《微积分总复习》PPT课件

20 求f (x)在分界点的极限值或判断它不存在;
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极限 lim x x0
f
( x)存在时,比较极限值与函数值f
(x0 ).
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间断点分类总结
第一类间断点：x0 是 f x 的间断点,且在点x0 处f x 的
左 、 右 极 限 都 存 在.
第二类间断点：不是第一类的其它间断点.
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dy f (x)dx.
复合函数的微分法则、微分形式不变性. 求微分方法：
(1)利用微分的定义 dy f '(x)dx,先求f (x),再乘以dx.
(2)利用微分形式的不变性
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隐函数的微分
例 y tan(x y) 求dy.
解法I 第一步，两边求微分， dy sec2 (x y)(dx dy) 第二步，解出dy，
x0 x
反 三 角 函 数 的0 型 极 限 0
定理 设x x 时，, , , 为无穷小量，
0
1
1
1, 1,
若极限
lim
1
存在，则有
lim
lim
1
.
xx0 1
xx0
xx0 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
可以求 1 型极限
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连续
连续的实质是
lim
xx0
则
b
a f (x)dx F(b) F(a).
b f (x)dx
a
f
(x)dx
b a
F(x)
b a
F(b)
F(a).
1、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本公式与积分的性质来计算积分的方法
2、 凑微分法（第一类换元法）
设f (u)和(x)均为连续函数，其中u (x), F(u)为f (u)的
3、 换元积分法(变量代换法)
设f (x), x (t)及（t)均连续，x (t)的反函数 t 1(x)存在且可导， F(t)为函数f[ (t)]'(t)的一个原函数，则
f (x)dx F[1(x)] c (4 5)
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构 层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。 3.要考虑成型工艺，合 理计算累积公差，以防
讨论函数单调性、极值、凸性、拐点以及渐近线的步骤：
(1) 确定函数的定义域; (I) 首先讨论单调性、极值
（a）求f (x)，找出驻点及 f (x)不存在的点； (b) 以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间, 列表讨论在这些部分区 间上f (x)的符号 (c) 据表写出单调性、极值结论.
(II) 其次讨论凸性、拐点 （a）求f ''(x)，找出f ''(x) 0的点及f ''(x)不存在的点； (b) 以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间, 列表讨论在这些部分区 间上f ''(x)的符号 (c) 据表写出凸性、拐点结论.
dy sec2 (x y) dx csc2 (x y)dx
1 sec2 (x y)
dy y' dx csc2 (x y)dx. 解法II 先用隐函数求导法，求出 y' csc2 (x y).
再用微分公式，求出
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dy y'dx.
csc2 (x y)dx.
一个原函数，则 f [(x)](x)dx F[(x)] c
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凑微分法的步骤
g(x)dx f [(x)](x)dx f [(x)]d(x)
u (x) f (u)du F(u) C F[(x)] C
(1) 对形如 sinm x cosn xdx，其中m, n为正整数或其中一个为零；
B, 且在 x0点某空心邻域内，
恒有f (x) g(x)(或f (x) g(x)), 则A B(或A B).
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结论1、 多项式或分母极限不为 0 的有理分式，在 x x0 时的极限值就是在点 x0 的函数值
结论2、
分子极限不为 0
分母极限为 0 的有理分式
分子极限为 0 约去零因子
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定理
极限lim f (x) A 函数f (x)可以表示为A与 xx0 一个无穷小量的和，即
lim f (x) A f (x) A ,其中 0 （x x）.
xx0
0
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1. 极限的基本性质
性质1 （唯一性） 若极限lim f (x)存在,则其极限唯一. xx0
性质2 （局部有界性） 性质3 （局部保号性)
x
f (t)dt f (x), x [a,b].
dx a
d
(x)
u d
f (t)dt
u f (t)dt du f (u) '(x) f ((x))'(x)
dx a
du a
dx
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定理4.2.3 牛顿-莱布尼兹公式
若函数f (x)在a,b上连续,且F(x)是f (x)的一个原函数,
（1）两个无穷小量的代数和仍为无穷小量; （2）两个无穷小量的积仍为无穷小量； （3）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量.
无穷大量的性质 （1） 两个无穷大量的积仍为无穷大量； （2）无穷大量与有界变量的和、差仍为无穷大量.
无穷大量与无穷小量的性质不同处
(1) 两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量. （2）无穷大量乘有界变量不一定是无穷大量.
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无穷小 量比较
设 lim f (x) 0, lim g(x) 0, 且g(x) 0.
xx0
xx0
(1) 若 lim f (x) 0, xx0 g (x)
则称f (x)是比g(x)高阶的无穷小量，
或称
g(x)是比f (x)低阶的无穷小量 .记作
f (x) (g(x)) (x x ). 0
间断点
第一类间断点
第二类间断点
f x0 0, f x0 0都存在
可去间断点 跳跃间断点
f x0 0, f x0 0至少一个不存在
无穷间断点 震荡间断点
f x0 0 f x0 0
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f x0 0 f x0 0
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f x0 0, f x0 0
至 少 一 个 为
lim f x不存在
互为反函数的两个函数，它们的导数互为倒数。
dy dy du 或 yx f ux.
dx du dx
隐函数的求导
(1) 把y看作中间变量，对方程 F(x, y(x)) 0两边同时关
(2) 从求导后的等式中解出dy ,即得隐函数的导数。 dx
取队数求导法
y f (x) g(x)
分段函数求导法
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总复习
主要内容有：
一、极 限 二、连 续 三、导 数 四、积 分
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极限
lim f x A 或
x x0
f x A x x0
恒有
0, 0,当0 | x x0 | 时, f ( x) A ,则 lim f ( x) A
“
— ”定义
x x0
lim f x A或 f x A当x .
若分段函数在分段点处左右两侧表达式不同，求分段函数在
分段点处的极限时，要利用定理：
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
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lim sin x 1. x x 0
利用
sin x lim
1. 可 以 求 含 有 三 角 函 数 和
x
0, M 0,当 | x | M时,
“ — M”定义
恒有 f (x) A ,则lim f (x) A
x
lim
n
xn
a
" N"定义：
0, N
0,当n
N时, 恒有 xn
a
,则lim n
xn
a
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lim f x A f x0 0 f x0 0 A
无穷小量的性质
f x
f x0
f x在x0连续，必须同时满足下 面三种情形：
1 函数 f x在 x0 处有定义,
2极限 lim f x 存在, xx0
3 lim xx0
f
x
f
x0 .
lim
xx0
f x
f
x0
f
x0
0
f
x0
0
f x0
对于分段函数在分界点的连续性,一般按以下三步考察:
10 求f (x)在分界点的函数值;
(III) 最后讨论渐近线
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(a)由lim f (x) a, y a为水平渐近线 .， x
(b)由lim f (x) , x a为垂直渐近线 .，
xa
(c)由a lim f (x) 0,b lim[ f (x) ax], 从而可得斜渐近线 y ax b.
x x
x
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定积分的定义
b
n
a
f (x)dx I
lim x0 i1
f (i )xi
定理4.2.1 (微积分学基本定理)
若函数f (x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数
(x) x f (t)dt在[a,b]上可导,且 a
d
x
f (t)dt f (x)
dx a
(x) d
x0
xx0
f
x0
x
x0
f
x0
结论: 如果函数 y=f (x) 在点 x 可导, 则函数在该点必连续.
反之, 结论不成立.
1 u v u v, 2 Cu Cu C是常数，
3 uv uv uv,
4
u
v
uv uv v2 ,
v 0.
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1
v
v v2
,
v 0.
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(2) 若lim f (x) c 0 (c为常量）， 则称f (x)与g(x)是同阶 xx0 g ( x)
无穷小量，记作 f (x) O(g(x)) (x x0 ).
特别地，当 c 1时，称f (x)与g(x)是等价无穷小量， 记作
f (x) ~ g(x) (x x0 ).
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二、拉格朗日中值定理的应用 1、推出两个推论推 推论 论12应用 证明恒等式 2、 证明不等式.
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洛必达法则
3.2.1、0 型未定式
0
3.2.2、 型未定式
3.2.3、其它未定式 0 、 、00、1、 0 ,
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1.什么是传统机械按键设计？
一点 a,b,使得f ( ) C.
推论 设f x在闭区间[a,b]上连续,且f a与f b异号,
零点存 即f a f b 0, 则f x在a,b内至少有一个零点
在定理 即至少存在一点 a,b,使得f 0.
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导数
f
'(x0 )
lim y
x0 x
lim xx0
f
x
x
f x0 lim
0型 0
结论3、
0,当m n
lim
x
a0 xn b0 xm
a1 x n 1 b1 x m 1
an 1 x bm 1 x
an bm
a0 b0
,当m n
,
,当m n
(a0 , b0 0)
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计算无限项数列和的极限，要先求和，再求极限。 （夹逼定理或迫敛性）
无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量。
若极限 lim f (x)存在,则函数f (x) xx0
在点x0的某空心邻域内有界.
若 lim x x0
f x
A，且A
0 或A
0，则存在点x0 的某
一去心邻域，当x 在这一邻域内时，就有
f x 0或 f x 0.
性质4（不等式性质）
若 lim x x0
f
(x)
A, lim x x0
g(x)
x x0
且
1.3.6 闭区间上连续函数的性质
定理 1.3.4 (有界性定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
定理 1.3.5 最大值和最小值定理
闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.
定理 1.3.6 (介值定理)
设f (x)在闭区间[a,b]上连续，且f (a) A, f (b) B, A B,则对于A与B之间的任意一个数C,至少存在
中值定理
一、罗尔定理（Rolle):
二、拉格朗日中值定理(Lagrange):
三、柯西中值定理(Cauchy)
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应用
（1）由f (x)的条件判断导数方程f (x) 0的根的存 在性及范围．
注意与零点定理应用的区别 用零点定理判断方程 f (x) 0的根的存在性及范围．
(2) 推导拉格朗日中值定理 及柯西定理．
当m或n至少有一个为奇数时，将奇数次的因子分出来 与dx凑成d sin x或d ( cosx);
当m, n都是偶数时，可利用半角、倍角公式将 被积函数指数降幂，再积分。
(2)对形如 sin mxcosnxdx, sin mxsin nxdx, cosmxcosnxdx
可用20积21/4化 /26 和差公式变形，再用26 凑微分法计算.