3.3从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册

2
m+n
mn
=
1
2
1
=.
-1
2
1
1
m+n=2,mn=-1.所以m
1
+n
=
探究一
求二次函数的零点
例1已知函数y=x2-x-2a.
(1)若a=1,求函数f(x)的零点;
(2)若y有零点,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,y=x2-x-2.
令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.
即函数y的零点为-1和2.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定最高车
速为多少,才使此处的车流量最大?
知识点拨
从函数观点看一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫作一元二
次不等式.
2.三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0
Δ=0
方程ax2+bx+c=0 有两个相异的实数 有两个相等的实数
提示 不存在.理由如下,结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x1>0的解集为R,则 > 0,
1 + 4 < 0,
解得a∈⌀,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.
微练习
不等式x2-2x-5>2x的解集是
答案 {x|x<-1,或x>5}
解析 由x2-2x-5>2x,得x2- 的取值范围为(- ,+∞).
4
4
(2)当k=2时,方程为x2+5x+4=0,
∴x1+x2=-5,x1x2=4,
∴12 + 22 =(x1+x2)2-2x1x2=25-8=17.
点评利用根与系数的关系求代数值的步骤
(1)算:计算出两根的和与积;
(2)变:将所求的代数式表示成两根的和与积的形式;
高中数学苏教版必修第一册
第3章 不等式
3.3从函数的观点看一元二次方程和一
元二次不等式
3.3.1
从函数观点看一元二次方程
课标阐释
1.会结合二次函数的图象,判断
一元二次方程实数根的存在性
及实数根的个数,了解函数的
零点与方程的根的关系.(直观
想象)
2.会求二次函数的零点.(数学
运算)
思维脉络
情境导入
适用于所有的
2a
提示 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使
用,即当根的判别式Δ=b2-4ac≥0时适用.
微练习
已知 m,n 是方程 2x -x-2=0
2
1
的两个实数根,则m
1
+ n 的值为(
)
1
B.2
A.-1
1
C.2
D.1
答案 C
解析 由 m,n 是方程 2x -x-2=0 的两个实数根,得
解 设关于x的方程x2+mx-10=0的另一个根为x1,
-51 = -10,
由根与系数的关系得
1 -5 = -,
1 = 2,
解得
= 3.
因此,m=3,函数的另一零点是2.
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第3章 不等式
3.3从函数的观点看一元二次方程和一
元二次不等式
3.3.2
从函数观点看一元二次不等式
所以方程2x2-3x+2=0无实数根.
又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的
判别式.
素养形成
一元二次方程根与系数的关系
典例已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为 x1,x2,当 k=2 时,求12 + 22 的值.
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即(2k+1)2-4k2=4k+1>0,
值是(
)
A.0
C.4±
B.8
2
D.0或8
答案 D
解析 由Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,得m2-8m=0,解得m=0或m=8.
延伸探究本例的结论改为“有两个实数根”,试求m的取值范围.
解 一元二次方程有两个实数根可能是两个相等的实数根也可能是两个相
异的实数根,则Δ=(m-2)2-4(m+1)=m2-8m≥0,即m(m-8)≥0,
的根
二次函数
y=ax2+bx+c的图
象
根x1,x2(x1<x2)
根x1=x2=-
Δ<0
没有实数根
判别式Δ=b2-4ac Δ>0
ax2+bx+c>0的解
集
ax2+bx+c<0的解
集
Δ=0
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
(x1,x2)
Δ<0
R
⌀
⌀
名师点析 1.解一元二次不等式时,必须注意二次项系数的符号,当a<0时,可
观察三个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:
①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;
③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.
①
②
③
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
是
.
答案 {-2,-1,2}
解析 由集合A有且仅有1个真子集可得A中含有1个元素,当k=-2时,
A={x|-4x+1=0}={
1
4
},符合题意;当k≠2时,Δ=4k2-4(k+2)=0,解得k=-1或k=2.
所以实数k的取值集合是{-2,-1,2}.
5.已知x=-5是函数y=x2+mx-10的一个零点,求m的值及函数的另一零点.
解 由已知得3a-b=0,即b=3a.
故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).
令y2=0,即ax(3x+1)=0,
1
解得 x=0 或 x=-3.
1
所以函数 y2 的零点为 0 和- .
3
探究二
一元二次方程的根的个数与判别式的关系
例2关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的
3.故选 B.
9-6 =
2.已知α,β是二次函数y=x2-4x-3的两个零点,则代数式(α-3)(β-3)的值是
(
)
A.7
B.1
C.5
D.-6
答案 D
解析 ∵α,β是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根,∴α+β=4,αβ=-3,
∴(α-3)(β-3)=αβ-3(α+β)+9=-3-3×4+9=-6.故选D.
⌀
名师点析 1.一元二次方程的解集实质上就是借助判别式判断根的个数后
再利用系数表示出根.
2.若关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有
b
c
a
a
x1+x2=- ,x1x2= .
微思考
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=
一元二次方程吗?
-b ± b 2 -4ac
x-a > 0,
x-a < 0,
或
x-b < 0
x-b > 0.
微思考 1
不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗?
提示 此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元
二次不等式.
微思考 2
是否存在实数a使得一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R?若存在,写出实
数a应满足的条件;若不存在,请说明理由.
1
(2)要使 y 有零点,则 Δ=1+8a≥0,解得 a≥-8,
1
所以 a 的取值范围是[- ,+∞).
8
反思感悟二次函数零点的求法
(1)代数法:求方程y=0的实数根.
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程y=0,可以将它与函数的图象联系起
来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
变式训练1已知函数y1=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数y2=bx2+ax的零点.
课标阐释
1.能借助二次函数求解一元二
次不等式,并能用集合表示一
元二次不等式的解集.(数学运
算)
2.借助二次函数的图象,了解一
元二次不等式与相应函数、方
程的联系.(直观想象)
思维脉络
情境导入
随着城市人口的急剧增加和人们生活水平的不断提高,道路上车辆日益增
多,很多城市需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高
方程ax2+bx+c=0有实数根⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点⇔
二次函数y=ax2+bx+c有零点.
微思考
二次函数的零点是函数与x轴的交点吗?
提示 不是.二次函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交
点的横坐标.
微练习
函数y=2x2-3x+1的零点个数是(
A.0
B.1
1
数根 x1=-3,x2=-2.
又二次函数 y=2x2+7x+3 的图象开口向上,
1
所以原不等式的解集为{x 丨 x<-3 或 x>-2}.
92
(2)原不等式可化为(2x-2) ≤0,
9
所以原不等式的解集为{x 丨 x=4}.
(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,
以利用不等式的性质转化为正数,然后再求解.
2.解不等式ax2+bx+c≥0与ax2+bx+c≤0,要注意解集的端点.
3.等价转化法
一元二次不等式(x-a)(x-b)>0,可转化为一元一次不等式组
x-a > 0,
x-a < 0,
或
x-b > 0
x-b < 0.
同理,一元二次不等式(x-a)(x-b)<0 可转化为一元一次不等式组
因为x2-4x-5=0的两根为-1,5,
故x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1,或x>5}.
.
探究一
一元二次不等式的解法
例1解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
81
(2)-4x +18x- ≥0;
4
2
(3)-2x2+3x-2<0.
解 (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不相等的实
车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立
交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重
要标志.为了保证安全,交通部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车
距d正比于速度v的平方与车身长的积,且车距不得小于
半个车身长,假定车身长均为l m,当车速为60 km/h时,
≥ 0,
≤ 0,
所以
或
-8 ≥ 0
-8 ≤ 0,
解得m≥8或m≤0.
故m的取值范围为(-∞,0]∪[8,+∞).
变式训练2(2020山西运城景胜中学高一开学考试)关于x的一元二次方程
ax2-4x-1=0有实数根,则a满足(
)
A.a≥-4且a≠0 B.a>4
C.a≥4
D.a≠0
答案 A
解析 因为关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根,则
有什么关系?
知识点拨
一、二次函数的零点
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
要点笔记一元二次方程、二次函数、二次函数的图象之间的关系
C.2
)
D.3
答案 C
解析
1
2
由y=0得2x -3x+1=0,解得x=
2
或x=1,所以函数f(x)有2个零点.
二、一元二次方程的解集
定义
一元
形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程,其中a,b,c是常数,且
a≠0
判别式的符号
解集
二次 Δ=b2-4ac>0
方程
的解 Δ=b2-4ac=0
集
Δ=b2-4ac<0
3.一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是
答案 {-1,5}
解析 原方程移项可得(4-2x)2=36,
两边开平方可得4-2x=6或4-2x=-6,
解得x1=-1,x2=5.
故一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是{-1,5}.
.
4.若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且仅有1个真子集,则实数k的取值集合
(3)代:代入求值.
当堂检测
1.若x1,x2是一元二次方程2x2-6x+3=0的两个实数根,则|x1-x2|的值为(
3
A.
3
B. 3
C.3
)
D. 15
答案 B
解析 Δ=36-24=12>0,故方程有两个不相等的实数根.又根据一元二次方程根
3
与系数的关系,可得 x1+x2=3,x1x2=2.所以|x1-x2|= (1 + 2 )2 -41 2 =
≠ 0,
解得 a≥-4 且 a≠0.故选 A.
2
= (-4) -4 × (-1) ≥ 0,
反思感悟一元二次方程ax2+bx+c=0实数根的个数的判断方法
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个相异的实数根;
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程无实数根.