初中数学不等式知识点大全

一元一次不等式
知识点1.不等式
不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。

常用的表示不等关系的语言及符号：
（1）大于、比……大、超过：>； （2）小于、比……小、低于：<；
（3）不大于、不超过、至多：≥； （4）不小于、不低于、至少：≤；
（5）正数：0>； （6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤
【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.
【例2】下列语句不能用不等式表示的是（ ）
A. 1+m 是负数
B. 2a 是正数
C.n m +等于x
D. 1-m 是非负数
【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.
【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：
（1）02≥x ：____________.
（2）0≤-x ：_____________.
知识点2.不等式的基本性质
不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,
不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即 如果0,>>c b a ，那么c
b c a bc ac >>,.
不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即 如果0,<>c b a ，那么c
b c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.
不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.
【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（ ）
A. b a <
B. 13-<+b a
C. 31+<-b a
D. 31-<+b a
【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（ ）
A. b a 33->-
B. b b a 2>+
C.b a 2222-<-
D.b a +->+-11
【例3】下列判断中，正确的是（ ）
A. 若b a <，则c b c a <
B. 若b a <，则22bm am <
C. 若22bm am <，则b a <
D. 若b a <，则22b a <
【例4】 若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>b
a ；③ a
b b a <+；④b
a 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为a
x -<
12，试化简：21++-a a .
【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（ ）
A ． b a 22-<-
B ．b m a m 22<
C ．21-<-b a
D ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（ ）
A ．66->-y x
B ．y x 33>
C ．y x 22-<-
D ．6363+->+-y x
【练习3】下列叙述正确的是（ ）
A ．若b a =，则b a =
B ．若b a >，则b a >
C ．若b a <，则b a <
D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（ ）
0<+n m ；0>-m n ；
n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）
A ．b a b a -<-<<
B ．b a a b <-<<-
C ．b a b a <-<-<
D ．a b b a -<<-<
知识点3.不等式的解集
1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。

所有这些解的全体称为这个不等式的解集。

2.不等式的解集
（1）求出各个不等式的解集；
（2）将以上解集一一表示在同一数轴上；
注意：数轴上表示x a >或x a <（a 为常数）时，x a =处应为虚点（即空心点）； 表示x a ≥或x a ≤（a 为常数）时，x a =处应为实点（即实心点）。

【例1】已知关于x 的不等式1≤+a x 的解集如图所示，则a 的值为_________.
【例2】已知3=x 是关于x 的不等式3
2223x ax x >+-
的解，求a 的取值范围.
【例3】当m 取何值时，关于x 的方程
)(5613
2m x m x -+=-的解是非负数？
【练习1】关于x 的不等式2-≥-a x 的解集如图所示，那么a 的值为__________.
【练习2】定义一种法则“※”如下：a ※b =⎩⎨⎧b a
)
()(b a b a ≤>，例如：1※2=2，若)52(--m ※33=，则m 的取值范围是_____________．
【练习3】关于x 的不等式03≤-a x ，只有两个正整数解，则a 的取值范围是____________.
知识点4.解不等式
解一元一次不等式的步骤：
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项，合并同类项
（4）系数化为1：未知数系数为正数，化简后不等号不变号：系数为负数，化简后变号。

【例1】（1）解不等式:
6313-->x x ,并把解集在数轴上表示出来.
（2）解不等式:
6.22.045.05.2>+--x x ,并把解集在数轴上表示出来.
（3）解不等式:
1)1(2
2≤---x x ,并把解集在数轴上表示出来.
（4）解不等式:
5456110312-≥+--x x x ,并把解集在数轴上表示出来.
【例2】解关于x 的不等式a x a 2121->⎪⎭
⎫
⎝⎛-.
【例3】已知253<-x k ，若要使x 不为负数，求k 的取值范围.
【例4】若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++-=+4
2232y x m y x 的解满足23->+y x ，求出满足条件的m 的所有正整数值.
【练习1】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）
1315>--x x （2）91)21(2+-≤-+x x
（3）23)14(21<--
x x （4）3
)1(4124+≥++x x
【练习2】解关于x 的不等式()3
263a x a -≥
-.
【练习3】关于x 的方程x mx 21=-的解为正实数，求m 的取值范围. .
【练习4】 已知关于y x ,的方程组⎩⎨
⎧=+=-a
y x y x 623的解满足不等式3<+y x ，求实数a 的取值范围．
知识点5.不等式的整数解
【例1】已知关于x 的不等式03≤-m x 的正整数解有4个，求m 的取值范围.
【例2】关于x 的不等式062>+--x k 的正整数解为1,2,3.求正整数k 的取值.
【练习1】关于x 的不等式03≤-a x ，只有两个正整数解，则a 的取值范围是__________.
【练习2】（1）解不等式：7)1(68)2(5+-<+-x x ；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程32=-ax x 的解，求a 的值．
知识点6.新定义
【例1】阅读理解：我们把c a d b
称为二阶行列式，其运算法则为 c a bc ad d b
-=. 如42 2435253-=⨯-⨯=.如果有12 x x -3>0,求x 的取值范围.
【练习1】定义新运算：对于任意实数b a ,，都有16)(+-+=Θb b a a b a ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：15156)52(252-=+⨯-+=Θ.
(1)求3)2(Θ-的值.
(2)若x Θ3的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来.
超级挑战
【超级挑战1】已知b a ,为常数，若0>+b ax 的解集为5
1<
x ，则0<-a bx 的解集是_______________. 【超级挑战2】若不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集是31
-<x ，求关于x 的不等式
b a x b a ->-2)3(的解集.
【超级挑战3】
5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为 a 米，后两名的平均身高为b 米．又前两名的平均身高为c 米，后三名的平均身高为d 米，则（ ）
A ．22d c b a +>+
B ． 22b a d c +>+
C ． 22b a d c +=+
D ．以上都不对
作业：
1.下列数学表达式中：①02<-，②032>+y x ，③2=x ，④222y xy x ++，⑤3≠x ，⑥21>+x 中，不等式有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．用适当的符号表示下列关系：
（1）x 的与x 的2倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的身体不比小刚轻．
3.下列语句正确的是（ ） A. 32,3121x x >∴> B ．3
2,3121x x -<-∴-<- C ．y x ay ax >∴>, D ．3121,312122+>+∴>a a
4.如果关于x 的不等式2)2(+>+a x a 的解集为1<x ，那么a 的取值范围是（ ）
A ．0>a
B ．0<a
C ．2->a
D ．2-<a
5. 设0>>b a ，c 为常数，给出下列不等式①0>-b a ；②bc ac >；③b a 11<；④ab b >2，其中正确的不等式有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6. 若0<ab ，且b a <，下列解不等式正确的是（ ）
A ．由b ax <，得a b x <
B ．由2)(>-x b a ，得b
a x ->2
C ．由a bx <，得b a x >
D ．由2)(<-x a b ，得a
b x -<2 7. 若关于x 的不等式0>-n mx 的解集是51<
x ，则关于x 的不等式m n x n m -=+)(的解集是（ ）
A ．32-<x
B ．32->x
C ．32<x
D ．3
2>x 8. 已知3=x 是关于x 的不等式3
2223x ax x >+-
的解，求a 的取值范围．
9．当a 为( )时，不等式)(2)3(x a x a -<-的解集为4<x ．
A ．8=a
B ．8-=a
C ．8<a
D ．8->a
10．已知关于x 的不等式)3(4)2(3+>--+x k x x k 的解集是负数，求k 的取值范围是
11. 若1<y 是不等式4)(3-<--y y a a 的解集，则a 的取值为（ ）
A ．3>a
B ．3=a
C ．3<a
D ．4=a
12. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
（1）
1423312-+≤-x x （2）14
23312-+≤-x x
（3）3132+<
-x x （4）2
132121-≤-x x
13．已知方程组⎩
⎨⎧+=---=+m y x m y x 317的解满足x 为非正数，y 为负数． （1）求m 的取值范围；
（2）化简：23+--m m ；
（3）在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式122+<+m x mx 的解为1>x ．
14．已知方程组⎩⎨
⎧-=-+=+5654a y x a y x 的解满足不等式954<-y x ．求a 的取值范围．
15．下列说法错误的是（ ）
A ．0是不等式41-
>x 的一个解 B ．不等式2
1<x 的整数解有无数个 C ．2-是不等式2-<x 的一个解
D ．52<x 的正整数解只有两个
16． 下列不等式中错误的是（ ） A ．若a ax 3-<，则3-<x B ．若不等式m nx >-的解集为n
x π
-≤，则0>n
C ．不等式
13
22+≥-x
x 的解集为12≥x D ．若b a ≥，0≥c ，则bc ac ≥
17.已知非负数c b a ,,满足条件7=+b a ，5=-a c ，设c b a S ++=的最大值为m ，最小值为n ，则n m -的值为 ．
一元一次不等式组
知识点1：不等式组的解集 （1）数轴法：
①求出各个不等式的解集；
②将以上解集一 一表示在同一数轴上；
③找到解集的公共部分，即为该不等式组的解集.
注意：数轴上表示a x >或a x <（a 为常数）时，a x =处应为虚点（即空心点）；
表示a x ≥或a x ≤（a 为常数）时，a x =出应为实点（即实心点）.
（2）口诀法：
同大取大，同小取小，大小、小大中间找，大大、小小找不到.
【例1】解下列不等式组，结果正确的是（ ） A ．不等式组⎩⎨
⎧>>3
5
x x 的解集是3>x B ．不等式组⎩
⎨⎧-<-<17
x x 的解集是1-<x
C ．不等式组 ⎩⎨⎧->-<7
8
x x 的解集是78-<<-x
D ．不等式组⎩⎨
⎧<->2
4
x x 的解集是24<<-x
【例2】不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A B C D
【例3】关于x 的不等式组1
x a
x >⎧⎨
>⎩的解集是1x >，则a 的取值范围是
【例4】若不等式组⎩⎨
⎧><m
x x 5
有解，则m 的取值范围是
【例5】若不等式组21
23x m x n -<⎧⎨->⎩的解集为11<<-x ，则=-•+)1()1(n m
【例6】若不等式组3x m
x ≤⎧⎨>⎩
无解，则m 的取值范围是
【例7】若不等式组130
x a
x +<⎧⎨
-≤⎩有解，则实数a 的取值范围是
【例8】若不等式组 11212
3x a x x +<⎧⎪
++⎨≤-⎪⎩的解是1x a <-，则实数a 的取值范围是
312,
840x x ->⎧⎨-≤⎩
【练习1】不等式组 ⎩
⎨⎧≥<01
x x 的解集是（ ）
A ． 0≥x
B ． 1<x
C ． 10<<x
D ．10<≤x
【练习2】解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A.⎩
⎨⎧≥->23
x x
B.⎩⎨⎧≤-<23
x x
C.⎩⎨⎧≥-<23
x x
D.⎩
⎨⎧≤->23
x x
【练习3】若不等式组213
x x a
-<⎧⎨<⎩的解集是2<x ，则a 的取值范围是
【练习4】若不等式组410
1x m x x m
-+<+⎧⎨+>⎩的解集是2x >，则整数m 的最小值是
【练习5】若不等式组2
23241
x a x x -⎧>⎪
⎨⎪+>-⎩的解集为23x -<<，则a 的取值范围是
【练习6】若不等式组21
7x m x m
<+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是
【练习7】若关于x 的一元一次不等式组20
1x m x m -<⎧⎨+>⎩
有解，则m 的取值范围为
【练习8】若不等式组1240
x a
x +>⎧⎨-<⎩有解，则a 的取值范围是
知识点2.解不等式组
【例1】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。

（1）353213(1)8x x x x -⎧+≥+⎪⎨⎪--<-⎩ (2)232
2112
3
23x x x x >-⎧⎪
-⎨≥-⎪⎩
(3) 12
2113x x +>-⎧⎪-⎨≤⎪⎩ (4)⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥--215
124)3(2x x x x
【例2】若，化简m m m +--+12
1523
3m m +>⎧<⎪
⎨-⎪⎩
【例3】已知不等式
612
54<--x
的负整数解是方程ax x =-32的解，试求出不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧<+>--a x x a x 25
1
33)(7的解集.
【练习1】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。

（1）26321054x x x x -<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩
（2）42611
39x x x x >-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩
（3） 331213(1)8x x x x -⎧+≥+⎪⎨⎪--<-⎩ （4） 3(1)72513x x x x --≤⎧⎪
-⎨-<⎪⎩
【练习2】不等式组⎩⎨
⎧<<a
x x 1
的解集如图所示，化简代数式a a +--31
【练习3】满足不等式12132<-<-x 的非负整数是方程6
22324m
x m x -=
-+）（的解，求m 的值
知识点3.方程组与不等式组结合
【例1】是否存在整数k ，使方程组21
x y k
x y +=⎧⎨-=⎩的解中，x 大于1，y 不大于1，若存在，
求出k 的值，若不存在，说明理由．
【例2】已知关于y x ,的方程组322
25
x y m x y m -=+⎧⎨+=-⎩中的x 的值为正数，y 的值为负数，
求m 的取值范围。

【例3】已知关于y x ,的方程组22325x y m x y m -=⎧⎨+=+⎩①②
的解满足不等式组⎩
⎨
⎧>+<+050
3y x y x ，
求满足条件的m 的整数值。

【练习1】已知方程组137x y a
x y a
-=+⎧⎨
+=--⎩的解x 为非正数，y 为负数，求a 的取值范围；
【练习2】若关于y x ,的二元一次方程组5
33
x y m x y m -=-⎧⎨
+=+⎩中，x 大于2，y 不小于7，求
m 的取值范围．
【练习3】已知关于y x ,的方程组22324x y m x y m -=⎧⎨
+=+⎩的解满足不等式组30
50
x y x y +≤⎧⎨+>⎩，求
m 的取值范围．
知识点4.不等式组的整数解 【例1】已知不等式组2
x x a
>⎧⎨
<⎩的解集中共有五个整数解，则a 的取值范围是 【例2】如果关于x 的不等式组520
730
x a x b ->⎧⎨
-≤⎩的整数解仅有9,8,7，那么适合这个不等式组
的整数b a ,的有序数对）
（b a ,共有 个.
【例3】若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++>++>++
a
x a x x x 3)1(445303
1
2恰有三个整数解，求实数a 的取值范围。

【练习1】若不等式组⎩
⎨⎧≤>-a x x 3
12的整数解共有三个，则a 的取值范围是
【练习2】若不等式组5
1x x m <⎧⎨>-⎩
恰有两个整数解，则m 的取值范围是
【练习3】已知关于x 的不等式组30
5x m x +<⎧⎨>-⎩
的所有整数解的和为9-，求m 的取值范围．
【作业】 1.不等式组⎩⎨⎧<+<-2
33
2x x 的解集是（ ）
A ．5<x
B ．1x <-
C ．2x <
D ．15x -<<
2..不等式组⎩⎨
⎧-≥->-3
210
1x x 的解集在数轴上表示为（ ）
A B C D
3.如果不等式组434
x x x n +<-⎧⎨>⎩
的解集是4>x ，则n 的取值范围是
4.已知不等式组
21
12x x a
-⎧≥⎪
⎨⎪≥⎩的解集是2≥x ，则a 的取值范围是
5.若不等式组20
210x a x b +->⎧⎨--<⎩
的解集为10<<x ，则b a ,的值分别为
6.若关于x 的不等式组2147
x x x a
->+⎧⎨>⎩无解，则实数a 的取值范围是
7.若关于x 的一元一次不等式组0
221x a x x ->⎧⎨-<-⎩
有解，则a 的取值范围是
8.若不等式组12
x x m
<≤⎧⎨>⎩有解，则m 的取值范围是
9.解不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集．
（1）2153112x x x ->⎧⎪⎨+-≥⎪⎩ （2）253(2)123x x x x
+≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩
（3）331213(1)8x x x x -⎧+≥+⎪⎨⎪--<-⎩ （4）513(1)1213x x x x ->+⎧⎪
+⎨≥-⎪⎩
10.若54223
a a -≤⎧⎪
-⎨-<⎪⎩，化简52a a --+
11.若不等式组231
1
(3)2
x x x +<⎧⎪
⎨>-⎪⎩整数解是关于x 的方程ax x =-42的根，求a 的值．
12.已知关于y x ,的方程组5331
x y m
x y +=⎧⎨+=⎩的解是非负数，求整数m 的值．
13.若方程组2
4563
x y m x y m +=+⎧⎨
+=+⎩的解x 不小于1，y 小于4，求m 的取值范围．
14.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=+=-12323k y x k y x 的解满足不等式组⎩⎨⎧-≥+≥-2
250
4y x y x ，求k 的取
值范围．
15.若关于x 的不等式0
721
x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有5个，则m 的取值范围是
16.如果关于x 的不等式组30
20x a x b ->⎧⎨
-≤⎩
的整数解仅有2,1，那么适合这个不等式组的整数
,a b 组成的有序数对
）（b a ,共有 个
17.已知关于x 的不等式组0
220
x a x ->⎧⎨
->⎩的整数解共有6个，则a 的取值范围是
一元一次不等式的应用
一元一次不等式应用题解题步骤：
（1）找出实际问题中的不等关系，设未知数列不等式； （2）解不等式；
（3）从不等式的解集中找出符合题意的答案。

一元一次不等式：
（一）计分问题
【例1】某场篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，
如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？
【练习1】在一次“交通安全法规”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给出四个答案，其中只有一个正确，选对得4分，不选或错选倒扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖
至少应选对多少道题？
【练习2】在一次知识竞赛中，共有16道选择题，评分办法是：答对一题目得6分，答错
一题扣2分，不答则不得分也不扣分，得分超过60为合格，明明有两道题未答，问他要达
到合格，至少应答对几道题?
（二）利润问题
【例1】某水果店进了某种水果1吨，进价为7元/千克，售价为11元/千克，销售一半后，为尽快销售完，准备打折销售，如果要使总利润不低于3450元，那么余下水果可按原价打几折销售？
【例2】某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，元。

商场销售5台型号A和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台
B型号计算器，可获利润120元。

（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元。

（）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要
购进A型号的计算器多少台。

【练习1】某商品原价800元，出售时，标价为1200元，要保持利润率不低于5%，则至
多可打几折？
【练习2】某加工厂投资兴建2条全自动生产线和1条半自动生产线共需资金26万元，而
投资兴建1条全自动生产线3条半自动生产线共需资金28万元．
（1）求每条全自动生产线和半自动生产线的成本各为多少万元？
（2）据预测：2015年每条全自动生产线的毛利润为26万元，每条半自动生产线的毛利润
为16万元，这一年，该加工厂共投资兴建10条生产线，若想获得不少于120万元的纯利润，则2015年该加工厂至少需投资兴建多少条全自动生产线？（纯利润=毛利润-成本）
（三）分段问题
【例1】某人的移动电话(手机)可选择两种收费办法中的一种，甲种收费办法是，先交月租15元，每通一分钟电话再收费0.10元；乙种收费办法是，不交月租费，每通一分钟话收费0.20元．问每月通话时间在什么范围内选择甲种收费办法合适？在什么范围内选择乙种收
费办法合适？
【例2】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
【练习1】为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：
居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）
（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为元；（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为立方米；
（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？
【练习2】某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：
（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值．
（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？
（四）方案比较大小
【例1】为极大地满足人民生活的需求,丰富市场供应,我区农村温棚设施农业迅速发展,温棚种植面积在不断扩大.在耕地上培成一行一行的矩形土埂,按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种.科学研究表明:在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果(同一种紧挨在一起种植不超过两垄),可增加它们的光合作用,提高单位面积的产量和经济效益.
m的矩形塑料温棚,分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄,种植的现有一个种植总面积为5402
草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄,又不超过14垄(垄数为正整数),它们的占地面积、产量、利润分别如下:
(1)若设草莓共种植了垄,通过计算说明共有几种种植方案?分别是哪几种?
(2)在这几种种植方案中,哪种方案获得的利润最大?最大利润是多少?
【例2】甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的
优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市
累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元
（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
【练习1】为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求
出该方案所需费用．
【练习2】一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：
（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请
你计算出经销商能盈利多少元？
（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
【作业】
1.A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只
有两个队）出线．小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要多少分才能
保证一定出线？（注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场）
2.某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器
8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
3.为了加强市民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达节水的目的．该市自来水收费价格价目表：
m，则应收水费元；
（1）居民甲2月份用水12.53
m，（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，求这（2）居民乙3、4月份用水153
户居民3、4月份的用水量．
4.为奖励在“七色光艺术节”汇演中表现突出的同学，班主任派生活班长小雪到文具店为获奖同学购买奖品．小雪发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要44元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要76元．
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小雪的费用是250元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小雪有哪几种购买方案？
5.某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪
种方案获利最大？最大利润是多少？
一元一次不等式组的应用
（一）分配问题
【例1】现在有住宿生若干名,分住若干间宿舍,若每间住6人,则还有38人无宿舍住;若每间住8人,则有一间宿舍住的人数不足8人但不少于5人,求住宿人数和宿舍间数.
【例2】在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅。

由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅。

（1）该校原有的班数是多少个？
（2）新学期所增加的班数是多少个？
【练习1】若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?
（二）方案设计问题
【例1】我市某镇组织 20 辆汽车装运A、B、C三种脐橙共 100 吨到外地销售．按计划， 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息．解答以下问题：
（ 1 ）设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的关系式；
（ 2 ）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每
种安排方案．
【例2】“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著
和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总
费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
【练习1】嘉年华小区准备新建50个停车位．以解决小区停车难的问题．已知新建1个地
上停车位和1个地下停车位需0.7万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.6万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）若该小区预计投资金额超过15万元而不超过16万元，请提供两种建造方案．
【练习2】某学校计划组织385名师生租车旅游,现知道出租公司有42座和60座客车,42座
客车的租金为每辆320元,60座客车的租金为每辆460元.若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省租金,请选择最节省的租车方案.
【练习3】去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某
乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水
和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
其他问题
【例1】如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小
相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．
（1）设课本的长为a cm，宽为b cm，厚为c cm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；
（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽
为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？
请说明理由．
【作业】
1.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，
那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？
2.某果农用若干辆载重量为10吨的汽车运一批香蕉到批发市场出售，若每辆汽车只装5吨，则剩下15吨香蕉；若每辆汽车装满10吨，则最后一辆汽车不满也不空．请问这批香蕉共
有多少吨
3.某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品
各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价-进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．。