数学3.1.2复数的几何意义随堂自测和课后作业(人教A版选修2-2)

1.(2012·杭州质检)复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )
A ．－1<a <1
B ．a >1
C ．a >0
D ．a <－1或a >1
解析：选A.∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.
2.当23
<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D.∵23
<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限． 3.(2012·芜湖调研)复数z ＝sin π3－icos π6
，则|z |＝________． 解析：∵z ＝
32－32i ，∴|z |＝ （32）2＋（－32）2＝62. 答案：62 4.若(x 2－1)＋(x ＋1)i(x ∈R )是纯虚数，则复数cos π3
＋(xa 2＋1)i(a ∈R )对应的点在第______象限．
解析：∵(x 2－1)＋(x ＋1)i(x ∈R )是纯虚数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，解得x ＝1. ∴cos π3＋(xa 2＋1)i ＝12
＋(a 2＋1)i. 而a 2＋1>0，∴此复数对应的点在第一象限．
答案：一
[A 级 能力提升]
1.(2012·黄山质检)下列四个式子中，正确的是( )
A ．4i>3
B ．|2＋3i|>|2－3i|
C ．|2＋i|>2i 4
D ．i 2>－i
解析：选C.不全是实数的复数不能比较大小，故A ，D 都错．∵|2＋3i|＝13，|2－3i|＝13，∴B 错．∵|2＋i|＝5>2i 4＝2，∴C 对．
2.复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )
A ．a ≠2或a ≠1
B ．a ≠2且a ≠1
C ．a ＝0
D ．a ＝2或a ＝0
解析：选D.由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.故选D.
3.设z ∈C ，|z |≤2，则点Z 表示的图形是( )
A ．直线x ＝2的右半平面
B ．半径为2的圆面
C ．直线x ＝2的左半平面
D ．半径为2的圆
解析：选B.由复数模的几何意义知：点Z 到原点的距离小于或等于2，点Z 的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆面．
4.(2012·铜陵质检)已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为______．
解析：由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
得x ＝3，y ＝－4.
而|1－5i|＝1＋（－5）2＝26，
|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，
|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝（－4）2＋22＝20，
∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.
答案：|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|
5.在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，如果点B 关于原点的对称
点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为______．
解析：∵点B 的坐标为(3，－4)，∴点A 的坐标为(－3，4)，
∴点C 的坐标为(3，4)，∴向量OC →对应的复数为3＋4i.
答案：3＋4i
6.实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？
(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．
解：因为x 是实数，所以x 2＋x －6与x 2－2x －15也都是实数．
(1)当实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0， 即－3<x <2时，点Z 在第三象限．
(2)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，
即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．
[B 级 能力提升]
7.已知z ＝cos π4＋isin π4
，i 为虚数单位，那么平面内到点C (1，2)的距离等于|z |的点的轨迹是( )
A ．圆
B ．以点
C 为圆心，半径等于1的圆
C ．满足方程x 2＋y 2＝1的曲线
D ．满足(x －1)2＋(y －2)2＝12
的曲线 解析：选B.设所求动点为(x ，y )，又|z |＝cos 2π4＋sin 2π4
＝1，所以（x －1）2＋（y －2）2＝1，即(x －1)2＋(y －2)2＝1.故选B.
8.(2012·福州调研)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )
A ．1个圆
B ．线段
C ．2个点
D ．2个圆
解析：选A.由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，∵|z |≥0.∴|z |＝－1应舍去，故选A.
9.设z 1＝1＋i ，z 2＝－1＋i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为原点，则△AOB 的面积为______．
解析：在复平面内，z 1、z 2对应的点分别为
A (1，1)、
B (－1，1)，如图，连接AB 交y 轴于
C .
∵|z 1|＝|z 2|＝2，∴△AOB 是等腰三角形．∵|AB |＝[1－（－1）]2＋（1－1）2＝2，|OC |＝1，
∴S △AOB ＝12|AB |·|OC |＝12
×2×1＝1. 答案：1
10.在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32
i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：
根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为(12，32
)，(－1，0)，(12，－32
)，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示．
|z 1|＝（12）2＋（32）2＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝
（12）2＋（－32
）2＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，
且点Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
11.(创新题)已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32
i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小；
(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 解：(1)|z 1|＝（－3）2＋12＝2.
|z 2|＝
（－12）2＋（－32
）2＝1.∴|z 1|>|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.
因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆形成的圆环，如图所示．
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