杆件结构的变形计算

为相对角位移。
6.5.1 作用在弹性杆件上的力所作的 功
外力的作用下将产生变形，在这一过程中，外力将在杆件相应的位移上作功。 外力作功分为常力作功和变力作功两种形式。
1、常力功 当杆件位移发生之前，力已经存在，且位移产生过程中，作用力不发生
变化，则此时力所作的功为常力功。 等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。 2、变力功 当弹性杆件在力的作用下所产生的位移，随力和变形的增加而增加时，
例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠
解： M ( x) F x
度.
Vε
M 2( x)dx l 2EI
l (Fx )2dx F 2l 3
0 2EI
6EI
W
1F 2
wB
由Vε=W 得
wB
Fl 3 3EI
A
l
F
B x
例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C
截面的挠度.
四、功能原理
可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内 力均将作功. 对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力 在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的 应变能.
Vε = W
五、杆件变形能的计算
1.轴向拉压的变形能
当拉力为F1 时,杆件的伸长为 Δl1
当再增加一个dF1时,相应的F 变形
dF1
力所作的功为变力功。
W 1 Fl 2
6.5.2 杆件的弹性应变能
弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力 所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力 逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内 的能量被释放而作功。
这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。 储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相 反的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一 对平行、反向的集中力，两力形成单位力 偶。力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力， 单位广义力用
X =1表示
线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算 出的广义位移则有正负之分：
1 V W 2 Fl
FN F
若轴力 FN 沿轴线为变量，
V
FN2 l 2EA
d x 则可先计算长为
的微段杆内所储存的应变能
dV
FN2 (x) d x 2EA
V
FN2 (x) d x l 2EA
梁弯曲时的应变能
V
M 2 (x) d x l 2EI
6.5.3 互等定理
m
n
FPi ij FSj ji
l
MF2 (x)dx 2EI
K
1、虚拟状态的选取
欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力 2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线 上加一对指向相反的单位集中力
F N FNP ds EA
F N FNP ds EA
KP
F N FNP l EA
（3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
KP
M M P ds F N FNP l
EI
EA
（4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计
KP
i 1
j 1
能量守恒原理，可推导得出线性弹性体的互等定理，常用
的是功的互等定理和位移互等定理。
1、功的互等定理
力系 FPi (i 1,2, , m)在力系 FSj ( j 1,2, , n)
引起的位移上所作的功，等于力系
FSj ( j 1,2, , n)在力系 FPi (i 1,2, , m)
6.5 能量法基础
变形和位移
1、变形是指结构原有形状的变化。 2、位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。位移包括线位移和角位移两种。 1）线位移是指结构上某点沿直线方向相对于原位置移动的距离，结构上两点之间沿两点
连线方向相对位置的改变量，称为相对线位移； 2）角位移是指杆件某截面相对于原位置转动的角度，结构上两个截面相对转动的角度称
增此量外为力d功(Δ的l增1)量为：
dW F1d(Δl1 )
F1
l F l
d(Δl1
)
dF1l EA
O l1
dl1
l
F
积分得:
W
dW
F 0
F1
l EAdF1
F 2l 2EA
F 2
Δl
理 式
根据功能原
Vε= W , 可得以下变形能表达
Vε
W
1 FΔl 2
1 2
FNΔl
Δl Fl FNl EA EA
引起的位移上所作的功。
m
n
FPi ij FSj ji
i 1
j 1
推导： (V ) PS (V )SP
(V )PS
m i 1
1 2
FPi
ii
n j 1
1 2
FSj
jj
m i 1
FPi ij
n 1
m1
n
(V )SP
j1 2FSj jj
i 1
2FPi ii
FSj ji
j 1
为
W1
1 2
F1δB1
F12a 2EA
（b）再在C上加 F2
移为
C截面的位
C2
F2 (a EA
b)
为
F2
作功
W2
1 2
F2 C 2
F22 (a b) 2EA
A
a
B
F1
b C
F2
（c）在加F2 后,B截面又有位移
B2
F2a EA
A
a
在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功） B
W3
F1 B2
F1F2a EA
Vε
FN2( x) dx l 2EA( x)
T 2( x) dx l 2GIp ( x)
M 2( x)dx l 2EI ( x)
六、变形能的普遍表达式
B
F1
3
F2
B' F3
C
1
2
C'
Vε
1 2
Fδ
F--广义力(包括力和力偶) δ--广义位移
(包括线位移和角位移)
A
假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移 也由零增致最后值.
正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
2、单位荷载法计算位移的主要步骤为：
(1)沿拟求位移的位置和方向加设相应的单位荷载； (2)根据静力平衡条件，求出在所设单位荷载下结构的弯矩； (3)根据静力平衡条件，计算在荷载作用下结构的弯矩； (4)代入位移计算公式中计算位移。
的区别.
（2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载
次序无关.
例题4 以弯曲变形为例证明
应变能Vε只与外力的最
A
l/2
l/2
F Me
C
B
终值有关,而与加载过程
1
2
和加载次序无关.
解: 度为:
梁中点的挠
1
Fl 3 48EI
Mel2 16EI
为:
梁右端的转角
2
θ
Fl 2 16EI
Mel 3EI
T 2( x) dx l 2GIp ( x)
或
Vε
n i 1
Ti2li 2Gi Ipi
3.弯曲变形的变形能
Me
θ
纯弯曲
Me
Me
Me
Vε
W
1 2
Me
θ
1 2
Me
M el EI
M e2l 2EI
横力弯曲
Vε
Me2( x)dx l 2EI ( x)
4.组合变形的变形能
截面上存在几种内力, 各个内力及相应的各个位移相互独立, 力独立作用原理成立, 各个内力只对其相应的位移做功.
m
n
FPi ij FSj ji
i 1
j 1
2、位移互等定理ij ji
i 当 FP FS 力 FS 在 FP作用点 处所引起的与 FP 相对应的位移 ij
在数值上等于力 FP 在 FS作用点 j 处所引起的与FS 相对应的位移 ji
当 FP FS 1 时，所产生的位移
称为单位位移，特用
2 与 F2 之间的关系是线性
的.
同理,1 与 F1, 3 与F3 之间的关系也是线性的.
B
F1
3
F2
B' F3
C
1
2
A
Fi
i
Fi
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的
功
Vε
1 2
(
F1δ1
F2δ2
F3δ3 )
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
七、变形能的应用
1.计算变形能 2.利用功能原理计算变形
梁的变形能为:
Vε
1 2
F1
1 2
Me 2
1 EI
(
F 2l3 96
Me2l 6
MeFl 2 16
)
先加力 3 48EI
l/2
l/2
F
A
C
B
1
力F 所作的功为
W
1 2
F1
1 2
F
Fl 3 48EI
（2）力偶由零增至最后值 Me
l/2
l/2
F
C
B
1
l/2 C
l/2
Me
B
3
6.6 单位荷载法
6.6.1 结构位移计算假定
1、结构材料处于弹性工作阶段，服从胡克定律，即应力应变成线性关系。 2、结构满足小变形假设，在建立平衡方程时，仍然可用结构原有几何尺寸进行计算。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力影响。
满足上述条件的理想化结构体系，其位移与荷载之间 为线性关系，称为线性变形体系，其位移计算可以应用叠 加原理。
Vε
F 2l 2EA
FN2l 2EA
当轴力或截面发生变化时V:ε
n i 1
FN2i li 2Ei Ai
当轴力或截面连续变化时：Vε
l FN2( x)dx 0 2EA( x)
2.扭转杆内的变形能
Me
Me
Me
l
Vε
W
1 2
M
e
Δ
1 2
Me
Mel GIp
Me2l 2GIp
T 2l 2GIp
Vε
l
M
F
2
(x
) dx
2EI
1 2
6.6.2
F F
单位荷载法
l
M2 (x)dx 2EI
1 2
1
K
l
M
F
(x)M(x) EI
dx
K
δk
δk
[M F (x) M(x)]
l
2EI
2
dx
1 2
1 K
1 2
F F
1 K
[M F (x) M(x)] 2 dx
l
2EI
M 2 (x) dx
l 2EI
来表示，则此时的位移互等定理可写成
ij ji
总结
一、能量法
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移,变形
和内力等的方法.
二、外力功
固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移, 外力因此而做功,则成为外力功.
三、变形能
在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量,称为弹性变形能,简称变形能.
解：
A
Vε
M 2( x) dx
l 2EI
x1
a 0
(
Fb l
x1
2EI
)2 dx1
b 0
(
Fa l
x2
2EI
)2 dx2
a
F 2b2 2EIl 2
a3 3
F 2a2 2EIl 2
b3 3
F 2a2b2 6EIl
F
B
C
x2
b l
W
1F 2
wC
由Vε=W 得
wC
Fa 2b2 3EIl
例题3 拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI ,受到F1和F2
3、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式 （1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算 公式中取第一项便具有足够的工程精度
KP
M M P ds EI
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆 内只有轴力，且处处相等。因而只取公式 中的第二项并简化为实用的形式
KP
F Me
A
C
B
B 截面的转角θ为 Mel
3EI
力偶
Me
所作的功W为2
1 2
M
eθ
1 2
M
e
Mel 3EI
C截面的位移为
3
Mel2 16EI
A
先加上的力F所作的功为
W3
F3
F
Mel2 16EI
F与力偶Me所作的功为
A
Vε
1F 2
Fl 3 48EI
F
Mel2 16EI
1 2
Me
Mel 3EI
l/2
l/2
两个力作用.
(1)若先在 B 截面加 F1,
然后在 C 截面加
F2;
(2)若先在
C
截面加
F2,
然后在 B 截面加 F1.
分别计算两种加力方法拉杆的应变 能.
A
a
B
F1
b C
F2
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
移为
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位
B1
F1a EA
外力作功
A
a
B
F1
b C
F2
（c）加 F1引起 C 截面的位移
F1a EA
在加F1过程中F2作功（常力作功F）1F2a
A
a
所以应变能
EA
B
为
Vε
W
1 2
F1
B1
1 2
F2
C
2
F1 B2
F1
C
b
F12a F22 (a b) F1F2a
F2
注意：
2EA 2EA EA
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功
F1
b C
所以应变能
为
Vε
W
1 2
F1
B1
1 2
F2
C
2
F1 B2
F2
F12a F22 (a b) F1F2a 2EA 2EA EA
（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1.
（a）在C截面加F2 后,F2 作功
F22(a b) 2EA
（b） 在B截面加F1后,F1作功
F12a 2EA
对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任
一广义位移,例如 2可表示为
δ2 C1F1 C2F2 C3F3