苏教版高考一轮数学理一元二次不等式及其解法一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

一元二次不等式及其解法
分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2
－bx －a ＜0的解集是________．
解析 由题意知－12，－13是方程ax 2
－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a
.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2
－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 (2,3)
2．已知不等式x 2
＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2
＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2
－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)
3．(2012·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．
解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2
＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 (－2,1)
4．(2012·南京师大附中调研)已知实数x ，y 满足1≤x 3y ≤4，2≤x 2
y
2≤3，则xy 的取值范围是
________．
解析 xy ＝x 3y ·y 2
x
2，
∵1≤x 3y ≤4，13≤y 2
x 2≤12，∴1
3
≤xy ≤2.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，2 5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，x ≤0，
x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________．
解析 由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≤0，x 2
＞x
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＞0，
x ＋1＞x ，
解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0. 答案 {x |x ≠0}
6．(2013·苏中六校联考)已知函数f (x )＝x 2－|x |，若f (－m 2
－1)<f (2)，则实数m 的取值范围是________．
解析 因为f (－x )＝(－x )2
－|－x |＝x 2
－|x |＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数．所以f (－m 2
－1)＝f (m 2
＋1)， 因为m 2
＋1≥1,2>1且f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以m 2＋1<2，解得－1<m <1. 答案 (－1,1)
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．已知不等式ax 2
＋4x ＋a ＞1－2x 2
对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
解 原不等式等价于(a ＋2)x 2
＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，
从而有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2＞0，Δ＝42
－4a ＋2a －1＜0，
整理得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＞－2，a －2a ＋3＞0，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＞－2，
a ＜－3，或a ＞2，
所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．
8．(2012·宿迁联考)已知集合A ＝{x |x 2
－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x －a
x －a 2＋1
＜0，x ∈R
. (1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围； (2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．
解 (1)若4∈B ，则4－a
3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜4.
∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)． (2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2
＋1}． ①当a ＜1
3
时，A ＝(3a ＋1,2)，
要使B ⊆A ，必须⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≥3a ＋1，
a 2
＋1≤2，此时－1≤a ≤－1
2
.
②当a ＝1
3时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在．
③当a ＞1
3
时，A ＝(2,3a ＋1)，
要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥2，
a 2
＋1≤3a ＋1，
此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.
分层训练B 级 创新能力提升
1．(2012·南京外国语学校检测)若不等式ax 2
＋ax ＋ (a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值范围为________．
解析 不等式ax 2
＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]． 答案 (－∞，0]
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋1，x ＜0，
x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．
解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2
≥－1，所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2
＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1. 答案 (－∞，2－1]
3．设函数f (x )＝x －1
x
，对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范
围是________．
解析 由题意，得f (mx )＋mf (x )<0可化为 2mx 2
<m ＋1m
，
①
①当m >0时，不等式可化为x 2<1
2＋12m
2，
∴∀x ∈[1，＋∞)，上述不等式不成立，这样的m 不存在； ②当m <0时，不等式①可化为x 2>1
2＋12m 2.
∵∀x ∈[1，＋∞)，x 2
有最小值1.
∴12＋1
2m
2<1，解得m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． ∴m <－1，即m 的取值范围为(－∞，－1)． 答案 (－∞，－1)
4．(2012·济南模拟)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，对任意n ∈N *
在x ∈(－∞，λ]上恒
成立，则实数λ的取值范围是________．
解析 由已知得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n 对任意n ∈N *
在x ∈(－∞，λ]上恒成立．
∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12
，n ∈N *
； ∴x 2
＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]上恒成立．
解不等式x 2
＋12x ≥12，得x ≤－1或x ≥12，
∴当λ≤－1时，x 2
＋12x ≥12在(－∞，λ]恒成立．
答案 (－∞，－1]
5．已知f (x )＝－3x 2
＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；
(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0， 即a 2
－6a ＋3－b ＜0.
Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .
①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅. ②当Δ＞0时，即b ＞－6时，
方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ， 所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． 综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅；
b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．
(2)由f (x )＞0，得－3x 2
＋a (6－a )x ＋b ＞0， 即3x 2
－a (6－a )x －b ＜0. 因为它的解集为(－1,3)，
所以－1与3是方程3x 2
－a (6－a )x －b ＝0的两根，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝a 6－a
3，
－1×3＝－b
3
，解得⎩⎨
⎧
a ＝3－3，
b ＝9
或⎩⎨
⎧
a ＝3＋3，
b ＝9.
6．(2012·泰州模拟)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．
解 (1)x ∈R 时，有x 2
＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2
－4(3－a )≤0，即a 2
＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．
(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2
＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：
①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2
－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点， 在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，
x ＝－a
2
<－2，
g －2≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－43－a ≥0，
－a
2<－2，
4－2a ＋3－a ≥0
⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73.
此不等式组无解．
③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点， 在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0，
x ＝－a
2
>2，
g 2≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－43－a ≥0，
－a
2>2，
4＋2a ＋3－a ≥0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7
⇔－7≤a ≤－6.
综合①②③得a ∈[－7,2].。