2015年全国高考新课标1卷文科数学试题(word文档完整版小题也有详解)

2015年全国高考新课标1卷文科数学试题
一、选择题,本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x｜x=3n+2, n∈N｝，B=｛6,8,10，12,14},则集合A∩B中的元素个数为（)
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知点A（0，1)，B(3，2）,向量(4,3)
AC=--，则向量BC=（）A．（-7,-4) B．(7，4) C．（—1，4）D．（1,4）
3．已知复数z满足（z-1）i=1+i，则z=（）
A．-2-i B．—2+i C．2-i D．2+i
4．如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ）
A．
3
10
B．
1
5
C．
1
10
D．
1
20
5．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1
2
，E的右焦点与抛物线C: y2=8x，
的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB｜=（) A．3 B．6 C．9 D．12
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺，高五尺，
问”积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米
（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧
长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各
位多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约
为3,估算出堆放的米有（）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
7．已知｛a n｝是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和,若S8=4S4，则a10=( )
A．17
2
B．
19
2
C．10 D．12
8．函数f(x)=cos(ωx+φ）的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A．
13
(,),
44
k k k Z
ππ
-+∈B．
13
(2,2),
44
k k k Z
ππ
-+∈
C．
13
(,),
44
k k k Z
-+∈D．
13
(2,2),
44
k k k Z
-+∈
9．执行右面的程序框图，如果输入的t =0.01,
则输出的n=( ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．已知函数12
22,1
()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ,且f (a )=—3，
则f （6-a )=( )
A ．74-
B ．54-
C ．34-
D ．14
-
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一
个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所
示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 12．设函数y =f （x ）的图像与y =2x+a 的图像关于直线y =-x
对称，且f (-2）+f （-4）=1，则a =( ） A ．—1 B ．1 C ．2 D ．4
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．数列｛a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n ｝的前n 项和,若S n =126，则n = 。

14．已知函数f (x ）=ax 3+x +1的图像在点（1， f （1))的处的切线过点(2,7），则a = 。

15．若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则z =3x +y 的最大值为 ．
16．已知F 是双曲线C ：2
2
18
y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点,(0,66)A , 当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

只做6题，共70分。

17．（本小题满分12分）
已知a ，b ,c 分别是ΔABC 内角A ,B ，C 的对边，sin 2B =2sin A sin C . (Ⅰ）若a =b ，求cos B ； (Ⅱ）若B=90°，且a =2， 求ΔABC 的面积.
如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ， （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC , 三棱锥E - ACD
6
求该三棱锥的侧面积.
19．（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位:千元）对年销售量(单位：t ）和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的宣传费x i ，和年销售量y i （i =1,2,3,…，8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中1,8i i i
i x ωωω===∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y c x =+,哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ)根据(Ⅰ）的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z=0.2y —x ，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (2)当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
x
y ω 21
()n
i i x x =-∑
21
()n
i i ωω=-∑
1
()()n
i i i x x y y =--∑
1
()()n
i
i i y y ω
ω=--∑
46。

6 563 6.8
289。

8 1。

6 1469 108。

8
已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C :（x —2）2+（y —3）2=1交于M ，N 两点。

(Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)12OM ON ⋅=,其中O 为坐标原点,求|MN ｜。

21．（本小题满分12分）
设函数f (x ）=e 2x -a ln x 。

（Ⅰ）讨论f (x ）的导函数f ’(x ）的零点的个数; (Ⅱ）证明：当a >0时
f (x )≥2
2ln a a a
+.
22．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C 1： x =—2，圆C 2： (x —1)2+(y -2)2=1，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程. (Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为π
(R)4
θρ=∈，
设C 2，C 3的交点为M ,N ，求ΔC 2MN 的面积.
2015年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分,共60分．
D A C C B B B D C A B C
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6 14．1 15．4 16．126
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分。

17．解：（Ⅰ） 因为sin 2B =2sin A sin C 。

由正弦定理可得b 2=2ac .
又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221
cos 24
a c
b B a
c .
（Ⅱ)由（Ⅰ）知b 2=2ac 。

因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac . 解得a =c=2. 所以ΔABC 的面积为1。

考点：正弦定理；余弦定理;运算求解能力 18．解：(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ,∴BE ⊥AC ．
∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，
∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED . …6分
(Ⅱ)设AB=x ，在菱形ABCD 中,由∠ABC =120°可得，
AG=GC=32x ,GB=GD=2
x
. 在Rt ΔAEC 中,可得EG =32x 。

∴在Rt ΔEBG 为直角三角形，可得2
x 。

…9分 ∴31166
32243
E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==， 解得x =2。

由BA=BD=BC 可得6.
∴ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 5.
所以三棱锥E —ACD 的侧面积为3+25 …12分
19．解:(Ⅰ） 由散点图可知y c x =+适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. …2分
(Ⅱ）设x ω=y=c+d ω，由公式得 108.8= 1.6
β=68，α=563-68×6.8=100.6，所以y=100.6+68ω，
所以y 关于x 的回归方程为100.6+68y x = …6分 (Ⅲ) （1）当x=49时，年销售量的预报值y=100.6+68×7=576.6，
年利润的预报值z=0.2×576。

6y —49=66。

32， (9)
(2）因为 20.2(100.6+68)()13.620.12z x x x x =-=-++
所以当x =6。

8，即宣传费x=46.24千元时，年利润的预报值最大。

…12分
20．解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C （2,3）到的l 距离
2|231|
11k d k
-+=<+。

解得474733k .
所以k 的取值范围是4747
(
,)33
-+. (Ⅱ）将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4（k +1）x +7=0。

设M （x 1, y 1),N （x 2， y 2），则1212224(1)7
,.11
k x x x x k k ++==++
所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=（1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1
24(+1)8+1
k k k =+=12，解得k =1=1k ,所以l 的方程为y=x +1.
故圆心在直线l 上，所以|MN ｜=2.
21．解：（Ⅰ） f ’(x )=2e 2x a
x
-, x >0 …2分
（1）若a ≤0时，f ’（x ）〉0在(0,+∞）恒成立，所以f ’（x )没有零点； …3分
(2)若a 〉0时，f '(x ）单调递增.当x →0, f ’（x ） →—∞；当x →+ ∞,f '(x ) →+∞， 所以f ’（x ） 存在一个零点. …6分
(Ⅱ） 设f ’（x )的唯一零点为k ，由（Ⅰ）知(0， k )上，f '（x )<0，f （x )单调递减；
在(k ,+∞）上,f ’（x ）>0，f （x ）单调递增。

所以f （x ）取最小值f (k ). …8分
所以f (x )≥f (k ）= e 2k —a ln k ,又f '(k ）= 2e 2k a k -=0，所以e 2k =2a
k
，22ln ln k k a =-，
所以f （k )=2(ln 2)2ln 2ln 2222
a a a a
a k ka a a a k a k --=
++≥+， 所以f （x )≥2
2ln a a a
+. …12分
22．解：（Ⅰ）将x=cos ，y=sin 代入可得C 1的极坐标方程为cos =-2，
C 2的极坐标方程为2-2 cos -4 sin +4 =0. …5分
(Ⅱ)将π
4
θ=代入C 2极坐标方程可得23240ρρ-+=
解得=22或 =2，｜MN |=2,因为圆C 2的半径为1，
所以ΔC2MN的面积11
21sin45
22
⨯⨯⨯︒=. …10分
2015年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x｜x=3n+2, n∈N｝，B=｛6,8，10,12，14｝，则集合A∩B中的元素
个数为( )D
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知点A(0，1）,B(3,2），向量(4,3)
AC=--,则向量BC=（)A A．（-7，-4）B．（7，4) C．(-1，4）D．（1,4）
3．已知复数z满足（z-1)i=1+i，则z=( ）C
A．-2—i B．—2+i C．2-i D．2+i
4．如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )C
A．
3
10
B．
1
5
C．
1
10
D．
1
20
5．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1
2
，E的右焦点与抛物线C: y2=8x，
的焦点重合,A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）B
A．3 B．6 C．9 D．12
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书
中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺,
问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米
（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧
长为8尺,米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位
多少？”已知1斛米的体积约为1。

62立方尺，圆周率约
为3，估算出堆放的米有（)B
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
7．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）B
A ．
172 B ．19
2
C ．10
D ．12 8．函数f （x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x ）的单调递减区间为( )D
A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈
B ．13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
C ．13(,),44k k k Z -+∈
D ．13
(2,2),44
k k k Z -+∈
9．执行右面的程序框图,如果输入的t =0.01，
则输出的n=( ）C
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．已知函数1222,1
()log (1),1
x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且f （a )=—3，
则f （6—a )=（ ）A
A ．74-
B ．54-
C ．34-
D ．14
-
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个
几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ）B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
12．设函数y =f （x )的图像与y =2x+a 的图像关于直线y =—x
对称，且f (—2）+f （—4）=1，则a =( )C A ．—1 B ．1 C ．2 D ．4
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．数列{a n }中，a 1=2,a n +1=2a n ，S n 为{a n ｝的前n 项和，若S n =126，则n = 。

6
14．已知函数f (x ）=ax 3+x +1的图像在点（1, f （1)）的处的切线过点（2,7)，则a = 。

1
15．若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则z =3x +y 的最大值为 ．4
16．已知F 是双曲线C :2
2
18
y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点,(0,66)A , 当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为 ．126
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

只做6题，共70分。

17．（本小题满分12分)
已知a ,b ,c 分别是ΔABC 内角A ,B ，C 的对边,sin 2B =2sin A sin C . (Ⅰ)若a =b ，求cos B ； (Ⅱ）若B=90°，且a =2， 求ΔABC 的面积。

解:（Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C 。

由正弦定理可得b 2=2ac .
又a =b ，可得a=2c , b=2c ，由余弦定理可得2221
cos 24
a c
b B a
c .
（Ⅱ）由（Ⅰ)知b 2=2ac . 因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac 。

解得a =c=2。

所以ΔABC 的面积为1。

考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力
18．(本小题满分12分）
如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点,BE ⊥平面ABCD ， (Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ; (Ⅱ）若∠ABC =120°,AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD
6
.
解：（Ⅰ） ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ． ∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，
∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED 。

…6分 (Ⅱ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC =120°可得，
AG=GC=32x ，GB=GD=2
x
. 在Rt ΔAEC 中,可得EG =32x 。

∴在Rt ΔEBG 为直角三角形,可得BE=2
2
x . …9分 ∴31166
32243
E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==， 解得x =2.
由BA=BD=BC 可得6.
∴ΔAEC 的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD 5。

所以三棱锥E —ACD 的侧面积为3+25 …12分 考点:线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；
逻辑推理能力;运算求解能力 19．（本小题满分12分)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元)对年销售量(单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响,对近8年的宣传费x i ，和年销售量y i （i =1，2，3，…，8）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

表中1,8i i i
i x ωωω===∑
(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx 与y c x =+，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ)根据（Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程;
（Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0。

2y-x ，根据（Ⅱ)的结果回答下列问题：
（1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (2)当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 解：(Ⅰ) 由散点图可知y c x =+适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. …2分
（Ⅱ)设x ω=则线性回归方程为y=c+d ω，由公式得 108.8
= 1.6
β=68，α=563-68×6.8=100.6，所以y=100。

6+68ω， 所以y 关于x 的回归方程为100.6+68y x = …6分
（Ⅲ） (1）当x=49时，年销售量的预报值y=100。

6+68×7=576。

6,
年利润的预报值z=0.2×576。

6y —49=66。

32， (9)
分
（2）因为 20.2(100.6+68)()13.620.12z x x x x =-=-+
x ，即宣传费x=46.24千元时，年利润的预报值最大. …12分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 20．（本小题满分12分）
已知过点A （0， 1）且斜率为k 的直线l 与圆C :（x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.
（Ⅰ）求k 的取值范围; （Ⅱ）OM ON ⋅=12,其中O 为坐标原点,求｜MN ｜. 解:(Ⅰ）依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C （2,3)到的l 距离 2
11d k
=<+。

解得
4747
33
k . 所以k 的取值范围是4747(33。

x y ω 2
1
()n
i i x x =-∑
2
1()n i i ωω=-∑ 1()()n
i i i x x y y =--∑ 1
()()n
i i i y y ωω=--∑
46.6
563
6.8
289.8 1.6 1469 108。

8
(Ⅱ）将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2—4（k +1）x +7=0.
设M (x 1， y 1），N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++ 所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1+1)（kx 2+1）=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1
24(+1)8+1
k k k =+=12,解得k =1=1k ,所以l 的方程为y=x +1。

故圆心在直线l 上,所以|MN ｜=2.
考点:直线与圆的位置关系;设而不求思想；运算求解能力
21．(本小题满分12分)
设函数f (x )=e 2x -a ln x .
（Ⅰ)讨论f （x ）的导函数f '（x )的零点的个数； （Ⅱ）证明：当a 〉0时f
（x ）≥22ln a a a
+。

解：(Ⅰ） f ’(x )=2e 2x a x
-， x 〉0 …2分 （1）若a ≤0时，f '（x )〉0在（0，+∞）恒成立,所以f ’（x ）没有零点； …3分
（2)若a >0时,f ’(x ）单调递增。

当x →0， f '（x ） →-∞；当x →+ ∞,f ’(x ） →+∞, 所以f ’（x ) 存在一个零点. …6分
（Ⅱ） 设f '(x )的唯一零点为k ,由(Ⅰ)知（0, k ）上，f '(x ）<0，f (x ）单调递减； 在（k ,+∞)上，f ’(x )〉0,f (x ）单调递增。

所以f （x ）取最小值f （k ）. …8分
所以f (x )≥f (k )= e 2k -a ln k ，又f '（k ）= 2e 2k a k -=0,所以e 2k =2a k
,22ln ln k k a =-， 所以f （k )=2(ln 2)2ln 2ln 2222
a a a a a k ka a a a k a k --=++≥+， 所以f (x ）≥22ln a a a
+. …12分 考点：常见函数导数及导数运算法则;函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB 是圆O 直径，AC 是圆O 切线，BC 交圆O 与点E .
（Ⅰ)若D 为AC 中点，求证：DE 是圆O 切线；
（Ⅱ）若OA=3CE ，求∠ACB 的大小。

解：(Ⅰ）连结AE ，∵AB 是圆O 直径,∴AE ⊥BC ，又AC ⊥AB ，
在RtΔAEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC =∠DCE ，
连结OE ，∠OBE =∠OEB ,∵∠ACB +∠ABC =90°，
∴∠DEC +∠OEB =90°,∴∠OED =90°，
∴DE 是圆O 的切线. …5分
（Ⅱ）设CE =1,AE=x ，由已知得AB =23，212BE x =-，
由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2212x x =-，
解得x =3，∴∠ACB=60°。

…10分
考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C 1： x =—2，圆C 2: (x -1）2+(y —2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ）求C 1,C 2的极坐标方程。

（Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为()πR 4
θρ=∈，设C 2,C 3的交点为M ,N ，求ΔC 2MN 的面积。

解：（Ⅰ)将x=cos ，y=sin 代入可得C 1的极坐标方程为cos =—2， C 2的极坐标方程为2-2 cos -4 sin +4 =0. …5分
（Ⅱ）将π4
θ=代入C 2极坐标方程可得23240ρρ-+= 解得=22或 =2，｜MN |=2，因为圆C 2的半径为1,
所以ΔC 2MN 的面积1121sin 4522
⨯︒=. …10分 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲
已知函数f (x ）=｜ x +1｜ -2｜x —a |。

a 〉0。

(Ⅰ)当a =1 时求不等式f (x )〉1 的解集;
(Ⅱ）若f （x )图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.
解:（Ⅰ) 当a =1 时不等式f （x )>1可化为｜ x +1｜ -2｜x -1|>1
即1111122112211221x x x x x x x x x <--≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨--+->++->+-+>⎩⎩⎩
或或 解得Φ或21123x x ≤<≤<或，即223
x ≤<。

所以所求不等式的解集为2[2)3
， …5分 （Ⅱ)依题f （x ）=12,1312,112,x a x x a x a x a x a --<-⎧⎪+--≤≤⎨⎪-++>⎩
， 所以函数f （x )的图像与x 轴围成
的三角形的三个顶点分别为21(
,0)3
a A -，(21,0)B a +,(,+1)C a a ， 所以ΔABC 的面积为22(1)3a +。

由题设得22(1)3
a +>6, 解得a >2. 所以a 的取值范围为(2，+∞）。

…10分
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
小题详解
一、选择题，本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x |x=3n +2, n ∈N}，B=｛6，8,10,12，14｝，则集合A ∩B 中的元素
个数为（ ） D
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
解: A∩B={8,14｝,故选D 。

2．已知点A （0，1），B （3，2)，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（ ） A
A ．(—7，—4)
B ．（7,4）
C ．（—1，4)
D ．（1,4)
解：(3,1),AB BC AC AB =∴=-=(—7,-4），故选A
3．已知复数z 满足(z —1)i =1+i ，则z=( ) C
A ．-2-i
B ．—2+i
C ．2—i
D ．2+i
解: z=11112i z i i i
+=+=-+=-，故选C 4．如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾
股数，从1,2，3，4，5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ) C
A ．310
B ．15
C ．110
D ．120
解：从1,2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾
股数只有3，4,5，1种，故所求概率为110，故选C
5．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则｜AB ｜=（ ） B A ．3 B ．6 C ．9 D ．12
解：抛物线的焦点为(2，0），准线为x =—2,所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，
所以椭圆方程为22
11612
x y +=，将x =—2代入解得y=±3，所以｜AB |=6，故选B 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书
中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺，
问”积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如
图,米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8
尺，米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少？
"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估
算出堆放的米有（ ) B
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
解：设圆锥底面半径为r ，依题11623843
r r ⨯⨯=⇒=，所以米堆的体积为 211163203()54339
⨯⨯⨯⨯=，故堆放的米约为3209÷1。

62≈22，故选B 。

7．已知｛a n ｝是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8=4S 4，
则a 10=（ ) B
A ． 172
B ．192
C ．10
D ．12 解:依题11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12,∴1011199922
a a d =+=+=,故选B.
8．函数f （x )=cos(ωx +φ）的部分图像如图所示，则f （x )的单调递减区间为（ ) D
A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈
B ．13(2,2),44
k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44
k k k Z -+∈ 解:依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π,=4πϕ， ()cos()4
f x x π
π∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244
k x k -<<+，故选D 。

9．执行右面的程序框图，如果输入的t =0。

01，
则输出的n=( ） C
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解:运行程序，S ，m,n 依次是（11,,124)，(11,,248）， （11,3816,），（11,,41632
），（11,,53264)， (11,,664128），(11,,7128256
），故选C 10．已知函数1222,1()log (1),1
x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ,且f （a ）=—3，
则f （6-a ）=（ ） A
A ．74-
B ．54-
C ．34-
D ．14
- 解：∵f （a ）=-3，∴当a≤1时,f (a )=2a —1—2=-3，则2a —1=-1，无解.当a>1时，
f （a )=—lo
g 2（a +1) =—3,则a +1=8，解得a =7，∴f (6—a )=f (—1)= 2—2-2=74
-，故选A.
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体,该几何体
的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2πr 2+πr×2r+πr 2+2r×2r =5πr 2+4r 2=16+20π， 解得r=2，故选B 。

12．设函数y =f (x ）的图像与y =2x+a 的图像关于直线y =—x
对称，且f （—2)+f (—4）=1,则a =（ ） C
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．4
解：设f （-2)=m ，f （—4)=n ，则m +n=1,依题点(-2，m )与点（-4，n ）关于直线y =-x 对称点为(—m ，2）与点（—n ，4）在函数y =2x+a 的图像上，∴2=2—m+a ，4=2-n+a ，∴—m+a =1，-n+a =2，∴2a =3+m +n =4，∴a =2,故选C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．数列{a n }中，a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n = 。

6
解：数列{a n ｝是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612
n n S -==-， ∴ 2n =64，∴n =6。

14．已知函数f (x )=ax 3+x +1的图像在点(1, f (1))的处的切
线过点（2,7），则a = . 1
解：∵f '(x )=3ax 2+1,∴切线斜率为f ’（1）=3a +1，
又切点为(1， a +2)，
且切线过点(2,7），∴7—(a +2)=3a +1,解得a =1。

15．若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩
，则z =3x +y 解:作出可行域四边形ABC ，如图。

画出直线l 0：3x +y =0
，平移l 0到l ， 当l 经过点A 时z 最大，联立x+y —2=0与
x —2y +2=解得交点A (1,1）,所以 z max =4。

16．已知F 是双曲线C ：2
21
8
y x -=的右焦点,P 是C
当ΔAPF
周长最小时，该三角形的面积为 ．解：a =1，b 2
=8，⇒ c =3
，∴F (3，0
）．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知｜PF ｜=2+｜PF 1|，∴ΔAPF 的周长为｜P A |+｜PF ｜+|AF ｜=|P A |+|AF |+｜PF 1|+2,由于|AF |是定值,只要|P A ｜+|PF 1｜最小，即A ，P ,F 1共线,∵A ，F 1
(-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x 2—y 2=8消去x 整理得y 2+y —96=0，解得y =或y =-（舍去），此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF 13=⨯=。