厦门中考数学二次函数-经典压轴题

厦门中考数学二次函数-经典压轴题
一、二次函数
1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润
()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2
21203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2
212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2
224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤Q ，，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2
212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，
2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
2．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛
物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9
4
；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣
3）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴
930
10
b c
b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得
4
3
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣
（x﹣3
2
）2+
9
4
．∵a=﹣1＜0，∴当x=
3
2
时，线段PD的长度有最大值
9
4
；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析
式为y=kx+b（k≠0），则
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
3
3
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴直线BC的解析式为y=﹣
3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．
3．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限．
①当线段PQ=3
4
AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－
3．（3）①23．①P 1（1
2），P 2（1
－2
，74）． 【解析】 【分析】
已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴− 221
b
b
a -
⨯＝＝1 ∴b=-2
∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）
设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，
则033k m m ＝＝+⎧⎨-⎩，
∴13k m ⎧⎨-⎩
＝＝
∴直线BC 的函数表达式为y=x-3； （3）①∵AB=4，PQ=3
4
AB ， ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴，
则由抛物线的对称性可得PM=32
， ∵对称轴是直线x=1， ∴P 到y 轴的距离是12， ∴点P 的横坐标为−
12
，
∴P（−1
2，−
7
4
）
∴F（0，−7
4
），
∴FC=3-OF=3-7
4
=
5
4
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=5 2
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=5
2
-1=
3
2
．
在Rt△EGD中，tan∠CED=
2
3 GD
EG
＝．
②P1（2，-2），P2（6
-
5
2
）．
设OE=a，则GE=2-a，
当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2，
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．
∴P1（2-2），
当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，
∴P和F的纵坐标为：-5
2
，
把y=-5
2
，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-
6
2
，或1+
6
2
，
∵点P在第三象限．
∴P2（1-6，-5
2
）．
综上所述：满足条件为P1（1-2，-2），P2（1-6
，-
5
2
）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
4．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存
在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为
2
8
，此时点P的坐
标为（3
2
，
15
4
）．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得
10
930
b c
b c
-++=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得：
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得
30
3
m n
n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
3
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=1
2
PF•OB=﹣
3
2
t2+
9
2
t=
﹣
3
2
（t﹣
3
2
）2+
27
8
；
②∵﹣
3
2
＜0，
∴当t=3
2
时，S取最大值，最大值为
27
8
．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段BC=2232
OB OC
+=，
∴P点到直线BC的距离的最大值为
27
292
8
8
32
⨯
=，
此时点P的坐标为（
3
2
，
15
4
）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线PC的解析式为y=-1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
，解得
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
7
3
20
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
7
3
，
20
9
）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得1
3
+b=0，解得b=﹣
1
3
，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3x﹣
1
3
，
解方程组
223
11
33
y x x
y x
⎧
-++
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
，解得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
10
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
10
3
，﹣
13
9
）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（
7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2
y ax c
=+的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=-
3
50
x2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）设N点的坐标为（5，y N）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
试题解析： (1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将B、C的坐标代入2
y ax c
=+，得
6,
0100.
c
a c
=
⎧
⎨
=+
⎩
解得3,650
a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-
+. (2) 可设N (5,N y )， 于是2356 4.550
N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，
则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050
H y =-
⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
7．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．
（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．
（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．
（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．
【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5
【解析】
【分析】
（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；
（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示
出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

【详解】
（1）解：抛物线与x 轴有2个交点。

理由如下：
∵m≠0，∴b 2-4ac =（2m ）2-4×1×0=4m 2>0．
∴抛物线与x 轴有2个交点
（2）解：∵点A （-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上
∴抛物线的对称轴x=5122n n -++-= ∴ 221
m ⨯=2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．
∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为12
×4×4=8 （3）解：方法一（图象法）：
∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．
当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．
此时，-m<2，即m>-2．
当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．
即m>-2.5．
综上所述，m 的取值范围m>-2.5
方法二（代数法）：
由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ．
∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m ＞-2.5.
【点睛】
二次函数的综合应用题。

与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点。

熟练运用顶点坐标（-2b a ，2
44ac b a
-）
8．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，当其自变量的值为m 时，其函数值等于﹣m ，则称﹣m 为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n 为零．
例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n 等于5．
（1）分别判断函数y ＝﹣x +1，y ＝1x
-
，y ＝x 2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；
（2）对于函数y ＝x 2﹣b 2x ，
①若其反向距离为零，求b 的值；
②若﹣1≤b ≤3，求其反向距离n 的取值范围； （3）若函数y ＝223()3()x x x m x x x m ⎧-≥⎨--<⎩
请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m 的取值范围．
【答案】（1）y＝−1
x
有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）
①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；
(2)①根据题意可以求得相应的b的值；
②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；
(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．
【详解】
(1)由题意可得，
当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，
当﹣m＝
1
m
-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝
1
x
-有反向值，反向距离为2，
当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；
(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∵反向距离为零，
∴|b2﹣1﹣0|＝0，
解得，b＝±1；
②令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，
∵﹣1≤b≤3，
∴0≤n≤8；
(3)∵y＝
2
2
3()
3() x x x m
x x x m
⎧-≥
⎨
--<
⎩
，
∴当x≥m时，
﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，
∴n＝2﹣0＝2，
∴m＞2或m≤﹣2；
当x＜m时，
﹣m＝﹣m2﹣3m，
解得，m＝0或m＝﹣4，
∴n＝0﹣(﹣4)＝4，
∴﹣2＜m≤2，
由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．
9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111
x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣
14；（2）k
＝2
． 【解析】
【分析】 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.
【详解】
解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1
∵△≥0
∴4k +1≥0
∴k ≥﹣14
； （2）∵x 1，x 2是方程两根，
∴x 1+x 2＝2k +1
x 1x 2＝k 2，
又∵121111
x x k +=-， ∴121211
x x x x k +=⋅-， 即22111
k k k +=+ ，
解得：12k k =
= 又∵k ≥﹣
14 ， 即：k
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等
于
b
a
，两根之积等于
c
a
”是解题的关键.
10．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．
（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）
（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深
加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝1
2
x+3
（2≤x≤10）．
①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？
②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？
【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．
【解析】
【分析】
（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣1
2
x+13﹣4）x＝﹣
1
2
x2+9x，根据二次函数的性质
即可得到结论；
（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】
（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．
∴设其解析式为y＝kx+b，
∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，
∴21289k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得k ＝﹣12
，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣
12x +13， 当x ＝6时，y ＝10，
答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；
（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣
12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2b a
＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣
12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12
x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3，
答该公司买入杨梅3吨；
②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．
故答案为：3＜x ≤8．
【点睛】
本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D 的坐标，OE 等于多少；
（2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a 的取值范围；
（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设P （m ，n ），直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．
【解析】
【分析】
(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；
(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；
(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】
解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
(2)结论：OE的长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE的长与a值无关．
(3)当β=45°时，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
当β=60°时，在Rt△OCE中，33
∴﹣3
∴a=3，
∴45°≤β≤60°，a3≤a≤﹣1．
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．
∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m＜1．
∴n=﹣m﹣1(m＜1)．
故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)3﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。

12．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=
1
6
x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到
OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为17
2
m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16
-x 2
+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3． 【解析】 【详解】
试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,
2B C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在抛物线上 所以4
171
932
6c b c =⎧⎪
⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b
x a
=-=时，10t y =≦ 答：2
1246
y x x =-
++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，22
63
y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即2
12486
x x -
++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=-
1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是3考点：二次函数的实际应用．
13．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值；
(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证
ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP 26Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐
标即可 【详解】
(1)解：由题意得()()1y x x a =--- 由图知：0a ＜
所以A (,0a )，()10
B ,,()0,
C a - ()()1
12
ABC S a a ∆=
-⋅-=6 34()a a =-=或舍
∴
3a =-
(2)由(1)得A (-3,0)，()10
B ,,()0,3
C ∴直线AC 得解析式为：3y x =+
AC 中点坐标为33,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
∴AC 的垂直平分线为：y x =-
又∵AB 的垂直平分线为：1x =- ∴1y x x =-⎧⎨
=-⎩ 得1
1
x y =-⎧⎨=⎩
ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，
∴1
2
ABP S PD AB ∆=⋅
=2d
∵QPB ∆的面积为2d
∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =- ∴2
123y x y x x =-⎧⎨
=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1
()0
x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得：ABQ QPA ∆∆≌ ∴BQ =AP 26设Q (m ，-1)(0m ＜) ∴()2
21126m -+=
4m =-
∴Q ()4,1-. 【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线
的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式
14．如图， 已知抛物线2
3
42
y ax x =+
+的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．
（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；
（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．
【答案】（1）213
442
y x x =-
++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)． 【解析】 【分析】
（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213
-442
x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-
42x +），PD=-1
4
x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1
-42
m +），进而可得出MN 2
124
m m =-
+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】。