27 第六章 第3讲 机械能守恒定律

小球在 D 点做斜上抛运动，小球在 D 点速度的大小 vD＝ 2.5 m/s，
则 小 球 上 升 到 最 高 点 与 水 平 面 间 的 距 离 H ＝ R(1 ＋ sin 30°) ＋
（vD cos 30°）2 ＝27
2g
32
m，D 错误。]
【针对训练】 1．【单个物体单一过程的机械能守恒】 固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆 环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正 比于 A．它滑过的弧长 B．它下降的高度
√C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C [如图所示，设圆环下降的高度为 h，圆环的半
径为 R，它到 P 点的距离为 L，根据机械能守恒定
律得 mgh＝12 mv2，由几何关系可得 h＝L sin θ，
sin θ＝2LR ，联立可得 h＝2LR2 ，可得 v＝L
g R
，
C 正确，ABD 错误。]
√B．在整个下降过程中，速降者的重力势能一直减小
C．在整个下降过程中，绳对速降者先做正功后做负功 D．在整个下降过程中速降者的机械能守恒
B [对速降者受力分析可知，受绳的拉力和重力，当加速下降时，加 速度向下，则速降者处于失重状态，A错误；在整个下降过程中，重 力做正功，则速降者的重力势能一直减小，B正确；对速降者而言无 论是加速下降还是减速下降，位移都向下而拉力都向上，故绳的拉力 始终做负功，即除重力以外的其它力做负功，则速降者的机械能一直 减小，CD错误。]
第六章 机械能
第3讲 机械能守恒定律
内容 索引
➢考点一 机械能的理解及守恒判断 ➢考点二 单个物体的机械能守恒 ➢考点三 多个物体系统的机械能守恒 ➢聚焦学科素养 拓展视野提能力——非质点类物体的机械能守恒问题 ➢课时精练(二十七) 机械能守恒定律
01
考点一 机械能的理解及守恒判断
(基础自研类)
√A．到达C点时的动能为mgH
B．到达 C 点时对轨道的压力大小为2mRgH
√C．到起跳台 D 点的速度大小为 2g（H－h）
D．从C点到D点重力势能增加了mg(H－h)
AC [由 A 到 C 机械能守恒，则到达 C 点时的动能为 Ek＝mgH，A 正 确；根据12 mvC2＝mgH，FNC－mg＝mvRC2 ，解得 FNC＝mg＋2mRgH ，
4．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， 动能 与 势能 可以互 相转化，而总的机械能 保持不变 。
(2)表达式：mgh1＋12 mv12＝mgh2＋12 mv22。
【针对训练】 1．【单个物体的机械能守恒的判断】 (2022·河北唐山市模拟)悬崖速降是选择崖面平坦、高度 适合的崖壁，用专业的登山绳作保护，由崖壁主体沿绳 下滑，从崖顶下降到崖底的一种运动。如图所示，某次 速降可视为竖直方向的直线运动，速降者先从静止开始 匀加速运动(加速度小于重力加速度)，之后做匀减速运 动，到达地面时速度恰好减为零。则下列说法正确的是 A.在加速下降阶段，速降者处于超重状态
题后总结 1．理解机械能守恒条件的三个角度
2．判断机械能守恒的三种方法
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02
考点二 单个物体的机械能守恒
(重难共研类)
【重难诠释】 解答单个物体机械能守恒问题的基本思路
【典例精析】 例 1 如图甲所示，光滑水平面与光滑竖直半圆轨道平滑衔接，其中圆 弧DE部分可以拆卸，弧CD(C点与圆心等高)部分对应的圆心角为30°， 在D点安装有压力传感器并与计算机相连，在A点固定弹簧枪，可以发 射质量相同、速率不同的小球，通过计算机得到传感器读数与发射速 率的平方的关系图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法 正确的
2．【含有弹性绳(或弹簧)系统机械能守恒的判断】 (多选)(2022·广东华南师大附中模拟)简易儿童蹦极装置如图所示。活动 开始前，先给小朋友绑上安全带，然后将弹性绳拉长后固定在小朋友 身上，并通过其它力作用使小朋友停留在蹦床上。当撤去其它力后， 小朋友被“发射”出去冲向高空，小朋友到达最高点，然后下落到B点时， 弹性绳恰好为原长，然后继续下落至最低点A。若小朋友可视为质点， 并始终沿竖直方向运动，忽略弹性绳质量与空气阻力，则小朋友
由牛顿第三定律得，到达 C 点时对轨道的压力大小为 FNC′＝mg＋
2mgH R
，B 错误；从
A
到
D
由机械能守恒定律
mg(H－h)＝12
mvD2，
解得到起跳台 D 点的速度大小为 vD＝ 2g（H－h） ，C 正确；从 C
点到 D 点重力势能增加了 mgh，D 错误。]
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03
考点三 多个物体系统的机械能守恒
又 h＝ 2 R sin 30°
联立以上三式解得
v1＝
2m1－ 2×
2m2 gR
，
2m1＋m2
v2＝
2m1－
2m2 gR
，
2m1＋m2
设细绳断开后 m2 沿斜面上升的距离为 s′，对 m2，由机械能守恒定律得 m2gs′sin 30°＝12 m2v22
小球 m2 沿斜面上升的最大距离 s＝ 2 R＋s′
联立以上两式并代入 v2 解得
s＝
2＋2m2m1－1＋m2m2 2
2（ R＝2＋1）m12m1＋m2R。
(2)对 m1，由机械能守恒定律得
1 2
A．在C点时的加速度大小为0 B．在A点时处于平衡状态
√C．在B点时处于失重状态
√D．在下落过程中机械能不守恒
CD [小朋友在C点时只受重力作用，加速度大小为g，A错误；小朋 友减速运动到最低点A点，弹性绳的拉力大于重力，处于非平衡状态， B错误；在B点时弹性绳恰好为原长，小朋友只受重力作用向下运动， 加速度大小为g，处于失重状态，C正确；小朋友在下落过程中，机 械能转化为弹性绳的弹性势能，机械能不守恒，D正确。]
3．【物体系统的机械能守恒的判断】 (多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于 光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与 槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止 开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是 A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s； (2)若已知细绳断开后小球 m1 沿碗的内侧上升的最大高度为R2 ，求mm12 。 (结果保留两位有效数字)
【题眼点拨】 (1)看到“m2在斜面上且距离斜面顶端足够远”，想到“m2始终在斜面上 运动”。 (2)看到“当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时”，想到“此时m1 在B点的速度沿着细绳方向的分速度大小等于m2 的速度大小”。 (3)看到“m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开”， 想到“细绳断开前m1、m2组成的系统机械能守恒，断开后m1、m2的机 械能分别守恒”。
A.小球质量为0.2 kg
√B．圆弧轨道半径为0.5 m
C．当传感器读数为3.5 N时，小球在E点对轨道的压力大小为3 N
D．若拆卸掉圆弧 DE 部分，小球发射速率的平方 v02＝17.5 m2/s2 时，
小球上升到最高点时与水平面间的距离为78 m
【审题指导】(1)小球运动到D点时的向心力由重力沿着半径方向的分 力与轨道的弹力的合力提供。 (2)小球运动到E点时的向心力由重力与轨道的弹力的合力提供。 (3)明确F -v02图线的斜率、截距的物理意义。
(多维细研类)
【重难诠释】 机械能守恒定律的三种表达式的理解
守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
系统动能的增加量( 若系统由A、B两个物
物理意义 系统初状态的机械能与 或 减 少 量 ) 等 于 系 统 体组成，则A物体机械 末状态的机械能相等 重 力 势 能 的 减 少 量 ( 能的增加量与B物体机
√B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒 √C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽
组成的系统机械能守恒 D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
BC [当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小 球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对 小球做负功，小球的机械能不守恒，AD错误；小球从A点向半圆形槽 的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机 械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中， 小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。]
由图像可知，当传感器读数为 3.5 N 时，v02＝35 m2/s2，设最高点速度
为 v，则由机械能守恒定律有12 mv02＝2mgR＋12 mv2，对 E 点压力 FN，
有 FN＋mg＝mvR2 ，联立各式解得 FN＝2 N，由牛顿第三定律知，C 错
误；若圆弧 DE 部分拆卸掉，小球发射速率的平方 v02＝17.5 m2/s2 时，
2．【单个物体多过程的机械能守恒】 (多选)2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，图甲为在张家 口的国家跳台滑雪中心“雪如意”， 图乙为跳台滑雪的示意图。质量 为m的运动员从长直倾斜的助滑道AB的A处由静止滑下，为了改变运 动员的速度方向，在助滑道AB与起跳台D之间用一段弯曲滑道相切衔 接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧，圆弧轨道半径为R。 A与C的竖直高度差为H，弯曲滑道末端即起跳台D与滑道最低点C的 高度差为h，重力加速度为g。不计空气阻力及摩擦，则运动员
B [设小球在 D 点速度大小为 vD，由牛顿第二定律有 F＋mg sin 30° ＝mvRD2 ，由机械能守恒定律有12 mv02＝mgR(1＋sin 30°)＋12 mvD2，整 理得 F＝mR v02－72 mg，是一次函数，则72 mg＝3.5 N，mR ＝137.5.5 kg/m， 解得 m＝0.1 kg，R＝0.5 m，A 错误，B 正确；
【知识梳理】 1．重力做功
(1)公式：WG＝mgh (2)特点：重力做功与路径 无关，只与始末位置的高度差 有关。
2．重力势能 (1)表达式：Ep＝ mgh 。 (2)重力势能的特点 重力势能是物体和 地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取 _有__关__，但重力势能的变化与参考平面的选取 无关 。
(3)重力做功与重力势能变化的关系 ①表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 ②重力对物体做正功，重力势能减小 ；重力对物体做负功，重力势能 _增__大_。
3．弹性势能 (1)定义：发生 弹性形变 的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有
的势能。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系： ①表达式：W＝－ΔEp 。 ②意义：弹力做正功，弹性势能减小 ；弹力做负功，弹性势能增加 。
或增加量)
械能的减少量相等
(1)必须选择参考平面； (1)不用选择参考平面；分清哪个物体的机械能
应用关键 (2)初、末状态必须选用 (2)分清重力势能的增 增加、哪个物体的机械
同一参考平面。
加量和减少量。
能减少。
【典例精析】 考向1 轻绳连接的物体系统
常见 图例
(1)明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。 三点 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 提醒 (3)对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒，但对于绳连接的
系统，机械能则可能守恒。
例2 如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上， 碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定的 光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。一根不可伸长的不计质量的细 绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑的定滑轮两端上，绳的两端分别系 有可视为质点的小球m1和m2，且m1>m2。开始时m1恰在碗口水平直径 右端的A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细 绳与斜面平行且恰好伸直。当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点 时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。
答案： 解析：
2（ 2＋1）m1
(1)
R (2)1.9
2m1＋m2
(1)设重力加速度为 g，小球 m1 到达最低点 B 时，m1、m2 速
度大小分别为 v1、v2
由运动的合成与分解得 v1＝ 2 v2
对 m1、m2 组成的系统由机械能守恒定律得 m1gR－m2gh＝12 m1v12＋12 m2v22