安徽省和县一中高三数学上学期第三次月考试题 文 新人教A版

数学试卷（文科）
（本卷满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U R =，集合2
{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U C A B 等
于（ ）
A ．{|20}x x x ><或
B ．{|12}x x <<
C ．{|12}x x <≤
D ． {|12}≤≤x x 2．复数
211i
i i
-+
- 等于（ ） A ． 0 B ． i C ． i -
D ． i +1
3．执行如图的程序框图，则输出的T 值等于 （ ） A ．91
B ． 55
C ．54
D ．30
4．设,,R b a ∈, 则b a >是()02
>-b b a 的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．若(),35cos =
-απ且,,2⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα则()=+απsin （ ） A ．35-
B ．31-
C ．32-
D ．3
2± 6．已知等比数列{}n a 中，公比1>q ，且861=+a a ，1243=a a ，则6
11
a a =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或6
7. 已知平面向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，(4,2)--c =，则下列说法中错误．．
的是（ ） A ．c ∥b
B ．⊥a b
C ．向量c 与向量-a b 的夹角为45︒
D ．对同一平面内的任意向量d ，都存在一对实数12,k k ，使得12k k =d b +c 8．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）
A ．1
()f x x x
=-
B ．e ()x
f x x
=
输出T 开 始
T =0,i =1 结束
i >5?
是
i =i +1 否
T =T +i 2
C ．2
1
()1f x x =
- D ．ln ()x f x x
=
9．椭圆C :22
21(0)x y a a
+=>的左右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆上异于端点的任意的点，
21,PF PF 的中点分别为O N M ,,为坐标原点，四边形OMPN 的周长为
2，则
△12PF F 的周长是（ ）
A
． B
C
4+ 10．已知定义在R 上的函数()x f ,对任意R x ∈,都有()()()12f x f x f +-=+成立,若函数
(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称,则(2014)f = ( )
A ．3
B ．2014
C ． 0
D ．-2014
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置上． 11．曲线21x
y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为 .
12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤≤02212y x y x ，那么2
2y x z +=的最小值
为 ．
13．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ．
14．已知直线2
x
y =
与双曲线()0,0122
22>>=-b a b y a x
交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
15．关于函数c bx x x x f ++=)(，给出下列四个命题：
①0=b ，0>c 时，0)(=x f 只有一个实数根；
②0=c 时，)(x f y =是奇函数；
③)(x f y =的图象关于点
0（，)c 对称； ④函数)(x f 至多有两个零点．
其中正确的命题序号为______________．
三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分） 已知向量)1,(sin -=x m ，向量)2
1
,cos 3(-=x n ，函数m n m x f ⋅+=)()(.
1
21
25.0
5
.01
1
（1）求)(x f 的最小正周期T ；
（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，A 为锐角，4,32==c a ， 且()f A 恰是()f x 在]2
,
0[π
上的最大值，求A 和b .
17．（本小题满分12分）
某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：
分数段（分） [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 总计 频数 b
频率 a 0.25
（1）求表中b a ,的值及分数在[90,100)范围内的学生
人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率
（分数在[90,150]内为及格）.
（2）从成绩大于等于110分的学生中随机选两
人，
求这两人成绩的平均分不小于130分的概率.
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PD A=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．
（1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （3）求三棱锥C －BEP 的体积．
19．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 是首项为114a =
，公比1
4
q =的等比数列。

茎 叶
E
F
A
D
P
设14
23log n n b a += *
()n ∈N ，数列{}n c 满足n n n b a c =；
（1）求证：数列{}n b 成等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S ；
（3）若2
114
n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.
20．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，过点(3, 0)B
的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM ⋅的取值范围.
21．（本小题满分13分）
已知定义在R 上的函数2
()(3)f x x ax =-，其中a 为常数． （1）当1x =是函数()y f x =的一个极值点，求a 的值；
（2）若函数()y f x =在区间(1,0)-上是增函数，求实数a 的取值范围；
（3）当0a >时，若()()(),[0,2]g x f x f x x '=+∈，在0x =处取得最大值，求实数a
的取值范围．
和县一中2014届高三第三次月考
数学答题卷（文科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项
中，
只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．12．13．
14．15．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
16．（本小题满分12分）
17．（本题满分12分）
20．（本题13分）21．（本小题满分13分）
和县一中2014届高三第三次月考
数学试卷（文科）
参 考 答 案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
A
B
B
C
B
D
D
A
C
二、填空题
11. 013=+-y x ． 12 .
5
4
. 13.． π238+
14. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+ ,25 15. ①②③
三、解答题
16.解: （1）2
1()()sin 13sin cos 2
f x m n m x x x =+⋅=+++
， 1cos 2311sin 2222x x -=
+++31
sin 2cos 2222
x x =-+ sin(2)26
x π
=-
+，……………………………………… … … 5分
所以函数)(x f 的最小正周期.2
2ππ
==T ………………………………………6分 （2） 由（1）知：2)6
2sin()(+-
=π
x x f ，[0,]2x π∈时,52666x πππ
-≤-≤
∴当26
2
x π
π
-
=
时()f x 取得最大值3，此时3
π
=
x . ∴由3)(=A f 得.3
π
=
A ……9分
由余弦定理，得2
2
2
2cos a b c bc A =+-∴2
1
1216242
b b =+-⨯⨯
，∴2b =. …12分 17.解：（1）由茎叶图可知分数在[50，70）范围内的有2人，在[)130,110范围内有3人,
∴2
0.1,320
a b =
== …………………………………………………………………2分 又分数在[]150,110范围内的频率为25.020
5
=，所以分数在[)110,90范围内的频率为
4.02
5.0-25.0-1.0-1=，所以分数在[)110,90范围内的学生人数为 84.020=⨯， 由题中的茎叶图可知分数在[)110,100范围内的学生人数为4，所以分数在[)100,90范围内的学生人数为44-8=. ……………………………………………………4 分
从题中的频率分布表可知分数在[70,90)范围内的频率为25.0，所以分数在[70,90)范围内的学生人数为200.255⨯=，所以数学成绩及格的学生为13人， 所以以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为
13
100%65%20
⨯= …………6 分 （2）设A 表示事件“从成绩大于等于110分的学生中随机选两人，其平均成绩大于等于130分”，由茎叶图可知成绩大于等于110分的学生有5人，记这5人分别为,,,,a b c d e ，…7 分 则选取学生的所有可能结果为
共10种情况，…………9 分
事件A 包含的结果有11分
…………………………………………………………………12分
18.证明：（1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG 2
1
//
CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE 2
1
//
CD ， ∴FG //AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG ， 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，
∴AF ∥平面PCE ；………………………………4分 （2）∵ PA ⊥底面ABCD ，
∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD=A ， ∴CD ⊥平面ADP ， 又AF ⊂平面ADP ， ∴CD ⊥AF ，
直角三角形PAD 中，∠PDA=45°， ∴△PAD 为等腰直角三角形，∴PA ＝AD=2， ∵F 是PD 的中点， ∴AF ⊥PD ，又CD PD=D ， ∴AF ⊥平面PCD ，
∵AF ∥EG ， ∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PCE ，
平面PCE ⊥平面PCD ；…………………………………………………………8分 （3）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ， PA 是三棱锥P －BCE 的高， Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C －BEP 的体积
V 三棱锥C －BEP =V 三棱锥P －BCE =1
11112
122332323BCE S PA BE BC PA ∆⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=… 12分 19.解：（1）由已知可得，n n n q
a a )41
(1
1==-，n b n n 3)41(log 324
1==+
23-=∴n b n
,31=-+n n b b
}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==. ……………4分
（2）1(32)()4n
n n n c a b n ==- n
n n S )41
()23()41
(7)41
(441
132⋅-++⋅+⋅+⋅= ① 143
2)41
()23()41
()53()41
(7)41
(4)41(141
+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②
（1） - ② 得
1
432)41
()23(])41()41()41()41[(34143+⋅--+++++=n n n n S
1
1
2)41)(23(4
11]
)41(1[)41(341+-----⋅+=n n n
1
)41()23(21+⋅+-=n n
1
)41(381232
+⋅+-=∴n n n S ……………8分
（3）n
n n c )41()23(⋅-=
n n n n n n c c )41
()23()41
()13(11⋅--⋅+=-++ 1131
1
()[(32)]9()(1)444n n n n n ++=--=-⋅-
当1n =时，n n c c =+1，当2n ≥时，1n n c c +<
121
()4n max c c c ∴===， 若21
14n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，则21
1
144m m +-≥即可
2450m m ∴+-≥，即5-≤m 或1≥m . ……………13分
20. 解：（1
）由题意得22222411,,2a b a b c c a
⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩
解得a =
b =．
∴椭圆C 的方程为22
163
x y +=．………………………………………………………5分 （2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-， 由22(3),1,6
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)121860k x k x k +-+-=. 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，
∴42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<. 设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则21221212k x x k +=+，2122
18612k x x k -=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．……8分 1212(3)(3)BM BN x x y y ⋅=--+21212(1)[3()9]k x x x x =+-++ 223312k k +=+23322(12)
k =++．………………………………………10分 11<<-k ，2332322(12)
k ∴<+≤+．BM BN ∴⋅的取值范围为(2, 3]．……13分 21.解：（1）()()(),2363,3223-=-='-=ax x x ax x f x ax x f
因为1=x 是()x f 的一个极值点，所以(),01='f 所以2=a ；…………………3分
（2）①当0=a 时，()2
3x x f -=在区间()0,1-上是增函数， 所以0=a 符合题意，
②当0≠a 时，(),23⎪⎭⎫ ⎝⎛
-='a x ax x f 令(),0='x f 得：a
x x 2,021==， 当0>a 时，对任意()0,1-∈x ，(),0>'x f 所以0>a 符合题意；
当0<a 时，)0,2(a x ∈时，(),0>'x f 所以
,12-≤a 即02<≤-a ， 综上所述，得a 的取值范围为[)+∞-,2. ………………………………………8分
(3) 0>a ,()()[]2,0,6332
3∈--+=x x x a ax x g ()()()[]
,21236332322--+=--+='x a ax x a ax x g
令(),0='x g 即 ()()*,02122=--+x a ax 显然0442>+=∆a 设方程()* 的两个根分别为,,21x x 由 ()*式得,0221<-
=a
x x 不妨设,021x x << 当202<<x 时，()2x g 为极小值，所以()x g 在[]2,0上的最大值只能是() 0g 或()2g 当22≥x 时，由于()x g 在[]2,0上是递减函数，所以最大值为() 0g ， 所以()x g 在[]2,0上的最大值只能是() 0g 或()2g ；
由已知得()x g 在0x =处取得最大值，所以()();20g g ≥ 即,24200-≥a 解得,5
6≤a 又因为0>a ，所以a 的取值范围为.560≤
<a ……………………………………13分。