瓦房店市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

瓦房店市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．设i是虚数单位，则复数
2
1
i
i
在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不
等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）
A．B．C．πD．2π
3．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m，n为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a和b，则一定有（）
A．a＞b B．a＜b
C．a=b D．a，b的大小与m，n的值有关
4．若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（）
A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣10
5．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（）
A．B．C．D．
6．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（）
A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4}
7．复数z=在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的（）条件．
A．必要不充分B．充要C．充分不必要D．不充分不必要
9．已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）
A．0个B．1个C．2个D．4个
10．sin（﹣510°）=（）
A．B．C．﹣D．﹣
11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（）
A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1
12．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()2
1ln 2
f x x x =-的单调递减区间为__________.
14．曲线
在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．
15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ． 16．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为__________． 18．已知关于的不等式2
0x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式2
10bx ax ++>的解集 为___________.
三、解答题
19．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
20．已知函数f （x ）=aln （x+1）+x 2﹣x ，其中a 为非零实数． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）
21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D. （1）求证：CD＝DA；
（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．
22．根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点A（1，1），B（﹣1，3）且面积最小；
（2）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上且与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）．
23．设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
24．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
瓦房店市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限
故答案为：B
【答案】B
2．【答案】B
【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．
则f（x）=x3﹣x2+ax，
函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，
因为原点处的切线斜率是﹣3，
即f′（0）=﹣3，
所以f′（0）=a=﹣3，
故a=﹣3，b=2，
所以不等式组为
则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，
如图阴影部分表示，
所以圆内的阴影部分扇形即为所求．
∵k OB=﹣，k OA=，
∴tan∠BOA==1，
∴∠BOA=，
∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，
∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，
【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b．
故选：C．
4．【答案】D
【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，
当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10
当x≥0，时x=10，解得：x=10
故选：D．
5．【答案】A
【解析】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=
当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x
当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1
∴y=f（2﹣x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确
故选A．
6．【答案】B
【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
7．【答案】A
【解析】解：∵z===+i，
∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．
故选A．
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．
8．【答案】C
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程+=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．
故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
9．【答案】C
【解析】解：若不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，
则根据题意需分两种情况：
①当a2﹣4=0时，即a=±2，
若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，
若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意；
②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，
∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，
∴，解得，
综上得，实数a的取值范围是．
则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，
反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，
故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．
10．【答案】C
【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣，
故选：C．
11．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．
∴两个圆锥的体积比为：=1：3．
故选：D．
12．【答案】D
【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E与C重合时，AK==，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=，∴∠K0D'=，
其所对的弧长为=，
故选：D．
二、填空题
0,1
13．【答案】()
【解析】
14．【答案】（，0）．
【解析】解：y′=﹣，
∴斜率k=y′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y﹣3=﹣2（x﹣3），
整理得：y=﹣2x+9，
令y=0，解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2
=4x ，可得它的焦点为F （1，0）， ∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），
由
，消去x 得
．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，
∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22
=﹣4， 消去y
2得k 2
=3，解之得k=±
．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
16．【答案】 75
【解析】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，
根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，有C 31C 63
=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C 64
=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
17．【答案】0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
18．【答案】),1()2
1,(+∞-∞ 【
解
析
】
考
点：一元二次不等式的解法.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为
．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90，100）之间的2个分数编号为b 1，b 2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是
．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）．
当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）=0得，，
f（x）在上单调递减，在上单调递增．
证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，
所以α+β=0，αβ=a﹣1．
．
由0＜a＜1得，0＜β＜1．
构造函数．
，
设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），
则，
因为0＜x＜1，
所以，h'（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以，
故．
21．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
AC，DE均为⊙O的切线，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∠DAE＝∠DEA＝∠B，
∴DA＝DE.
∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，∴DC＝DE，
∴CD＝DA.
（2）∵CA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠CAB＝90°，
由勾股定理得CA2＝CB2－AB2，
又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝2，∴1·CB＝CB2－2，
即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2，
∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝ 2.
由（1）知DE＝1
2CA＝
2 2，
所以DE的长为2
2.
22．【答案】
【解析】解：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，
∴圆心坐标为（0，2），半径r=|AB|==×=，∴所求圆的方程为x2+（y﹣2）2=2；
（2）由圆与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）可知，圆心在直线y=﹣3上，
由，解得，
∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r=，
∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1
x
时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，…
∴，…
∴﹣1≤a≤4．…
24．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，
a3===，
a4===．
（2）猜测a n=（n∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边==a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即a k=．
则当n=k+1时，a k+1==
==
．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．。