利用一元二次方程解决几何问题教学设计

2.6 应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程．
2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤．(重点)
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(重点)
阅读教材P52～53，完成下列问题：
(一)知识探究
1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；
(2)“设”：设元，也就是设________；
(3)“________”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；
(4)“解”：求出所列方程的________；
(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题________；
(6)“答”：就是写出答案．
2．解决与几何图形有关的一元二次方程的应用题时，关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找它们之间的关系，从而列出有关的一元二次方程，使问题得以解决．
(二)自学反馈
要为一幅长29 cm ，宽22 cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？
利用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系，此题是利用矩形的面积公式作为相等关系列方程．
活动1 小组讨论
例 如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC 的中点．一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)
解：连接DF.
∵AD ＝CD ，BF ＝CF ，
∴DF 是△ABC 的中位线．
∴DF ∥AB ，且DF ＝12
AB. ∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝200海里，
∴DF ⊥BC ，DF ＝100海里，BF ＝100海里．
设相遇时补给船航行x 海里，那么
DE ＝x 海里，AB ＋BE ＝2x 海里，EF ＝AB ＋BF －(AB ＋BE)＝(300－2x)海里．
在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得x 2＝1002＋(300－2x)2，
整理，得3x 2－1 200x ＋100 000＝0.
解这个方程，得
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．
解本题的关键是找到等量关系，利用勾股定理列方程求解．
活动2 跟踪训练
1．从正方形铁片上截去2 cm 宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48 cm 2，则原来的正方形铁片的面积是( )
A ．8 cm
B ．64 cm
C ．8 cm 2
D ．64 cm 2
2．将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m
2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A ．7 m
B ．8 m
C ．9 m
D ．10 m
3．用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？如果能，说明围法．
4．如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB
平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144 m 2，求马路的宽．
这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．
活动3 课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．
【预习导学】
(一)知识探究
1．(2)未知数 (3)列 (4)解 (5)有意义
(二)自学反馈
设镜框边的宽度为x cm ，则有(29＋2x)(22＋2x)＝(14
＋1)×(29×22)，即4x 2＋102x －159.5＝0，解得x 1＝1.48，x 2＝－26.98(舍去)．答：镜框边的宽度应是1.48 cm.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.A 3.(1)设此长方形的宽为x cm ，则长为(20－x)cm.根据题意，得x(20－x)＝75，解得x 1＝5，x 2＝15(舍
去)．答：此长方形的宽是5 cm.(2)不能．理由：由题意，得x(20－x)＝101，即x 2－20x ＋101＝0.∵Δ＝202－4
×101＝－4＜0，∴此方程无实数解，故不能围成一个面积为101 cm 2的长方形．
4．假设三条马路修在如图所示位置．
设马路宽为x ，则有(40－2x)(26－x)＝144×6，化简，得x 2
－46x ＋88＝0，解得x 1＝2，x 2＝44.由题意，知40－2x ＞0，26－x ＞0，则x ＜20.故x 2＝44不合题意，应舍去，∴x ＝2.答：马路的宽为2 m ．。