导数和其应用优质课件

线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标是__(_e，__e_)__．
(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线 y＝log2x 在点(1,0)处 1
的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__2_l_o_g_2e__． [思绪点拨] (1)先求函数旳导数,再利用导数旳几何意义 拟定切点旳坐标． (2)先求函数旳导数,写出切线方程,最终求三角形旳面积.
[即时练]
3．设直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实
数 b 的值为( A )
A．ln 2－1
B．ln 2－2
C．2ln 2－1
D．2ln 2－2
解析：由已知条件可得切线的斜率 k＝12，y′＝(ln x)′＝1x＝
12，得切点的横坐标为 2，则切点坐标为(2，ln 2)．由点(2，
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0， ∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在 (0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当 x＝－3 或 x＝2 时，f(x)取得极小值；当 x＝0 时，f(x) 取得极大值， ∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2， f(x)极大值＝f(0)＝2. (2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2) ＝xex[x2＋(m＋3)x＋2m－2]． ∵f(x)在[－2，－1]上单调递增，
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[措施归纳] 利用导数几何意义解题旳转化关系及 求参 思 路 (1)转化关系：利用导数旳几何意义解题主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间旳关系来转化． (2)求参思绪：以平行、垂直直线斜率间旳关系为载体求参数 旳值，则根据平行、垂直与斜率之间旳关系，进而和导 数 联 络起来求解．
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
由 f′(x)＝0 得 x＝－1a0或 x＝－a2.
当 x∈0，－1a0时，f(x)单调递增； 当 x∈－1a0，－2a时，f(x)单调递减； 当 x∈－2a，＋∞时，f(x)单调递增， 易知 f(x)＝(2x＋a)2 x≥0，且 f－2a＝0.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
1．(2014·河北保定高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原
点，则此切线的斜率为( C )
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝1x，设切点为
(x0，ln x0)，则 y′|x＝x0＝x10，切线方程为 y－ln x0＝x10 (x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e， 故此切线的斜率为1e.
－π1＋π2·(－1)＝－π3.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( D ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 解析：∵f(x)＝2x＋ln x，∴f′(x)＝－x22＋1x(x>0)，由 f′(x) ＝0 得 x＝2.当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈ (2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2 为 f(x)的极 小值点．
ln 2)在直线 y＝12x＋b 上可得 b＝ln 2－12×2＝ln 2－1.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
4．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，若 m，
n∈[－1,1]，则 f(m)＋f′(n)的最小值为( A )
A．－13
B．－15
C．10
综上有 a＝－10.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2．本例条件不变,若 f(x)在区间[1,4]上单调递减,试求 a 的范围. 解：由本例(2)知 f′(x)＝20x2＋12ax＋a2，
2x 若 f(x)在[1,4]上单调递减，则 f′(x)≤0， 即 20x2＋12ax＋a2≤0， ∴2302＋0＋124a8＋ a＋a2a≤2≤00 ，解得－10≤a≤－8. ∴a 的范围为[－10，－8]．
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[解析] (1)令 f(x)＝xln x，则 f′(x)＝ln x＋1，设 P(x0，y0)， 则 f′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴x0＝e，此时 y0＝x0ln x0＝eln e ＝e，∴点 P 的坐标为(e，e)． (2)依题意得，y′＝xln1 2，曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线 的斜率为ln12，该切线方程是 y＝ln12(x－1)，该切线与两坐 标轴的交点坐标分别是(1,0)、(0，－ln12)，因此所求的三角 形的面积等于12×1×ln12＝12log2e.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[即时练]
1．(2014·嘉兴二模)已知函数 f(x)＝1xcos x，则 f(π)＋f′(π2)
＝( C )
A．－π32
B．－π12
C．－π3
D．－π1
解析：∵f′(x)＝－x12cos x＋1x(－sin x)，∴f(π)＋f′(π2)＝
专题一 集合、常用逻辑用语、不导数公式及运算法则 (1)基本导数公式：c′＝0(c 为常数)； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x； (ax)′＝axln a(a>0 且 a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝xln1 a(a>0 且 a≠1)；(ln x)′＝1x.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考点二 利用导数研究函数旳性质 (2014·高考江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)
x，其中 a＜0. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的单调递增区间；
(2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8，求 a 的值． [思路点拨] (1)先求导数，结合解不等式求解函数的单调 区间． (2)通过利用单调性与导数的关系求解函数的最值，从而求 解参数 a.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝ u′v＋uv′；
uv′＝u′v－v2uv′(v≠0)．
2．导数与极值 函数 f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)＝0 且 f′(x)在 x0 附近“左正右 负”⇔f(x)在 x0 处取极大值；函数 f(x)在 x0 处的导数 f′(x0) ＝0 且 f′(x)在 x0 附近“左负右正”⇔f(x)在 x0 处取极小值．
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
3．(2014·云南省第一次统考)已知 f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)． (1)假设 m＝－2，求 f(x)的极大值与极小值；
(2)是否存在实数 m，使 f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果
存在，求 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解：(1)当 m＝－2 时，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)的定义域为 (－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2) ＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex， ∴当 x∈(－∞，－3)或 x∈(0,2)时，f′(x)<0； 当 x∈(－3,0)或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[解] (1)当 a＝－4 时，由 f′(x)＝25x－2x－2＝0 得 x
x＝25或 x＝2.
由 f′(x)＞0 得 x∈0，25或 x∈(2，＋∞)， 故函数 f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．
(2)因为 f′(x)＝10x＋a2x＋a，a＜0， 2x
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二、辨明易错易混 1．求曲线旳切线，分清是“在某点处旳切线”，还是 “过某点旳切线”． 2．对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极 值旳必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不 是 极值点．
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
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导数及其应用
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考向导航
历届高考 考点扫描 导数旳几 何意义
利用导数 研究函数 旳性质
利用导数 处理与不 等式有关 旳问题
2023 Ⅰ文T21Ⅱ文
T21 Ⅰ理T21、Ⅱ
理T21
Ⅰ理T21 Ⅰ文T21
三年考情统计
D．15
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，因为函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x
＝2 处取得极值，所以－12＋4a＝0，解得 a＝3，所以 f′(x)
＝－3x2＋6x，f(x)＝－x3＋3x2－4.易知 f′(n)＝－3n2＋6n，f(m)
＝－m3＋3m2－4.又 m，n∈[－1,1]，所以当 n＝－1 时，f′(n)
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
∴当 x∈[－2，－1]时，f′(x)≥0. 又∵当 x∈[－2，－1]时，xex<0， ∴当 x∈[－2，－1]时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0， ∴－ －2122－ －2mm＋＋33＋＋22mm－－2≤2≤00 ，解得 m≤4， ∴当 m∈(－∞，4]时，f(x)在[－2，－1]上单调递增．
最小，为－9.又 f′(m)＝－3m2＋6m，令 f′(m)＝0 得 m＝0
或 m＝2，所以当 m＝0 时，f(m)最小，为－4.故 f(m)＋f′(n)
的最小值为－9＋(－4)＝－13，故选 A.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考点一 导数旳几何意义 (1)(2014·高考江西卷)若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切
①当－a2≤1，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1)， 由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符合题意．
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
②当 1＜－a2≤4，即－8≤a＜－2 时，f(x)在[1,4]上的最小值
为 f－2a＝0，不符合题意．
2023
2023
Ⅰ文T20 Ⅰ文T20、Ⅱ
理T10 Ⅱ理T21、Ⅱ
文T12
全国卷文T13 全国卷理T21 全国卷文T21
Ⅰ理T21、Ⅱ 全国卷理T21
理T21
全国卷文T21
利用导数 处理与方 程旳解有 关旳问题
Ⅱ文T21 Ⅱ理T21
2023考向预测
高考对该部分内容旳考察 主要有三个方面：(1)导数 旳概念、求导公式与法 则、导数旳几何意义；(2) 导数旳简朴应用，涉及求 函数极值、求函数旳单调 区间、证明函数旳单调性 等;(3)导数旳综合考察, 涉 及导数旳应用题以及导数 与函数、不等式等旳综合 题．从形式上看，考察试 题有选择题、填空题、解 答题，有时三种题型会同 步出现.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[方法归纳] (1)由函数 f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围 问题，可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题，要注 意“＝”是否可以取到，应加以检验． (2)求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出 x 的取值范 围与 y′的符号及 y 的单调区间、极值的对应表格． (3)本例中函数解析式含有参数，求最值时，利用分类讨论 思想，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部， 再利用单调性求出最值．
③当－a2＞4，即 a＜－8 时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x ＝1 或 x＝4 上取得，而 f(1)≠8，由 f(4)＝2(64＋16a＋a2) ＝8 得 a＝－10 或 a＝－6(舍去)，当 a＝－10 时，f(x)在(1,4) 上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)＝8，符合题意．