2016年河北省邯郸市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年河北省邯郸市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）若z＝，则z＝（）
A．﹣+i B．+i C．D．
2．（5分）sin15°+cos15°的值为（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2]B．（﹣2，1]C．（0，3）D．（1，3）4．（5分）设函数f（x）＝，则f（﹣2）＝（）A．3B．4C．5D．6
5．（5分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2＝1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）
A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1
C．x2﹣＝1D．﹣＝1
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的s＝（）
A．6B．15C．25D．3
7．（5分）从[0，1]内随机取两个数a，b，则使a≥2b的概率为（）
A．B．C．D．
8．（5分）在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3＝1，则a12+a22+…+a102＝（）
A．1B．10C．32D．100
9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）
A．B．
C．D．
10．（5分）已知函数f（x）＝2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[0，]内单调递增，则ω的最大值是（）
A．B．1C．D．2
11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）
A．B．1C．D．2
12．（5分）已知数列{b n}满足b1＝，2b n+1﹣b n•b n+1＝1，则b1+++…+＝（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）在正六边形ABCDEF中，若＝+λ，则λ＝．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，P A＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为．
16．（5分）设点P在圆x2+（y﹣6）2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A ＝2c cos C．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2，求c的最小值．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD＝∠CDB＝30°，E为棱P A的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）若平面P AB⊥平面ABCD，P A＝PB＝2，求点E到平面PBC的距离．
19．（12分）在一次数学考试中，数学课代表将他们班50名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表（满分为100分）
（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据中的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该班学生数学成绩的中位数和平均值；
（Ⅲ）若按照学生成绩在区间[0，60），[60，80），[80，100）内，分别认定为不及格，及格，优良三个等次，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为5的样本，计算：从该样本中任意抽取2名学生，至少有一名学生成绩属于及格等次的概率．
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y＝﹣1相切于点N．（1）求C的方程；
（2）若圆M与直线x＝﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．21．（12分）设函数f（x）＝（x+a）lnx+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y﹣2＝0．
（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式
（Ⅱ）证明：f（x）＞0．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE＝EB＝BC．
（1）证明：＝；
（2）若DE＝4，AD＝8，求DF的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求|PM|2+|PN|2的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|．
（1）当a＝2时，求f（x）+3≥0的解集；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．
2016年河北省邯郸市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）若z＝，则z＝（）
A．﹣+i B．+i C．D．
【解答】解：∵z＝＝，
∴z•＝|z|2＝＝．
故选：D．
2．（5分）sin15°+cos15°的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：sin15°+cos15°＝（sin15°+cos15°）
＝（sin15°cos45°+cos15°sin45°）
＝sin（15°+45°）＝sin60°
＝×＝．
故选：C．
3．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2]B．（﹣2，1]C．（0，3）D．（1，3）
【解答】解：由集合B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），
∴∁R B＝（﹣∞，2]，
∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}＝（﹣2，3），
∴A∩（∁R B）＝（﹣2，2]
故选：A．
4．（5分）设函数f（x）＝，则f（﹣2）＝（）A．3B．4C．5D．6
【解答】解：函数f（x）＝，则f（﹣2）＝f（2）+1＝22+1＝5．故选：C．
5．（5分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2＝1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）
A．x2﹣y2＝1B．﹣y2＝1
C．x2﹣＝1D．﹣＝1
【解答】解：椭圆+y2＝1的焦点为（±1，0）和顶点（±，0），
设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），
可得a＝1，c＝，b＝＝1，
可得x2﹣y2＝1．
故选：A．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的s＝（）
A．6B．15C．25D．3
【解答】解：模拟执行程序，可得
s＝1，i＝1
s＝1+1，i＝2
不满足条件i＞3，s＝1+1+22，i＝3
不满足条件i＞3，s＝1+1+22+32，i＝4
满足条件i＞3，退出循环，输出s＝1+1+22+32＝15．
故选：B．
7．（5分）从[0，1]内随机取两个数a，b，则使a≥2b的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，满足a≥2b的条件为
作出不等式组对应的平面区域如图：
则对应的区域为△OAD，
则D（1，），
则△OAD的面积S＝，
正方形的面积S＝1，
则使a≥2b的概率P＝＝，
故选：D．
8．（5分）在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3＝1，则a12+a22+…+a102＝（）
A．1B．10C．32D．100
【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q≠1，
由a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，且a1+a2+a3＝1，
得，即：
，解得．
∴数列{}是常数列1，1，1，…，
则a12+a22+…+a102＝10．
故选：B．
9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵f（﹣x）＝，
∴f（x）是偶函数，即f（x）的图象关于y轴对称．排除A，C．
当x＞1时，f（x）＝ln|x|＝lnx＞0，排除D．
故选：B．
10．（5分）已知函数f（x）＝2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[0，]内单调递增，则ω的最大值是（）
A．B．1C．D．2
【解答】解：y＝sin2x在[0，]上单调递增，周期为π．
令kπ≤wx+≤，解得﹣+≤x≤+，
∴当k＝0时，f（x）的单调增区间为[﹣，]．
∵f（x）在[0，]上单调递增，
∴≤，解得ω≤．
故选：A．
11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）
A．B．1C．D．2
【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为P﹣ABC，其中PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形．
∴该四面体的体积＝×2＝．
故选：C．
12．（5分）已知数列{b n}满足b1＝，2b n+1﹣b n•b n+1＝1，则b1+++…+＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵2b n+1﹣b n•b n+1＝1，
∴b n+1＝，
∵b1＝，
∴b2＝，b3＝，
可以猜测b n＝，
利用数学归纳法证明如下，
①当n＝1时，b1＝，等式成立，
②假设n＝k时，等式成立，即b k＝，
那么n＝k+1时，b k+1＝＝＝，
则n＝k+1时，等式成立，
由①②可知，猜想成立，
∴＝＝﹣，
∴b1+++…+＝（1﹣）+（）+…（﹣）＝1﹣＝，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）在正六边形ABCDEF中，若＝+λ，则λ＝﹣．
【解答】解由正六边形的知识可知，
∵＝，
∴＝．
∴
故答案为：．
14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为20．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（4，4），
化目标函数z＝2x+3y为，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为20．
故答案为：20．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，P A＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为12π．
【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，
三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2
所以球的直径是2，半径为，
球的表面积：4π×＝12π．
故答案为：12π．
16．（5分）设点P在圆x2+（y﹣6）2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|
的最小值为．
【解答】解：设点Q（x，y），则x2＝4y，
圆x2+（y﹣6）2＝5的圆心C（0，6），半径r＝，
由圆的对称性可得，当|PQ|的最小时，C，P，Q三点共线，即|PQ|＝|CQ|﹣|CP|．
∴|PQ|＝﹣＝﹣＝﹣≥2﹣＝
．
故答案为．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B+b cos A ＝2c cos C．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2，求c的最小值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos C，…
（2分）
∴sin（A+B）＝2sin C cos C，
∴sin C＝2sin C cos C，…（4分）
∴，故C＝60°；…（6分）
（Ⅱ）由已知，所以ab＝8，…（8分）
由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，
∴c2≥2ab﹣2ab cos C⇒c2≥8，…（10分）
∴（当且仅当a＝b时取等号）．
∴c的最小值为．…（12分）
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，
∠CBD＝∠CDB＝30°，E为棱P A的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）若平面P AB⊥平面ABCD，P A＝PB＝2，求点E到平面PBC的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接EF、DF，
∴EF∥PB，DF⊥AB．
∵∠CBD＝∠FDB＝30°，
∴∠ABC＝90°，即CB⊥AB，
∴DF∥BC，
∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC，
∴平面DEF∥平面PBC，
∵DE⊂平面DEF，
∴DE∥平面PBC．
（Ⅱ）解：∵平面P AB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面P AB，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面P AB⊥平面PBC．
∴在△P AB中，过E作EG⊥PB交BP的延长线于G点，
则EG的长为点E到平面PBC的距离，
设点A到PB的距离为h，
则，即，
∴，即点E到平面PBC的距离为．
19．（12分）在一次数学考试中，数学课代表将他们班50名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表（满分为100分）
（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据中的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该班学生数学成绩的中位数和平均值；
（Ⅲ）若按照学生成绩在区间[0，60），[60，80），[80，100）内，分别认定为不及格，及格，优良三个等次，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为5的样本，计算：从该样本中任意抽取2名学生，至少有一名学生成绩属于及格等次的概率．
【解答】解：（Ⅰ）频率分布直方图如图所示
（Ⅱ）由频率分布直方图可得该班学生数学成绩的中位数为70；
该班学生数学成绩的平均值为
，（Ⅲ）由题可得在抽取的5个样本中属于不及格、及格、优良三个等次的个数分别为1、3、1，对应编号分别为A、B1、B2、B3、C，
从中任意抽取2名学生的情况有AB1、AB2、AB3、AC、B1B2、B1B3、B1C、B2B3、B2C、B3C，共10种，
其中至少有一名学生成绩属于及格等次的情况有9种，
∴至少有一名学生成绩属于及格等次的概率为．
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y＝﹣1相切于点N．（1）求C的方程；
（2）若圆M与直线x＝﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝y1+y2+p＝2p，
又∵以AB为直径的圆M与直线y＝﹣1相切，
∴|FN|＝|AB|＝+1，即|AB|＝p+2，
∴p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）设直线l的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y中，
化简整理得x2﹣4kx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴，
∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），
∵圆M与直线相切于点Q，
∴|MQ|＝|MN|，
∴，解得，
此时直线l的方程为，即x﹣2y+2＝0，
圆心，半径，
∴圆M的方程为．
21．（12分）设函数f（x）＝（x+a）lnx+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y﹣2＝0．
（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式
（Ⅱ）证明：f（x）＞0．
【解答】（Ⅰ）解：∵函数f（x）的导数，
∴f′（1）＝1+a＝﹣1，即a＝﹣2，
又点（1，f（1））在切线x+y﹣2＝0上，
∴1+b﹣2＝0，即b＝1，
∴y＝f（x）的解析式为f（x）＝（x﹣2）lnx+1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
又∵f′（x）在（0，+∞）内单调递增，
且f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln2＞0，
∴存在x0∈（1，2）使得f′（x）＝0．
当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f（x）≥f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+1．
由f′（x0）＝0得，
∴．
令，则，
∴r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）＝5，
∴．
综上，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE＝EB＝BC．
（1）证明：＝；
（2）若DE＝4，AD＝8，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵EB＝BC
∴∠C＝∠BEC
∵∠BED＝∠BAD
∴∠C＝∠BED＝∠BAD…（2分）
∵∠EBA＝∠C+∠BEC＝2∠C，AE＝EB
∴∠EAB＝∠EBA＝2∠C，
又∠C＝∠BAD
∴∠EAD＝∠C
∴∠BAD＝∠EAD…（4分）
∴．…（5分）
（2）解：由（1）知∠EAD＝∠C＝∠FED，又∠EDA＝∠EDA
∴△EAD∽△FED…（8分）
∴
又∵DE＝4，AD＝8，
∴DF＝2．…（10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求|PM|2+|PN|2的值．
【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2cosθ得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，
∵，∴y2＝2x；
根据（t为参数），消去t得，x﹣y﹣3＝0，
故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2x，x﹣y﹣3＝0．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2＝2x中，
整理得．
设t1，t2是该方程的两根，则，
由参数的几何意义，可知．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|．
（1）当a＝2时，求f（x）+3≥0的解集；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，
①或②或③，
解①得；解②得；解③得x＝2，综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；
（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，
即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|＝2x+2，
故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，
即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，
∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，
∴a∈[﹣3，5]．。