黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析

黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线()2
20y px p =>
经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）
A
．B
．
C
D
．-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】
解：抛物线()2
20y px p =>
经过点(M
(2
22p =⨯，2p =，
()1,0F
，MF k =
故选：A 【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
2．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，
，，
则z=32x y ++的取值范围为（ ）
A ．[2453
，] B ．[
2
5
，3] C ．[
4
3
，2] D ．[
2
5
，2] 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意作出可行域，转化目标函数3
2
x z y +=+为连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数，数形结合即可得解. 【详解】
由题意作出可行域，如图， 目标函数3
2
x z y +=
+可表示连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数， 由图可知，直线DA 的斜率最小，直线DB 的斜率最大，
由
10
x y
x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
可得()
1,1
A--，由
2
10
x y
x
+=
⎧
⎨
+=
⎩
可得()
1,3
B-，
所以
121
132
DA
k
-+
==
-+
，
325
132
DB
k
+
==
-+
，所以
2
2
5
z
≤≤.
故选：D.
【点睛】
本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.
3．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．
【详解】
如图，设三棱柱为，且，高．
所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，
则圆的半径为．
设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，
所以
，
即球的半径为，
所以球的体积为
．
故选A ． 【点睛】
本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：
（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为
，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径
，合理利用中
间结论可提高解题的效率．
4．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
3
π D ．
2
π 【答案】B
【解析】 【分析】
根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于
y 轴对称，求得m 的最小值.
【详解】
由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期
32T =，所以263
T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫
-⨯+=
⎪⎝⎭
，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x π
ππ
πππ⎛⎫⎛⎫=+
=++=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】
该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.
5．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z = D ．
13
122
z i i =++ 【答案】D 【解析】 【分析】
首先求得12z i =-+，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】
由题意知复数12z i =-+，则(12)2z i i i i ⋅=-+⋅=--，所以A 选项不正确；复数z 的共轭复数是12i --，
所以B 选项不正确；||z ==C 选项不正确；
12(12)(1)1311222
z i i i i i i -+-+⋅-===+++，所以D 选项正确. 故选：D 【点睛】
本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想. 6．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3
π+
），则f （x ）的最小值为（ ） A ．
12
B ．
14
C
．
4
D
．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，再求最值. 【详解】
已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3
π
+
）， =21cos 21cos 2322
x x π⎛
⎫
-+
⎪-⎝⎭
+
，
=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛
⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫
+
∈- ⎪⎝
⎭
， 所以f （x ）的最小值为12
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}
1B x x =<，则集合A B =U （ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞
C ．(],2-∞
D ．(],1-∞
【答案】C 【解析】
∵集合{}
02A x x =<≤，{}
1B x x =<， ∴A B ⋃= (]
,2-∞
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
8．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；④tan 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为22
T π
π=
= ； 函数tan 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为2
2
T π
π
=
=
；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Ac os(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为3
2
，则c =（ ）
A ．
B ．4
C ．5
D ．【答案】D 【解析】 【分析】
由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34
sin ,cos 55
C C =
=.通过13
sin 22
ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.
【详解】
解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =
4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.
2
2
sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55
C C =
=. 1133
sin 12252
ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.
22224
2cos 1521518
5
c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴=
故选:D. 【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值.
10．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.3
C ．0.7
D ．0.8
【答案】B 【解析】 【分析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】
()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 11．已知复数(2)1ai i
z i
+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．i
D ．i -
【答案】A 【解析】 【分析】
对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z . 【详解】
()()()()()
221222111122ai i a i i a i a a z i
i i i i +-+--+-+=
===+-++-
因为z 为纯虚数，所以202
a
-=，得2a = 所以2z i =. 故选A 项 【点睛】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
12．函数cos 1ln(),1,
(),1x x x f x x
e
x π⎧
->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】
当1x >时，()1
ln()f x x x
=-，
由1
,y y x x =-
=在()1,+∞递增， 所以1
t x x
=-在()1,+∞递增
又ln y t =是增函数，
所以()1ln()f x x x
=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos x
f x e
π=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈
所以cos t x π=在()0,1递减，而t
y e =是增函数
所以()cos x
f x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误
故选：A 【点睛】
本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角
的大小为，则四面体的外接球的半径为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，，结合
，可求出四面体的外接球的半径.
【详解】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O 1D⊥AB，所以，即为二面角的平面角，，
因为，所以是等腰直角三角形，，
在中，由cos60º＝，得，由勾股定理，得：，
因为O 1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上，
设四面体外接球半径为，
在中，，
由勾股定理可得：，即，解得．
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题．
14．函数2()x f x x e -=⋅的极大值为________. 【答案】12e
【解析】 【分析】
对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值. 【详解】
依题意，得222()e 2e e (12)x x x
f x x x ---'=-=-.
所以当1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<.
所以当12
x =
时，函数()f x 有极大值12e . 故答案为：12e
. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.
15．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102
x +=的距离等于________. 【答案】94
【解析】 【分析】
由已知可知直线440kx y k --=过抛物线2y x =的焦点，求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线1
02
x +
=的距离．
【详解】 解：如图，
直线440kx y k --=过定点1
(4，0)，
而抛物线2y x =的焦点F 为1
(4
，0)，
∴弦AB 的中点到准线14x =-的距离为1||22
AB =，
则弦AB 的中点到直线1
02x +=的距离等于19244
+=． 故答案为：
9
4
．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．
16．已知实数,x y 满足20
2201x y x y y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最小值是______________.
【答案】8- 【解析】 【分析】
先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解. 【详解】
画出不等式组20
2201x y x y y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
表示的可行域如图阴影区域所示.
由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z 的直线系， 平移直线30x y +=，
易知当直线3z x y =+经过点(3,1)M -时，直线的纵截距最小，目标函数3z x y =+取得最小值，且
min 3(3)18z =⨯-+=-.
故答案为：-8 【点睛】
本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F(E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD.
求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC.
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．
试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB P .
又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC. （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD=BD ，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，
所以BC ⊥平面ABD .
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .
又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
18．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，
//AD BC ，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .
（1）求证：⊥AF PB .
（2）求二面角A EC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（221
【解析】 【分析】
（1）连接AE ，证明PB AD ⊥，AE PB ⊥得到PB ⊥面ADE ，得到证明.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，()1,1,2n =-r
为平面AEC 的法向量，平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =u r
，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）连接AE ，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，
AD ⊂面ABCD ，AD PA ∴⊥，PA AB A =I ，AD ∴⊥面PAB ，
又PB ⊂Q 面PAB ，PB AD ∴⊥，
又Q 在直角三角形PAB 中，PA AB =，E 为PB 的中点，
AE PB ∴⊥，AD AE A ⋂=，PB ∴⊥面ADE ，AF ⊂面ADE ，AF PB ∴⊥
.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
()2,0,0P ，()0,2,0B ，()1,1,0E ，()0,2,1C ，()0,0,0A ，()0,0,2D ，
设(),,n x y z =r 为平面AEC 的法向量，()0,2,1AC =u u u r ，()1,1,0AE =u u u r ，00
n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，20
0y z x y +=⎧∴⎨+=⎩，令
1x =，则1y =-，2z =，()1,1,2n ∴=-r
，
同理可得平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =u r
.
设向量m u r 与n r
的所成的角为θ，21
cos 7614
θ∴=
=⨯， 由图形知，二面角A EC D --为锐二面角，所以余弦值为
21
7
. 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-
（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；
（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41
f x m f x a b
---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）(][),13,-∞-+∞U . （Ⅱ）135m -≤≤. 【解析】 【分析】 【详解】
详解：（Ⅰ）()()133,,21212211,2,233, 2.x x f x f x x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
++=-+-=+≤≤⎨
⎪
->⎪⎪⎩
当1
2
x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当
1
22
x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥.
所以不等式()6f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞U . （Ⅱ）因为()1,0a b a b +=>，
所以
(
)41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
. 由题意知对x R ∀∈，229x m x -----≤， 即()
max
22
9x m x -----≤，
因为()()22224x m x x m x m -----≤---+=--， 所以949m -≤+≤，解得135m -≤≤. 【点睛】
⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．
⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，
从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有： ① ()()(f x g a a <为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔> ②()()(f x g a a >为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔< ．
20．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。

参照
正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
、
、
、
、
、
、
、
.等级考试科
目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始
成绩属
等级.而
等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，
，求得
.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布
.
（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小
明转换后的物理成绩； （ii ）求物理原始分在区间
的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，
求的分布列和数学期望. （附：若随机变量
，则，
，
）
【答案】 (1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况
下的概率，结合数学期望的公式即可求解。

【详解】
（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

21．已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】 (1) ()2
2139
x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析
【解析】 【分析】
（1）设动点(,)M x y ，则,(3)33MA MB y y k k x x x =
=≠±+-，利用19
MA MB k k =-，求出曲线C 的方程． （2）由已知直线l 过点(1,0)T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99x my x y =+⎧⎨+=⎩
， 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=，设1(P x ，1)y ，2(x Q ，2)y 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解
指向性方程，推出结果． 【详解】
解：（1）设动点(),M x y ，则()33
MA y
k x x =
≠-+， ()33
MB y
k x x =
≠-， 19MA MB k k ⋅=-Q ，即1
339y y x x ⋅=-+-，
化简得：2
219
x y +=。

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()2
2139
x y x +=≠±。

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，
则联立方程组22
1,19x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22
9280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221222,9
8.
9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为11
1010
1SP y y k x x my x =
=-+-，
22
2020
1SQ y y k x x my x =
=-+-，
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。

当03x =时，m R ∀∈，()
2
082991SP SQ k k x -⋅=
=--；
当03x =-时，m R ∀∈，()
208118
91SP SQ k k x -⋅=
=--。

所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。

【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
22．已知数列{}n a 满足：2
16n n x x +=-，*n N ∈，且对任意的*n N ∈
都有n x <
, （Ⅰ）证明：对任意*n N ∈
，都有132
n x -≤≤
； （Ⅱ）证明：对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+； （Ⅲ）证明：12x =-.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】
分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤； (2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；
(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.
详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则
若3n x <-,则2
163n n x x +=->,与任意的*n N ∈
都有1
2
n x <
矛盾；
若n x >
则有n x <<
,则
2
2111
66,22n n x x +⎛⎫=-<-=- ⎪ ⎪⎝⎭
2
2
2
166n n x x ++⎛=->-=
⎝⎭
与任意的*n N ∈
都有1
2
n x <
矛盾； 故对任意*n N ∈
，都有132
n x -≤≤
成立； （Ⅱ）由2
16n n x x +=-得21+26+2=+22n n n n x x x x +=-⋅-（）（），
则1+2+22n n n x x x +=⋅-，由（Ⅰ）知0n x ≤，22n x -≥，
即对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+；. （Ⅲ）由（Ⅱ）得：2
1112222222n
n n n x x x x +-+≥+≥+≥⋅⋅⋅≥+， 由（Ⅰ）知，31n x -≤≤-， ∴121n x ++≤， ∴1221n
x +≤，即11
22n
x +≤
， 若12x ≠-，则120x +>,取211log 12n x ⎡⎤≥+⎢⎥+⎢⎥⎣
⎦
时，有1122n x +>，与11
22n
x +≤矛盾. 则12x =-. 得证.
点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤. 23．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C
的度数成等差数列，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值. 【答案】 (1)4c =；
(2) 【解析】
【分析】
【详解】
(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3A B C B π
π++=∴=.
由正弦定理，得34c a =,即34
c a =. 由余弦定理，得222
2cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =. (2)
由正弦定理，得,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==
)(
)sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛⎫⎤∴+=+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦
3sin 26A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
. 由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A π
π
+=，即3A π
=时，(
)max a c +=.
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．。