在[0,b)上为减函数,在(b,＋∞)上先减后增．
A 项中f(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}, 此时a ＝－1,b ＝1. f′(x)＝
e
x
x 2－1－2x e x
－1
x 2－1
2
, 则f′(－2)＝79e 2－4
9＜0,与f(x)在(－∞,－1)上递增不符．
B 项中f(x)的定义域 为{x|x≠±1},f′(x)＝
e
x
x 2－2x －1x 2－1
2
＝e x
[
x －12
－2]
x 2－1
2
,若f′(x)＞0,则x ＜－1或－1＜x ＜1－2或x ＞1＋2,此时f(x)在各对应区间上为增函数,符合题意．
同理可检验C 、D 不符,故选B.
14．(2019·福建厦门双十中学模拟)已知函数f(x)＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g(x)＝x 2
＋ln(x ＋a)的图象上
存在关于y 轴对称的点,则实数a 的取值范围是( B )
A.⎝
⎛⎭
⎪⎫－∞，1e B ．(－∞,e)
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫
1e ，＋∞
D ．(e,＋∞)
解析：原命题等价于在x ＜0时,f(x)与g(－x)的图象有交点,即方程e x －12－ln(－x ＋a)＝0在(－∞,0)
上有解,令m(x)＝e x －12－ln(－x ＋a),显然m(x)在(－∞,0)上为增函数．当a ＞0时,只需m(0)＝e 0
－12－lna
＞0,解得0＜a ＜e ；当a≤0时,x 趋于－∞,m(x)＜0,x 趋于a,m(x)＞0,即m(x)＝0在(－∞,a)上有解．综
上,实数a 的取值范围是(－∞,e)．
15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
sinπx，0≤x≤1，
log 2 017x ，x ＞1，
若a,b,c 互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a ＋b ＋c 的
取值范围是( D )
A ．(1,2 017)
B ．(1,2 018)
C ．[2,2 018]
D ．(2,2 018)
解析：设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m,作出函数f(x)的图象与直线y ＝m,如图所示,
不妨设a ＜b ＜c,当0≤x≤1时,函数f(x)的图象与直线y ＝m 的交点分别为A,B,
由正弦曲线的对称性,可得A(a,m)与B(b,m)关于直线x ＝1
2对称,因此a ＋b ＝1,令log 2 017x ＝1,解得x
＝2 017,
结合图象可得1＜c ＜2 017, 因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 018, 即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D.
16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6__. 解析：作出函数y ＝ln|x －1|的图象,又y ＝－2cosπx 的最小正周期为T ＝2,如图所示,
两图象都关于直线x ＝1对称,且共有6个交点,由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.。