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二次函数专项知识分析
知识能力目标：
1、经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。

2、能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，提高有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。

3、会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。

4、能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

5、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

考点一二次函数的图象和性质
2+bx+c(a≠0，其中a、b1、二次函数的定义和知识点：形如y=ax、c是常数)的函数为二次函数。

（1）、a决定抛物线的开口方向和形状大小，当a＞0时，开口向上，当a＜0时开口向下；︱a ︱的值越大，开口就越小；当b=0时，抛物线的轴对称是Y轴；当c=0时，抛物线经过原点；当b和c同时为0时，其顶点就是原点。

2??b?b4ac2，???对称轴方程是直（a≠0）的顶点坐标是，y=ax（2）、抛物线+bx+c??
aa42??b?，注意：对称轴是由a和b决定的，与c 无关，线x=a和b同号时，对称轴在Y2a轴的左边，a和b异号时，对称轴在Y轴的右边，简称“同左异右”。

2+bx+c（a≠0）与Y轴的交点坐标为（y=ax0，c）；求与X轴的两个交点3（）、抛物线2+bx+c=0的方程，得出的x的解就是与xax坐标的方法是令y=0，然后解关于轴的交点的横坐标。

这两个交点关于抛物线的对称轴对称。

2、二次函数的图象和性质。

2+bx+c（a≠0y=ax二次函数）的图象是一条抛物线，a决定抛物线的开口方向。

b?时，y随＞＞0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；函数有最小值；且x x当a2ab?时， y随x的增大而减小；当a＜0时，当的增大而增大；x＜抛物线的开口向下，2abb??时，x＜＞x时，y随的增大而减小；当图象有最高点，函数有最大值，且x2a2a y随x的增大而增大。

2bac?4b?时，y的最值为x=函数的最值就是顶点的纵坐标的值，注意：即当4a2a
1
22+k0）的图象进行平移，就是在顶点式、图象的平移：将二次函数y=axy=a(x-h)（a≠3基础上进行的，平移后的图象与原图象的开口方向，形状大小相同，只是位置不同，所是上加下减。

h 是左加右减，K以a不变；平移的口诀是2c?bx?y?ax轴或者关于顶点对称的X4、会求与二次函数轴、关于Y（a≠0）关于新二次函数的解析式。

22c?ax?bx??y?axbx?cy?X（1）与二次函数轴对称的新解析式为a≠0）关于（、c、b都变成相反数。

即a2c??bxy?ax变成相反数。

不变，b，即a Y（2）关于轴对称的新解析式为和c 变成相
反数。

不变，b即a和c2变a+k（3）求关于顶点对称的新二次函数的解析式。

应先化成顶点式y=a(x-h)，再把22成相反数即可，即y=a(x-h)+k+k——y = - a (x-h)
考点二、二次函数解析式的求法二次函数的三种表示方法：1、表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系。

（1）图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势。

（2）解析式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系。

（3）
二次函数解析式的求法：2、
2cy?ax?bx?（1）若已知抛物线上三点坐标，则可采用一般式：（a≠0）；2k??h)y?a(x，）（2若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：，对称轴为直线x=h；h,k其中顶点为（）：式则横坐标，可采用交点或与）（3若已知抛物线x轴的交点坐标交点
的),0)(xx)(x?x)(,0ay?(x?x；同时，两交,x轴的交点坐标为，其中与22112?4bac?x?x点在x 轴上截得的线段21a
考点三根据二次函数图象求一元二次方程的近似解
一元二次方程与二次函数的关系：
22cbx??ax?y0ax?bx??c；）a1、一元二次方程）就是二次函数（≠0a（≠0当函数y的值为0时的情况。

2cbx?y?ax?轴的交点有三中情况：有两个交点、、二次函数x ≠0）的图象与a（22c??yax?bx 轴有交点）的图象与≠（有一个交点、没有交点；二次函数a0x 2
20c??bx?ax也就是一元二次方程的值，y =0时自变量x时，交点的横坐标就是 0）的根。

（a≠2c?axbx?y?轴的交点有两个交点时，则一元0）的图象与x 3、当二次函数（a≠20c?ax?bx?数函根；当二次等0）有两个二次方程不相的实数≠（a2?bx?cy?ax（a≠0）的图象与x 轴的交点有一个交点时，则一元二次方程22?bx?y?axc0???axcbx（）有两个相等的实数根；当二次函数a0（a≠20c??bx?ax）没有实0（a≠轴没有交点时，则一元二次方程≠0）的图象与x
数根；考点四：二次函数的应用二次函数的图象、性质广泛应用于实际生活中，主要有最大利益的获取，最佳1、方案的设计、最大面积的计算等问题。

）认真审题，分清题中的已知和未知，找出数量1解决最值问题的基本思路：（、2
）根据题中实际数量的相等关系，3；（）确定自变量x及函数y2间的关系；（ 4）分析图表信息、利用待定系数法、配方法等求出最值。

建立函数关系模型；（
考点五：二次函数与一次函数、反比例函数的综合运用，与各种几何图形的综合运用。

例题讲解：在空中的运动路线是如（看成一点）10某跳水运动员进行米跳台跳水训练时，身体1、。

图所示坐标系中，经过原点0的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）210米，入水处距在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高处距水面3池边的距离为4米，同时，运动员在距离水面高度为5米以前必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的表达式。

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动33米，员在空中调整好姿势时距离池边的水平距离为问此次跳水会不会失5误？通过计算说明理由。

3
物/千克，购进价格30元2、某化工厂材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，千克，市场调查发/千克，也不得低于/30元价部门规定其销售单价不得高于70元千克，21元，日均多销售/千克时，日均销售60千克，单价降低现，单价定为70元元，x500元（天数不足一天的按一天计算）。

设销售单价为每天还要支出其他费用元。

日均获利为y 的取值范围。

的函数表达式，并注明x）求（1y与x2bac?b42?xa()?y?的形式，写出顶）中所求出的二次函数配方成（2）将（1aa24点坐标，并画出草图，观察图象，指出单价定为多少时，日获利最多，是多少？）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪（3 一种获总利较多，多多少？
00为坐标原点，O。

若以AB＝，∠BOA＝302，△4已知，在RtOAB中，∠OAB＝90x OAB△在第一象限内。

将所在直线为Rt轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点BOA 处。

落在第一象限内的点COB沿折叠后，点A 的坐标；）求点C（12bx?y?axa两点，求此抛物线的解析式；C、A（0≠）经过（2）若抛物线y轴的作DB，点P为线段上一点，过PD3（）若抛物线的对称轴与OB交于点为等腰梯形？CDPM是否存在这样的点P，使得四边形M平行线，交抛物线于点。

问：若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

y
C
B x OA 图28 题4。