2025届内蒙古包头市一中高三第二次联考数学试卷含解析

2025届内蒙古包头市一中高三第二次联考数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln 2f x x ax =-，()2
42ln ax g x x x
=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围
为（ ） A ．(]0,e
B ．10,
2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(),e +∞
D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．已知函数12
12log ,18()2,12x x x f x x ⎧
+≤<⎪
=⎨⎪≤≤⎩
，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2
ln 20.69,ln 20.48≈≈
A ．
12
B
．
4
C
．2log
D
．
2
3．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +
B ．23i -
C ． 23i -+
D ． 23i --
4．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14
y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )
A
．(
B
．)
+∞
C
．(
D
．)
+∞
5
．若集合{
}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =（ ）
A ．[]3,2-
B ．{}
23x x ≤≤ C ．()2,3
D ．{}
32x x -≤<
6．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1-
B ．
25或2
5
- C ．1或2
5
-
D ．1-或
25
7．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10
B ．14-
C ．–18
D ．–20
9．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）
A
B ．
C ．3
D ．4
10．已知1F 、2F 分别是双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B C ．D
11．若1n
x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85
B ．84
C ．57
D ．56
12．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ）
A ．
23
π B ．3π C ．6π
D ．
56
π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，416S =，则数列{}n a 的公差d =________，通项公式n a =________.
14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2
2
210y x b b
-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．
15．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______．
16．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC 中，4
ABC π
∠=
，D 是边BC 上一点，且5AD =，3
cos 5
ADC ∠=
.
（1）求BD 的长；
（2）若ABC 的面积为14，求AC 的长.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设1m ，过点(,0)m 的直线l 与圆22:1P x y +=相切，且与抛物线2
:2Q y x
=相交于,A B 两点．
（1）当m 在区间[1,)+∞上变动时，求AB 中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为F ，求ABF 的周长(用m 表示)，并写出2m =时该周长的具体取值．
19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等比
数列{}n b 的前3项．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列1n n n nb a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n
m T >，求整数m 的最大值； （3）是否存在数列{}n c 满足等式()111
122n
n i
n i i a
c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，
请说明理由．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，直线l 与椭圆C 相交
于,A B 两点，线段AB 的中点为M .当M 与O 连线的斜率为1
2-时，直线l 的倾斜角为4
π （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若2,AB P =是以AB 为直径的圆上的任意一点，求证：OP ≤ 21．（12分）已知()=|+2|f x ax .
（1）当2a =时，求不等式()>3f x x 的解集； （2）若(1)f M ，(2)f M ，证明：2
3
M
.
22．（10分）已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的
切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;
（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
由题意可将方程转化为
ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln x
t x x
=，()()0,11,x ∈+∞，进而将方程转化为
()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程()()f x g x =在()
()0,11,+∞上恰有三个不相等的实根，
即2
4ln 22ln ax x ax x x
-=-，①.
因为0x >，①式两边同除以x ，得
ln 422ln x ax
a x x
-=-. 所以方程
ln 4220ln x ax
a x x
--+=有三个不等的正实根. 记()ln x
t x x
=，()
()0,11,x ∈+∞，则上述方程转化为()()
4220a
t x a t x --
+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()2
1ln x
t x x -'=
，当()()0,11,x e ∈时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，
()t x →-∞.
当(),x e ∈+∞时，()0t x '
<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.
所以当x e =时，()t x 取最大值1
e
，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e
<<. 故选：B. 【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 2、A 【解析】
首先()f x 的单调性，由此判断出1
1
412
a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由
此求得ab 的最小值. 【详解】
由于函数1212log ,18()2,12
x x x f x x ⎧
+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩
，所以()f x 在1,18⎡⎫
⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，
()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412
a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简
得2log 22b
a =-，所以2222log log log 22log
b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12x
g x x x =-+<≤，
()2'
112ln 22ln 2ln 2ln 2
x x
x g x x x -⋅⋅=-+=
.构造函数()()2
12ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在
()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所
以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1
1
22
-=
. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 3、A 【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由32i z i ⋅=+，得()()2
323223i i i z i i i +-+=
==--， ∴23z i =+．
故选A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4、C 【解析】
先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】
双曲线22
2:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14
y C x -=没有公共点，
所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(
e =.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题. 5、A 【解析】
先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】
{{}{}
2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.
故选：A ． 【点睛】
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 6、B 【解析】
根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论． 【详解】
由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．
①当0m >时，5r m =， ∴3344
sin ,cos 5555
m m a a m m -=
===-，
∴3422sin cos 2555
a a +=⨯
-=． ②当0m <时，5r m =-， ∴3344
sin ,cos 5555
m m a a m m -=
=-==--， ∴34
22sin cos 255
5a a ⎛⎫+=⨯-+
=- ⎪⎝⎭．
综上可得2sin cos a a +的值是25或25
-． 故选B ． 【点睛】
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可． 7、B 【解析】
建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=，,OA a OB b ==，且()(),0,0,A m B n ，由于
5a c b c -=-=，所以[],4,6m n ∈.
()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--.所以
222222
2cos cos sin 25
2sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()()
()()()
2
2
2a b a c b c a c a c b c b c
-=---=
---⋅-+-=
=≥当且仅当m n =时取得最小值，此时由22
482cos 2sin m n m n θθ+=++得
()
22482sin cos 48sin
4m m πθθθ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为48-，即
2
248m =-，2240m +-=，解得m =所以当且仅当54
m n π
θ===
时a b -有最小值为
6=.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 8、D 【解析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值. 【详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值. 9、A 【解析】
根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果. 【详解】
因为3(21)ai b a i +=--，所以3,
(21),b a a =⎧⎨--=⎩，
解得3,
31,
b a =⎧⎨
=⎩
则|3|13a bi i +=+==故选：A. 【点睛】
本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题. 10、B 【解析】
设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线b y x a =垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出2
2
b a
的值，进而可求得双曲线C 的离心率. 【详解】
设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bc y x a a =-
=，即点,bc B c a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，2
22BF bc
b a a k
c a b
-==-=-，2
22b a ∴=，
因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 11、A 【解析】
先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】
解：1n
x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256
故2256n =，8n =
8843
3
18
8
r r r r
r r T C x
x
C x
---+==
要求展开式中的有理项，则258r =，，
则二项式展开式中有理项系数之和为：2
5
8
888++=85C C C 故选：A 【点睛】
考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 12、A 【解析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B. 【详解】
由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin()2sin cos A A B B A ++=，即有sin (12cos )0A B +=，因为sin 0A >，则1cos 2B =-，而(0,)B π∈，所以23
B π
=
. 故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 21n a n =- 【解析】
直接利用等差数列公式计算得到答案. 【详解】
213a a d =+=，414616S a d =+=，解得11a =，2d =，故21n a n =-.
故答案为：2；21n a n =-. 【点睛】
本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力.
14、x ±＝【解析】
代入()3,4求解得b 再求准线方程即可.
【详解】
解：双曲线()2
2
210y x b b
-=>经过点()3,4,
221631b
∴=﹣,
解得22b ＝,即2b ＝．
又1,a ∴＝
223c a b =+=,故该双曲线的准线方程为：3
3
x ±＝ ． 故答案为：33
x ±＝． 【点睛】
本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题. 15、1 【解析】
可看出2a
a e ≠，这样根据A B ≠∅即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1．
【详解】 解：
A
B ≠∅，
2a ∴=或2a a e =，
在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与
2
x y e =的图象，
由图可知y x =与2
x y e =无交点， 2a
a e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1．
故答案为：1． 【点睛】
考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2x
x e =无解，属于基础题． 16、750 【解析】因为，得
，
所以。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1；（2）5. 【解析】
（1）由同角三角函数关系求得sin ADC ∠，再由两角差的正弦公式求得sin BAD ∠，最后由正弦定理构建方程，求得答案.
（2）在ABD △中，由正弦定理构建方程求得AB ，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC ，最后由余弦定理构建方程求得AC . 【详解】
（1）据题意，3
cos 5
ADC ∠=
，且(0,)ADC π∠∈， 所以2
2
34sin 1cos 155ADC ADC ⎛⎫∠=-∠=-= ⎪⎝⎭
. 所以sin sin sin cos cos sin 44
4
BAD ADC ADC ADC πππ⎛
⎫∠=∠-
=∠-∠ ⎪
⎝
⎭
42322
55=
-=
. 在ABD △中，据正弦定理可知，
sin sin AD BD
B BAD
=∠， 所以
52
sin 1sin 10sin 4
AD BD BAD B π=⋅∠=⋅=.
（2）在ABD △中，据正弦定理可知sin sin AD AB
B ADB
=∠， 所以54sin sin()sin 42
sin sin sin 5sin
4
AD AD AD AB ADB ADC ADC B B B ππ=⋅∠=⋅-∠=⋅∠=⋅=因为ABC 的面积为14，所以1sin 142BA BC B ⋅⋅=，即142sin 1424
BC π
⋅⋅=，
得7BC =.
在ABD △
中，据余弦定理可知，22222
2cos 727cos 254
AC BA BC BA BC B π
=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，
所以5AC =. 【点睛】
本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题. 18、（1
）2x y =+（2）ABF
的周长为22212m m +-+2m =时，ABF
的周长为
11+【解析】
（1）设l 的方程为x ky m =+，
根据题意由点到直线的距离公式可得
1=，将直线方程与抛物线方程联立可得
2220y ky m --=，设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y ,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得12||||AF BF p x x +=++，由（1）可得2
||||221AF BF m m +=+-，再利用弦长公
式即可求解. 【详解】
（1）设l 的方程为x ky m =+
2211k m =⇒=-
联立22
2202x ky m
y ky m y x
=+⎧⇒--=⎨=⎩ 设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y
则122
12
222y y k
x x k m +=⎧⎨+=+⎩ 设AB 的中点坐标为(,)x y ，则
221x k m m m y k ⎧=+=-+⎪
⎨==⎪⎩ 消去参数m
得：2x y =+（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义知
1||2p AF x =+
，2||2
p
BF x =+，1p =
∴12||||AF BF p x x +=++
由（1）知(
)
2
2
1222212x x k m m m +=+=-+ ∴2||||221AF BF m m +=+-
||AB =
=
=
122y y k +=，122y y m ⋅=-，221k m =
-
||2AB ==
ABF 的周长为22212m m +-+2m
=时，ABF 的周长为11+【点睛】
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
19、（2）1n a n =+，2n
n b =（2）1
212
n n T n +=-+，m 的最大整数是2．
（3）存在，1
2n n c -= 【解析】
（2）由2
124n n a S n +=++可得2123n n S a n -=++（2n ≥），然后把这两个等式相减，化简得11n n a a +=+，公差为2，
因为21a -，3a ，7a 为等比数列，所以()3271a a a 2
=-，化简计算得，12a =，从而得到数列{}n a 的通项公式，再计
算出 21a -，3a ，7a ，从而可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，化简计算得10n n c c +->，从而可得数列{}n c 是递增的，所以只要n T 的最小值大于
2020m 即可，而n T 的最小值为111
3
T c ==，所以可得答案； （3）由题意可知，()()()()1
121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
即()1
*
121232
2,
n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈，这个可看成一个数列的前n 项和，再写出其前（1n -）项
和，两式相减得，()*
12121,n
n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈，利用同样的方法可得()
1*2n n
c
n N -=∈.
【详解】
解：（2）由题，当1n =时，12225a S =+，即12225a a =+
当2n ≥时，2
124n n a S n +=++ ① 2123n n S a n -=++ ②
①-②得2
2
121n n n a a a +-=+，整理得()22
11n n a a +=+，又因为各项均为正数的数列{}n a ．
故{}11,n n n a a a +=+是从第二项的等差数列，公差为2． 又2371,,a a a -恰为等比数列{}n b 的前3项，
故()()()()2
23272221115a a a a a a =-⇒+=-+，解得23a =．又12
225a a =+，
故12a =，因为211a a -=也成立．
故{}n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列．故211n a n n =+-=+． 即2，4，8恰为等比数列{}n b 的前3项，故{}n b 是以12b =为首项，公比为
4
22
=的等比数列， 故2n n b =．综上1n a n =+，2n
n b =
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，则 2+1111121(1)2222()3221
n n n n
n n n n n n n n n b nb c c a a a a n n n n ++++++++-=-=---++++
22231
n n
n n +=-
++ 2(31)
0(3)(+1)
n n n n +=
>+ 所以数列{}n c 是递增的， 若对*n N ∀∈均满足2020
n m T >
，只要n T 的最小值大于2020m
即可
因为n T 的最小值为111
3
T c ==， 所以2020
3
m <
，所以m 的最大整数是2． （3）由
()1
11
122n
n i n i
i a
c n ++-=-=--∑，得 ()()()()1121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
()1*
1212322,
n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈ ③
()
*123123(1)2(1)2,
2,n n n n c c c n c n n n N ---+++⋯+-=---∈ ④
③-④得，()*
12121,
n
n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈ ⑤，
()
1*123121,
2,n n n n c c c c n
n N ----+++⋯+=-∈ ⑥
⑤-⑥得，()
1
*2
n n c n N -=∈， 所以存在这样的数列{}n c ，()
1
*2
n n c n N -=∈ 【点睛】
此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
20、（1）2
212
x y +=；（2）详见解析.
【解析】
（1）由短轴长可知1b =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由设而不求法作差即可求得21212
21212
y y x x b x x a y y -+=--+，将相应值
代入即求得a =
（2）考虑特殊位置，即直线l 与x 轴垂直时候，1OP =≤l 斜率存在时，设出直线l 方程y kx m =+，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到m 与k 的关系，将2
||OM 表示出来，结合基本不等式求最值，证
明最后的结果 【详解】
解：（1）由已知，得1b =
由22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得 21212
21212
y y x x b x x a y y -+=--+
根据已知条件有，
当1212
2x x y y +=-+时，
12
121y y x x -=-
∴221
2
b a =
，即a =∴椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=
（2）当直线l
斜率不存在时，1OP =<. 当直线l 斜率存在时，设:l y kx m =+
由22
22
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222
214220k x kmx m +++-= ∴2121222
422
,2121km m x x x x k k --+==++，2216880k m ∆=-+> ∴()
222
222
2241,,212121km m k M OM m k k k -+⎛⎫= ⎪++⎝⎭+
由22
2212221
k AB k +-==+ 化简，得22
2
21
22
k m k +=+ ∴()
222
2
22
41
212221k k OM
k k
++=
++
()()22241
2122k k k +=
++
令2411k t +=≥，则
()()2
44
313
4t OM t t t t
=
=
++++
4≤=-
当且仅当t =时取等号 ∴1OM
≤
=
∵1OP OM ≤+ ∴OP ≤
当且仅当2k =
时取等号
综上，OP ≤ 【点睛】
本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题 21、 (1) (,2)-∞ (2)见证明 【解析】
（1） 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解； （2） 利用绝对值不等式的性质进行证明. 【详解】
（1）解：当2a =时，不等式()f x x <可化为223x x +>. 当1x ≤-时，223x x -->，2
5
x <-
，所以1x ≤-； 当1x >-时，223x x +>，12x -<<. 所以不等式()3f x x >的解集是(),2-∞.
（2）证明：由()1f M ≤，()2f M ≤，得2M a ≥+，22M a ≥+，
322222M M M a a =+≥+++，
又2222422a a +++≥-=， 所以32M ≥，即23
M ≥. 【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.
22、（1）22
142
x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,.
【解析】
（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程. （2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN 的面
，由此证得四边形OMDN 的面积为定值.
【详解】
（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|PA |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB | 所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）, 所以
c =
a =2,
b =所以曲线G 的方程为22
142
x y +=()0y ≠,
（2）因为OM ON OD +=，故四边形OMDN 为平行四边形. 当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形， 故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1, 此时可求得四边形OMDN
. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,
代入到22
142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,
∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 222
2412m k
-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2
)>0, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN
|2
12k
=+ 点O 到直线MN 的距离
d =
,
由OM ON OD +=,得x D 2412km
k -=
+,y D
2
212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2, 由题意四边形OMDN 为平行四边形,
∴OMDN 的面积为
S 212k ==+, 由1+2k 2=2m 2得
S =故四边形OMDN 的面积是定值,
. 【点睛】
本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.。