线性空间习题解答

第六章 线性空间习题解答P267
.1设,,M N M
N M M
N N ⊆==证明:
证明: 一方面.M N M ⊆ 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =.
(2))()()(L M N M L N M =
证明: (1) .),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且
L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.
另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ⊆⊆,所以
)()()(L N M L M N M ⊆.
(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M ⊆⊆,所以
)()()(L M N M L N M ⊆.
另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈∀且则
若).(,L N M x M x ∈∈则 若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有
)()()(),(L N M L M N M L N M x ⊆∈所以.
3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.
(2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.
(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.
(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.
(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,
)2
)1(,(),(2
11111a k k kb ka b a k -+
= . (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k ⋅α=0.
(7) 集合与加法同(6), 数量乘法为
k ⋅α=α.
(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .
(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.
(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.
(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.
(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则
α, γ∈V , 但是, α+ γ ∉V . (5) 证明: 10显然V 非空.
02 2个代数运算封闭.
03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα
2121211231212312312312323123122323123(1)(,)
(2)()((),()()......................(,()
....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)
...........())(),()())(0,0)0
1
(5)1(1,11(11))(,)2
a a a
b b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==的负为2
1112211111
(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22
k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la α
α=+-=+-+-
2111
((1(1))2kla klb kla l k =++-+-
=（kla 1,klb 1+211
((1))2
kl k a -
=kl α
(7)(k+l)α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211
()(1))2
k l k l a ++-
=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211
(2))2
k l kl k l a ++--
221111111111
(,(1)()(1))22
ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅
k l αα=⊕ (8)
2121212121212121
()(,)((),((1)())
2
k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+ 22
121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-
22
21211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+
22
12122211(,(1))((1))22
ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕
满足3,故V 是一个线性空间
(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠，但这里。

取即得矛盾。

(7)
0, 2.(11). 1. 1.0,ααααααααα∀≠==+=+=+⇒=不做成。

违反分配律，则会有矛盾
(8) 可以验证这是一个实数域上的线性空间. (V=R + P=R a ⊕b=ab k k a a =) 证明: 1. V 非空且关于⊕,封闭. 2. 任取a ,b ,c ,,R k l R +∈∈
(1) a ⊕b=b ⊕a=ba
(2) (a ⊕b )⊕c=(ab)c=a(bc)=a ⊕(b ⊕c) (3) 零元0=1, a ⊕0=a1=a
(4) 负元-a =1a ,a ⊕(-a )=a 1
a
=1=0.
(5) 1a=a 1=a
(6) k (l a)=k (a 1)=(a 1)k =a l k =(lk)a
(7) (k+l)a=a (k+l)=a k a l =a k ⊕a l =k a ⊕l a (8) k (a ⊕b)=k (ab)=(ab)k =a k b k = a k ⊕b k = k a ⊕k b
故R +关于⊕做成R 上的向量空间.
4. 在线性空间中, 证明: (1) k 0=0. (2) ()k k k αβαβ-=-.
证明: (1) 设α是线性空间的任一个向量,由零向量的性质α+0=α,再由分配律: k(α+0)=k α= k α+k0, 所以k 0=0.
(2) 由(1)得k(β+(-β))=k0=0=k β+k(-β), 得k(-β)=-k β. 所以
k(α-β)=k(α+(-β))=k α+ k(-β)=k α- k β.
5. 证明: 在实函数空间中, 0, cos 2t, cos2t 是线性相关的. 证明: cos2t=2cos 2t -1, 所以
1- 2cos 2t -cos2t=0. ∴21.cos ,cos 2t t 线性相关
6. 如果是f 1,f 2,f 3线性空间P[x]中的三个互素的多项式, 但是其中任意两个都不互素, 证明它们线性无关.
证:∵123122321(,,)1,(,)1,(,)1,(,)1,f f f f f f f f f =≠≠≠ 设112233()()()0,a f x a f x a f x ++=不妨设10a ≠, 则)()()(31
3212
1x f a a x f a a x f -+-=
. 由于(23,f f )=d (x )≠1, 那么d(x)整除23,f f 的组合,故1()|(),d x f x 于是有
123()|((),(),())d x f x f x f x , 与123(,,)1f f f =矛盾!
7. 在P 4中, 求ξ在4321,,,εεεε下的坐标.
(1) ()()()()()1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,14321=--=--=--==ξεεεε. (2) ()()()()()1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,14321=--==-==ξεεεε.
解: (1) 设4321,,,e e e e 是单位坐标向量, ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=111111*********
1A , 则
A e e e e ),,,(),,,(43214321=εεεε.
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1121),,,(1121),,,(143214321A e e e e εεεεξ, 所以ξ在4321,,,εεεε下的坐标是
⎪⎭
⎫
⎝⎛--41,41,41,45. (2) 同理解得所以ξ在4321,,,εεεε下的坐标是(1,0,-1,0). 8．求下列线性空间的维数与一组基.
(1) 数域P 是的空间n n P ⨯.
(2) n n P ⨯中的全体对称(反对称, 上三角)矩阵作成的数域P 上的线性空间. (3) 第3题的(8)中的空间.
(4) 实数域上由矩阵A 的全体实多项式组成的空间, 其中
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=20000001ωωA .
解: (1) n n P ⨯的一组是2,.1,2,...,,ij E i j n n =共有个(矩阵)元素. 它们线性无关,
,1
0()0,,0n
ij
ij
ij ij i j a E
A a i j a ==⇒==⇒∀=∑.且任何
,1
(),n
n n
ij ij
ij
i j B b P
B b E
⨯==∈=
∑则, 所以2dim ,,,1,2,...,n n ij P n E i j n ⨯==它的一个基是.
(2)n n P ⨯中全体对称矩阵集合S(P),它的一个基是,ij ji E E i j +≤
1
dim ()(1)2
S P n n =+
n n P ⨯中全体反对称矩阵集合K(P),它的一个基是,ij ji E E i j -< 1
dim ()(1)2
K P n n =
-. n n P ⨯中全体上(),,ij U T E i j ≤三角矩阵集合它的一个基是 1
dim ()(1)2
U T n n =
+. n n P ⨯中全体真下(),,ij D T E i j +>三角矩阵集合它的一个基是 1
dim ()(1)2
D T n n =
- (3) 对于第2题之(8)中的空间R +, 这是一个一维的线性空间, 事实上,我们可以取其中的一个数e(无理数), 则e ≠1, 且对于任意的a ∈ R +,去k=lna ,有 a=k ⋅e=e ln a . 即a 可由e 线性表出. (4)
解：因为ω3=1, 所以
222
34111.11A A E ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故对任意的设()()2012[],n n f x R x f x a a x a x a x ∈=++++,
则()()()()2036147258f A a a a E a a a A a a a A =+++
++++++++
故()2210A b A b E b A f ++=. ∴E,A,A 2可表示V 中所有元素。

如果21220
000x y z xE yA zA x y z x y E ωωωω++=⎧⎪
++=⇒++=⎨⎪++=⎩
∵系数行列式()222111
130,01x y z ωωωωωω=-≠===所以只有零解.
即，E 、A 、2A 线性无关，由定理1, dimV=3, 它的一个基是E, A, 2A .
9. 在P 4中,求由基4321,,,εεεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐标.
(1)()()()()()123412341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,,,,x x x x εεεεξ=====
()()()()12342,1,1,1,0.3.1.0 5.3.2.1, 6.6.1.3,ηηηη=-===
(2) 1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)εεεε=-=-=-=--, 1234(2,1,0,1)(0.1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)
ηηηη===-=, (1,0,0,0)ξ=.
(3) ()()()()12341,1,1,11,1,1,1,1,1,1,11,1,1,1εεεε==--=--=--. ()()()()12341,1,0,1,2,1,3,1,1,1,0,0,1,1,1,1ηηηη====--.
求()12341,0,0,1,,,ξηηηη=-在下的坐标.
解(1) 设过渡矩阵是A, 即(4321,,,ηηηη)=(4321,,,εεεε)A, 所以
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=3101121163316502A . ξ在4321,,,ηηηη下的坐标为
.27263
19
127
732003127233
194271
911131944321432114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----
--
-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''-x x x x
x x x x A x x x x (2) 求由求由基4321,,,εεεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求ξ在1234,,,εεεε下的坐标.
解: (4321,,,εεεε)=(4321,,,e e e e )A, (4321,,,ηηηη)=(4321,,,e e e e )B, 所以 (4321,,,ηηηη)=(4321,,,e e e e )B= (4321,,,εεεε)A -1B=(4321,,,εεεε)T.
求得过渡矩阵是⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=010*********
1001T , ξ在1234,,,εεεε下的坐标为
()13
3,132,135,135--.
(3) 与(2)类似,得到基4321,,,εεεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=410
4
14
141043414321414
141214743
T . ξ在4321,,,ηηηη下的坐标为).2
3
,4,21,2(---
10．继第9 题1）求一非零向量ξ，它在基4321,,,εεεε与4321,,,ηηηη下有相同的坐标.
解: 由条件可知, 应该求向量ξ使得
ξ=4433221144332211ηηηηεεεεx x x x x x x x +++=+++. 即
ξ=(4321,,,εεεε)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =(4321,,,ηηηη)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛4321x x x x .
(44332211,,,ηεηεηεηε----)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =0, 求得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛-k k
k k .
11. 证明实数域作为自身上的线性空间与第3题之(8)中的空间同构.
证明: 已知第3题之(8)中的空间是一个一维的线性空间. 实数域作为自身上的线性空间元素一维的. 事实上, 1就是它的一组基,任何向量a ∈R 都可由1线性表出: a=a ⋅1. 由定理12, 同一个数域上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相同, 所以这两个空间同构.
12．设V 1, V 2 都是线性空间V 的子空间且V 1 ⊂V 2, 证明如果21dim dim V V =, 则
21V V =.
证明: 取的V 1基: r εεε,...,,21, 则r εεε,...,,21∈ V 2, 由于21dim dim V V =,得
r εεε,...,,21也是V 2的基. 得21V V =. 13. 设A ∈n n P ⨯,
(1) 证明全体与A 可交换的矩阵组成n n P ⨯的一个子空间. 记作C(A). (2) 当A=E 时, 求C(A).
(3) 当12...A n ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
时, 求C(A)的维数和一组基. 解: (1)
()0C A φ∈≠.
∀k ∈P, ()()()A Y X YA XA AY AX Y X A A C Y X +=+=+=+⇒∈∀,
()()()()A kX k AX k XA X kA ⇒===.
()A C kX Y X ∈+,, C （A ）是n n P ⨯的一个子空间.
(2) (),,n n x p XE EX X C E ⨯∀∈=∈有故
()()n n n n P C E C E P ⨯⨯∴⊆⊆但 (),()n n A E C A C E P ⨯∴===当时.
(3) 设X=(x ij )∈C(A), 由于12...A n ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
, 由AX=XA, 得 ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n nn n n n n nx x x nx x x nx x x nx nx nx x x x x x x
21222211121121
22221112
11222222. 于是有ix ij =jx ij , (i-j )x ij =0, 当i ≠j , x ij =0. X 是对角形矩阵.
11,22,
,nn E E E 线性无关, 是C(A)的一个基, 故
dimC(A)=n.
14. 设33,213010001⨯⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=P A 求中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数好一组
基.
解: 因为B E A +=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113000000100010001213010001, E 与任何矩阵乘积可交
换, 所以只需求X 使得BX=XB. 设
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=i f c h e b g d a BX i h g f e
d c b
a X 333000000,=XB=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛i i
i f f f
c c
c 333, 得c =0, f =0.
且⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++i i f c i h e b i g d a 3333, ⎪⎩
⎪⎨⎧=-++=-++03033i h e b i g d a 为含有7个未知量具有两个方程的齐次
线性方程组, 取a,b,d,e,i 为自由未知量.()12345,,,,,,,,a b d e i εεεεε∴=依次取得 C(A)的一组基:
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-113000000010010000001001000030000010003000001. dimC(A)=5.
15. 设0321=++r c c d c β, 且,031≠c c 证明()()r L L ..ββα=.
证明: βαβαβ3
231131232131,0,0c c
c c r r c c c c r c c
d c c c -=--
=⇒=++≠. 所以向量组α, β和β, γ可以相互线性表出, 等价的向量组生成相同的子空间, 所以
()()r L L ..ββα=.
16. 在P 4中, 求4321,,,αααα生成的子空间的基与维数. (1) (1,1,1,1).),(-1,1,-3,0(1,2,0,1),(2,1,3,1),4321====αααα
解: ⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000
1000
0110
11
1
11110122001101111111103111021131
2
4321αααα
.,,.0000100001101111421为极大无关组ααα⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-→
421,,ααα是该子空间的一组基, 该子空间的维数是3. 解法2.
(4321,,,αααα)=⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--0000
1300
0010
1111
1310263000101111111113031121
1112
. 得
421,,ααα是该子空间的一组基, 该子空间的维数是3.
(2) ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000000021
1312
0053
00420021
131213511354131113
1
24321αααα ()214321,,2,,αααααα=∴秩是一个极大无关组. ()214321,,2,,,dim αααααα=∴L 是它的一个基.
17. 在P 4中,确定有齐次方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=-+-=+-+0
11135303330
45234321
43214321x x x x x x x x x x x x 确定的解空间的基与
维数.
解: A=⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----037340003810353217748308305231134135331
3523 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→0379200038109101. R(A)=2, 基础解系含4-2=2个向量，可为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-90212,09241
∴解空间的维数为2，基底一个是 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-90
212,09241. 18. 求由向量αi 生成的子空间与由向量βi 生成的子空间的交的基与维数.
(1) ⎩⎨⎧==(-1,1,1,1)(1,2,1,0)21αα , ⎩⎨⎧==(1,-1,3,7)(2,-1,0,1)
2
1ββ.
解: 设()()212211,,ββααL V L V ==，
. 若设
.0,,241322112413221121=--++=+=∈ββααββααx x x x x x x x r V V r 即则
12341234
12423420203070
x x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+++=⎪⎨
+-=⎪⎪--=⎩.
11211121211103531103022201170117------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1
0121
00
101110
10400260
0130
0260
000--⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
-- ⎪ ⎪
→→
⎪ ⎪
⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭
有非零解如⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13414321x x x x 即
()().1322dim ,3,,,R 212121=-+==V V 所以ββαα
它的一个基是 ()4,3,2,5-=r .
(2) ⎩⎨⎧==(1,0,1,1)(1,1,0,0)21αα, ⎩⎨⎧==(0,1,1,0)(0,0,1,1)2
1ββ.
解：由于这4个向量线性无关, 所以两个子空间的交为{0}.
(3) ⎪⎩
⎪
⎨⎧===)(-1,0,1,-1(3,1,1,1))(1,2,-1,-2
321ααα, ⎩⎨⎧==)(-1,2,-7,3)(2,5,-6,-521ββ.
由⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛302024102121110111132121
321ααα秩为3. 3d im 1=V , 2d im 2=V 设
.
0,,24132211251433221121=--++=++=∈ββααβββααx x x x x x x x x r V V r 即则 则得
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=-+-+-=++++-=--+=+--+0
3520760
2520
235432154321542154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
R (
)
4,,,,2''
13'2'1'=ββααα,
()()145d im ,4d im 2121=-==+∴V V V V 故.
取方程组一个非零解()()0,1,2,1,3,,,,54321--=x x x x x 即213211,23V V r ∈--==αααβ是一个所求的基.
19. 设V 1，V 2分别是齐次线性方程组n n x x x x x x ====+++ 21210与 的解空间, 21V V P n ⊕=.
证明: 由于线性方程组021=+++n x x x 的系数矩阵的秩为1，所以解空间V 1是n-1维的. n x x x === 21的系数矩阵
n
n ⨯-⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛----)1(111
11111 的秩为n-1, 所以解空间V 2是一维的. dimV 1+dimV 2=n.
对任意的2121),...,,(V V a a a n ∈=ξ, 有02121=+++===n n a a a a a a 且,得 ξ=0. 所以}0{21=V V . 所以21V V P n ⊕=.
20. 如果212111211121,V V V V V V V V V V ⊕⊕=⊕=⊕=那么. 证法1. 设
,.,,,021221212111121211V V V V V V ⊕=∈∈∈++=由于αααααα12111V V V ⊕=及
1211αα+∈V 1, 得
).(0,0112112V ∈=+=ααα 再考虑到12111V V V ⊕=, 故
.00000.0,021*******++===向量有唯一分解式于是αα
21211V V V V ⊕⊕=∴
证法2. ()2121121dim dim dim dim dim dim V V V V V V ++=+= 且
}.0{},0{,},0{},0{21221111211121121===⊕==V V V V V V V V V V V 所以
}0{)(21211=+V V V , }0{)(21112=+V V V , }0{)(12112=+V V V . 即
21211V V V V ⊕⊕=∴.
21. 证明：每一个n 维线性空间都可以表示n 个一维子空间的直和.
证明: 设n ααα,,,21 是该线性空间的一组基, 令W i =L(αi ), i =1,2,…,n. 设0向量的表达式为0= n k k k ααα+++ 2211, 由于n ααα,,,21 线性无关得:
021====n k k k , 且表达式唯一. 因此 n W W W V ⊕⊕⊕= 21.
22. 证明∑=s
i i V 1
是直和的充要条件是∵}.0{1
1
=∑-=i j j i V V
证明: 必要性. 若故若∑=s
i i V 1
为直和, 则{}0),,...,2,1(1==∀∑≠=s
i
j j j i V V s i , 所以
}.0{1
1
=∑-=i j j i V V
充分性. 若12121
,,
,,0,0s
i s i i s i V V ααααααα=∈=++⋯+∑不是直和,有不全为且.
设121,,,,k s s ααααα-为中第一个不为0的向量, 则
()()11211
0()k k k j K j V W αααα--=≠=-+-+⋯+-⊆=∑
显然若k=120000,0,0121≥∴+⋅+++-===≠⇒k S 矛盾而αααα 又{}0≥≠∈k k k k W V V 从而α与已知矛盾，故 S s
i i V V V V ⊕⊕⊕=∑= 121
23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R 3.
(1) 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?
(2) 设有过原点的三条直线, 这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L 1, L 2, L 3, 问L 1+L 2, L 1+L 2,+L 3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来. (3) 就用该三维空间的例子来说明若U,V,X,Y 是子空间，满足U+V ＝X ，X ⊃Y ，是否一定有Y = Y ∩U + Y ∩V .
解答: (1) 当平面经过原点是线性子空间. 当平面不经过原点则不是. (2) L 1+L 2:
(a) 直线L 1与L 2重合时(共线)，是L 1 +L 2一维子空间； (b) 直线L 1与L 2不重合时(不共线)， L 1 + L 2是二维子空间. L 1+L 2+L 3:
(a) 共线当321,,L L L , 生成直线. (b) ,,,321共面但不共线当L L L 生成平面. (c) 321,,L L L 当两两不共面, 生成空间R 3.
(3) 不一定成立.
令过原点的两条不同直线L 1，L 2分别构成一维子空间U 和V ，X ＝U ＋V 是二维子空间，在L 1，L 21决定的平面上，过原点的另一条不与L 1，L 2相同的直线L 3构成一维子空间Y ，显然Y ⊂X , Y ∩U = {0}, Y ∩V = {0}, 因此(Y ∩U )⊕(Y ∩V ) = {0}
故Y = (Y ∩U )⊕(Y ∩V ) 并不成立。

第六章补充题 P .271
1. (1) 证明在n x P ][中, 多项式
.,...,2,1),())(()(111n i a x a x a x a x f n i i i -----=+-
是一组基, 其中a 1,a 2,…,a n 是互不相同的数.
(2) 在(1)中取a 1,a 2,…,a n 是全部的n 次单位根, 求由基1，x , x 2…,x n -1到f 1,f 2,…,f n 的过渡矩阵.
证明: 设()()()12().......n f x x a x a x a =---, 则()()i
i a x x f x f -=
,并且 ()()i k a f k i ≠=0, ()()()
i i i j j i f a a a ≠=∏-≠0.
如果n =1,则1()1f x =显然(0)≠线性无关. 当n ≥2，若12(),(),
,()n f x f x f x 线性相关, 不妨设
)()()(221x f k x f k x f n n ++= ,
则在1a x =处,右边恒为0, 左边为1112
()()0n
j j f a a a ==∏-≠, 矛盾.
12(),(),...,()n f x f x f x ∴为n x P ][中n 个线性无关的向量, 而dimP[x ]=n , 从而结论成
立.
(2) 设n 次本原单位根为ϖ, 则全体n 次单位根为1 , ϖ, ϖ2, …, ϖn-1. 于是有:
,11
1
1221--+++++=--=
n n n x x x x x x f ,11
223212
2-----+++++=--=n n n n n n x x x x x x f ωωωωω
……
.1
1212321
----+++++=--=n n n n n n x x x x x x f ωωωωω
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=--------11
111111),...,,,1(),...,,(12
3
43
232211221
n n n n n n n n n x x x f f f ωωωωωω
ωωωω
ωω. 过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-------11
11111112
3
43
23221
n n n n n n n T ωωωωωω
ωωωω
ωω. 2. 设n ααα,,,21 是n 维线性空间V 的一组基, A 是一个n ⨯s 矩阵,
()()1212,,
,,,,s n A βββααα=,
证明).(),...,,(dim 21A R L s =βββ
证明: 设使得和则存在可逆矩阵Q P r A R ,)(= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=00
0r
E PAQ . 所以 ()()1212,,
,,,,s n A βββααα= ()()()121212000,,
,,,,,,,0
00
00
0r
r
r
n n n E
E E P Q r r r Q r r r Q ααα⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
=12(,,...,,0,...,0)r r r r Q.
因为Q 是可逆矩阵, 所以向量组r 2121,...,,,...,,γγγβββ与向量组s 等价. 在考虑到
n ααα,,,21 线性无关, P 可逆, n γγγ,...,,21向量组线性无关, 所以其部分组
r γγγ,...,,21向量组线性无关. 因而
()()()()()()121212dim ,,,,,,,,
,s r r L dim L r r r r r r r A βββ====秩秩.
3. 设),...,,(21n x x x f 是一个秩为n 的二次型, 证明存在R n 的一个)||(2
1
s n -维的子
空间V 1(其中s 为符号差), 使得对任一121),...,,(V x x x n ∈, 有),...,,(21n x x x f =0.
证明: 由条件()f n f ,=秩的符号差为S ，那么f 的正掼性指数2
s
n p +=
, ()s n q f -=
2
1
的负惯性指数. 存在非退化线性替换X=CY ，使 ()()n p p n n y y y y y y g x x f 22
12
1211---++==+ . 不妨假设s ≥0, 即p ≥q. 取n 维向量Y =(y 1,y 2,…,y n )如下:
111++=p εεα=(1,0,…,0,1,0,…,0)T , 222++=p εεα=(0,1,…,0,0,1,…,0)T , ……
q p q q ++=εεα=(0,…,0,1,0,…,1)T .
则()1n g y y ，，在这些点处的值为均0. 且q ααα,,,21 是)||(2
1
s n -个线性无
关的向量, 如果令V 2=L(q ααα,,,21 ), 则dimV 2=q=)||(2
1
s n -.
对于任意的Z=(z 1,z 2,…,z n )∈V 2, 设Z=q q b b b ααα+++ 2211, 则()
1,
,n g y y 在Z 的值为0. 令),,,(211q C C C L V ααα =, 则dimV 1=q, 且f 在V 1上取0值. [Z=q q b b b ααα+++ 2211=(b 1,…,b q ,0,…,0p ,-b 1,…,-b q ) ∈V 2,
0)(2
212212211=---++=+++q q q q b b b b b b b g ααα.
对于X=(x 1,x 2,…,x n ) ∈V 1, 存在Y ∈V 2使得X=CY , 所以f (X)=f (CY)=g (Y)=0] 4. 设V 1,V 2是线性空间V 的两个非平凡的子空间, 证明在V 中存在α使α∉V 1, 且α∉V 2.
证明: 证法1. ..,122121，结论显然成立或若已知V V V V V V V V ⊆⊆≠≠
若1221V V V V ⊄⊄且, 取1221,,,V V V V ∉∈∉∈ββαα,
所以
也矛盾若矛盾若.;2211V V V V ∈⇒∈+∈⇒∈+αβαββα.,21即为所求V V ∉+∉+βαβα
证法2：取12,V V ∉∉βα, 考虑βαβαl k ++和.
若11V l V k ∈+∈+βαβα且, 则(k-l )β∈V 1. 当k ≠l 时得矛盾. 所以至多存在一个数k 使得1V k ∈+βα.
若c b V c V b ≠∈+∈+且且,22βαβα, 则
22,)()()(V c b V b c c b b c ∈≠∈-=+-+ααβαβα得由, 矛盾. 所以所以至多存在一
个数b 使得2V b ∈+βα.
综上, 取a ≠k , a ≠b , 21,V a V a ∉+∉+βαβα.
5. 设V 1,V 2,…,V s 是线性空间V 的s 个非平凡的子空间, 证明在V 中存在α使得α不属于它们之中的任一个.
证明: 对非平凡子空间的个数s 作数学归纳法.
当s =1时, 结论显然成立. 当2=s 时,
命题已证.
假设对于s=k 时命题成立. 考虑s=k+1时，121,,,k k V V V V +皆为V 的非平凡了空间. 由归纳假设已经存在k i V i ,...,2,1,=∉α. 取1+∉k V β. 由上题, 对于每一个V i , i =1,2,…,k , 至多存在一个b i 使得1+∈+∈+k i i i V b V b βαβα且. 取 l ∉{b 1,b 2,…,b k }, 则 .1,,...,2,1,+=∈+k k i V b i i βα。