2013年高考文科数学江苏卷及答案

绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ
参考公式：
样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的方差22
11()n i i s x x n ==
-∑,其中1
1n
i i x x n ==∑ 棱锥的体积公式1
3
V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高
棱柱的体积公式V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 为高
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卡相应．．．．．位置上．．．
. 1.函数π
3sin(2)4
y x =+的最小正周期为 .
2.设2(2i)z =-（i 为虚数单位）,则复数z 的模为 .
3.双曲线22
1169
x y
-=的两条渐近线的方程为 .
4.集合{1,0,1}-共有 个子集.
5.如图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .
6.
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 .
7.现有某类病毒记作m n X Y ,其中正整数m ,n (m 7,n 9)≤≤可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 .
8.如图,在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,1AA 的中点.设三棱锥
F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V = .
9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点,则2x y +的取值范围是 .
10.设D ,E 分别是ABC △的边AB ,BC 上的点,12AD AB =
,2
3
BE BC =,若DE =12AB AC λλ+（1λ,2λ为实数）,则12λλ+的值为 .
11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2
()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解
集用区间表示为 .
12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
右焦点为F ,右
准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .若
21d =,则椭圆C 的离心率为 .
13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,)A a a ,P 是函数1
(0)y x x
=
>图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 .
14.在正项等比数列{}n a 中,51
2
a =,673a a +=,则满足
1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大
正整数n 的值为 .
二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.（本小题满分14分）
已知向量a (cos ,sin )αα=,b (cos ,sin )ββ=,0πβα<<<.
（Ⅰ）若|a -b |
=,求证：
a ⊥
b ；
（Ⅱ）设c (0,1)=,若a +b =c ,求α,β的值.
16.（本小题满分14分）
如图,在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =.过A 作
AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证：
姓名________________ 准考证号_____________
-------------在
--------------------此--------------------卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
----------------
（Ⅰ）平面EFG 平面ABC ；
（Ⅱ）BC SA ⊥.
17.（本小题满分14分）
如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(0,3)A ,直线l ：24y x =-.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.
（Ⅰ）若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切 线的方程；
（Ⅱ）若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
18.（本小题满分16分）
如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min .
在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C .假
设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,12
cos 13
A =,
3
cos 5
C =.
（Ⅰ）求索道AB 的长；
（Ⅱ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？
（Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？
19.（本小题满分16分）
设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列(0)d ≠,n S 是其前n 项的和.记2n
n nS b n c
=
+,*n ∈N ,其中c 为实数.
（Ⅰ）若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明：2*
(,)nk k S n S k n =∈N ；
（Ⅱ）若{}n b 是等差数列,证明：0c =. 20.（本小题满分16分）
设函数()ln f x x ax =-,()e x
g x ax =-,其中a 为实数.
（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数,且()g x 在(1,)+∞上有最小值,求a 的取值范围； （Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数,试求()f x 的零点个数,并证明你的结论.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应
写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A .（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且2BC OC =.
求证：2AC AD =.
B .（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A 1002-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,B 1206⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
,求矩阵A -1
B .
C .（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,
2,
x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）,曲线C 的参数
方程为22tan ,
2tan ,x y θθ⎧=⎨=⎩
（θ为参数）.试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公
共点的坐标.
D .（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0a b ≥＞,求证：332222a b ab a b --≥.
【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AB AC ⊥,2AB AC ==,14A A =,点D 是BC 的中点.
（Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.
23.（本小题满分10分）
设数列{}n a ：1,2-,2-,3,3,3,4-,4-,4-,4-,⋅⋅⋅,
11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个
,⋅⋅⋅,即当*(1)(1)
()22
k k k k n k -+∈N ＜≤时,1(1)k n a k -=-.记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+*()n ∈N .对于*l ∈N ,定义集合{|l n P n S =是n a 的整数倍,*n ∈N ,且1}n l ≤≤. （Ⅰ）求集合11P 中元素的个数； （Ⅱ）求集合2000P 中元素的个数.
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学Ⅰ答案解析
2
2
1
解
析】
121212
()DE DB BE AB BC AB BA AC AB AC AB AC λλ=+=+=++=-+=+,
16λ=-，23
λ=，12+=2λλ.
)+(5)∞，，
2)4x x =-数，利用奇函数图像关于原点对称做出()y f x =的图像在y x ＝的上方，观察图像易得：解集为(-5)0+(5)∞，
，.
a a ⎝⎭⎝⎭3a 3a ⎝⎭。