江苏省无锡市南菁中学九年级3月月考数学试题及答案

注意：本次考试时间120分钟．试卷满分130分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项正确） 1．2-的相反数是（ ）
A .2-
B .12-
C . 1
2
D .2
2．某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（ ） A . 0.32×108 B . 3.2×106 C . 3.2×107 D . 32×107 3．下列运算正确的是（ ）
A .a a -a =2
B . ()a a 623
82-=- C . a a a 236=+ D . ()b a b a 222+=+
4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
5． 将二次函数y =x 2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A ．()312+-=x y
B ．()312-x y +=
C ．()312--=x y
D ．()312++=x y
6．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A ．5
B ．5或6
C ．5或7
D ．5或6或7 7．下列说法正确的是（ ）
A ．“打开电视机，正在播足球赛”是必然事件
B ．甲组数据的方差2S 0.24=甲，乙组数据的方差2S 0.03=乙，则乙组数据比甲组数据稳定
C ．一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5
D ．“掷一枚硬币正面朝上的概率是
1
2
”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上 8． 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着
点A
逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tanB ′的值为（ ） A ．2
1 B ．3
1
C ．
4
1 D ．
4
2
（第17题）
A
B
C
D
E
C P 9．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线x
k y =过OA 的中点，已知等边三角形的边长是
4，则该双曲线的表达式为（ ） A ．x
y 3
=
B ．x y 3-=
C ．x y 32=
D ．x
y 3
2-= 10． 我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i =（﹣1）•i =﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n +1=i 4n •i =（i 4）n •i =i ，同理可得i 4n +2=﹣1，i 4n +3=﹣i ，i 4n =1．那么i +i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．i
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．在函数x
x y 1
+=
中，自变量x 的取值范围是 ． 12．分解因式：ab 2-4ab+4a = . 13．方程
1
1
112-+=x -x x 的解是 . 14．一组数据，
，x 1-0，5，3，2-的平均数是1，则这组数据的中位数是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为 .
16．直线AB 与⊙O 相切于B 点，C 是⊙O 与OA 的交点，点D 是⊙O 上的动点（D 与B ，C 不重合），
若∠A =40°，则∠BDC 的度数是 ． 17．如图，菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ．则∠DEC 的大小为 ．
18． 点O 在直线AB 上，点A 1、A 2、A 3，…在射线OA 上，点B 1、B 2、B 3，…在射线OB 上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M 从O 点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O 为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M 到达A 101点处所需时（第18题）
（第15题）
三、解答题（本大题共10小题，共84分．）
19．（本题满分6分）（1）计算：()
1260tan 1
32211
+⎪⎭⎫
⎝⎛+ ——
-3--0
π
（2）先化简，再求值：()()a b a b -a 2-+2其中2
1
-=a ，b =3．．
20．（本题满分8分）
（1）解方程：023=-+x x 2．
（2）解不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧3（x -2）≥ x -4，
2x+13> x -1．并写出它的所有的整数解．
21．（本题满分6分）如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E 、F 在BC 上，且BE =CF ．
（1）求证：△ABE ≌△DCF ；
（2）试证明：以A 、F 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形．
22．（本题满分6分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；
（2）求一次打开锁的概率．
23．（本题满分8分）某校为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查（必选且只选一类节目），将调查结果进行整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人．
请根据所给信息解答下列问题：
（1）求本次抽取的学生人数．
（2）补全条形图、在扇形统计图中的横线上填上正确的数值，“体育”对应的扇形圆心角的度数为．（3）该校有3000名学生，求该校喜爱娱乐节目的学生大约有多少人？
．
24．（本题满分8分）我国为了维护对钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．
25．（本题满分10分）我市某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将其拖回．如图，折线段O －A －B 表示救援船在整个航行
过程中离港口的距离y （海里）随航行时间x （分钟）的变化规律．抛物线k ax y 2
+=表示故障渔船在漂
移过程中离港口的距离y （海里）随漂移时间x （分钟）的变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的
23
． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）救援船行驶了 海里与故障渔船会合； （2）求救援船的前往速度；
（3）若该故障渔船在发出救援信号后40分钟内得不到营救就会有危险，
请问救援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证渔船的安全．
26. （本题满分10分）如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，A （1，0），
B （0，2），抛物线22
1-+=bx x y 2
的图象经过C 点． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？ （3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；
若不存在，说明理由．
27.（本题满分10分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点
E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F 与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1) 当t＝s时，四边形EBFB'为正方形；
(2) 若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
(3) 是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
28.（本题满分12分）
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（﹣6，0），过点E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明OH EO BG AE
=；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两
端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动.
证明：OP1
BG2
=，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M为（2，3），探索2PO+PM的最小值．
初三数学 参考答案
三、解答题：
19、（1）解：原式=()
23231321=+++--
（2）解：原式=a ab b ab a 22222-++- =b 2
把b =3代入上式b 2=9
20、（1）2
17
32893±-=
+±-=x
（2）解：由①得：1≥x 由②得：4<x
41<≤∴x 原不等式组的整数解为 x =1，2，3
21、证明略 22、（1）树状图略 （2）4
1
=p 23、（1）50人 （2）30%，72° （3）1080人
24、解：作AF ⊥BD ，PG ⊥BD ，垂足分别为F 、G ，
由题意得：AF =PG =CE =5km ，FG =AP =20km ， 在Rt △AFB 中，∠B =45°，则∠BAF =45°， ∴BF =AF =5， ∵AP ∥BD ，
∴∠D =∠DPH =30°， 在Rt △PGD 中，tan ∠D =
，即tan 30°=
，∴GD =5
，
则BD =BF +FG +DC =5+20+5=25+5（km ）．
答：飞机的飞行距离BD 为25+5km ．
25、
26、解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．
∴S△ABC=AB2=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴，
解得k=﹣，b=2，
∴y=﹣x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S△CEF=S△ABC，
即：EF•h=S△ABC，
∴（﹣x）•（3﹣x）=×，
整理得：（3﹣x）2=3，
解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
（3）存在．
如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．
过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形P ACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△P AH≌△BCG，
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH﹣OA=2，
∴P（﹣2，1）．
抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．
27、
28、解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（﹣2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（﹣6，0），C（0，6），E（﹣2，0），∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴，即，
∴EF=6×=2．
（2）①画图，如答图1所示：
证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴；
∵EF∥AB，
∴；
∴．
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．。