四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题详细解析

四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题详细解析
四川省成都市2013届高中毕业班
第一次诊断性检测理科数学试题解析
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}1,2P =，{},,Q z z x y x y P ==+∈，则集合Q 为 A.{}1,2,3 B. {}2,3,4 C. {}3,4,5 D. {}2,3
2. 某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A 给出的分数的茎 叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A 得分的中位数是
A.
93 B. 92 C. 91 D. 90 3.()612x -的展开式中含3x 项的系数
为 A. 160 B. 160- C. 80 D. 80-
4.已知sin cos 3,sin cos x x x x +=-则tan x 的值是
A. 3
B. 3-
C. 2
D. 2-
5. 一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示 该线段的长
度，则该几何体的体积为
A. 30
B. 27
C. 35
D. 36 6. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.
钝角三角形 D.正三角形 7. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“l m ”是“αβ⊥”的
A.充要条件
B.必要条件
C. 充分条件
D.既不充分又不必要条件
8. 如图，已知在ABC ∆中,2BC =，以BC 为直径的圆分别交
,AB AC 于点,M N ，MC 与NB 交于点G ，
若2BM BC ⋅=，
1CN BC ⋅=-，则BGC ∠的度数为 A.135︒ B. 120︒ C. 150︒
D. 105︒
° 9.为继续实施区域发展总体战略，加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持 力度，某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远 山区中学支教，得到了积极响应，统计得知各边区学校教师需求情况如下表：
边区教师需求情况
学校
观阁
中学
3名（其中需1名数学教师） 广兴
中学
2名 天池
中学
3名（其中需2名英语教师） 龙滩
中学
3名（均为物理教师） 现从大量报名者中选出语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名 (包含2名干部）、物理教师3名(包含1名干部），要求向每个学校各派一名干部任组长.则 不同派遣方案的种数有
A. 24 种
B. 28 种
C. 36 种
D. 48 种
10.已知数列{}n a 满足11(2,)n n a
a n n n -=+-≥∈N ，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分
别记为,,a b c ，则集合{,,}a b c =123{,,}a a a ()16,,1,2,3i i
a a i ≤≤∈=N 的概率是
（A ）172 （B ）136 （C ）124 （D ）112
第II 卷(非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题,每
小题5分，共25分.
11.若复数
11i z i +=-（i 为虚数单位），则
__.z = 12.已知1x >，则22log log 2x x +的最小值
为 .
13.已知某算法的程序框图如图所示，当输入x 的值为13时，
则输出y 的值为_____
14.已知角α，β，γ构成公差为3
π的等差数列．若2
cos 3β=-则cos α+cos γ= .
15. 已知函数321,(,1]22()111,[0,]242x x x f x x x ⎧∈⎪⎪+=⎨⎪-+∈⎪⎩，
3()sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：
①函数()f x 的值域为2[0,]3
； ②函数()g x 是[0,1]内的增函数；
③对任意0a >，方程()()f x g x =在[0,1]内恒有解； ④若存在12,[0,1]x x ∈，使得12
()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是4495
a ≤≤． 其中所有正确结论的番号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16. (本小题满分12分）
已知向量(cos sin ,sin ),(cos sin ,2cos )a x x x b x x x =+=-设()f x a b =⋅. (I)化简函数()f x 的解析式并求其单调递增区间； (II)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值.
17. (本小题满分12分）
如图，矩形ABCD 中，2,1,
BC AB ==PA ⊥平面ABCD ， BE PA ,12BE PA =，F 为PA 的中点.
(I)求证: //DF 平面PEC .
(II)若2PE =，求平面PEC 与平面
PAD
所成锐二面角的余弦值.
18. (本小题满分12分）
对于实数
,a b ，定义运算,0:,0a a b a b b a b -≤⎧⊗⊗=⎨->⎩. 设函数()()()2121f x x x x =-+⊗-,其中.x R ∈
(I)求3f 的值； (II)若21≤≤x ，试讨论函数()()22111363h x x f x x x t =⋅+-+的
零点个数.
19. (本小题满分12分） 某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万 元，年生产与销售均以百台计数，且每生产100台,还需增加可变成本1000万元.若市场对 该产品的年需求量为500台，每生产m 百台的实际销售收人近似满足函数
()()2500050005,.R m m m m m N =-≤≤∈
(I)试写出第一年的销售利润y (万元)关于
年产量单位x 百台（*5,x x N ≤∈）的函数关系式；
(II)若工厂第一年预计生产机器300台，销售后将分到甲、乙、丙三个地区各100台，因技术、运输等原因，估计每个地区的机器中出现故障的概率为1
5
.出现故障后，需要厂家上门调试，每个
地区调试完毕，厂家需要额外开支100万元.记厂家上门调试需要额外开支的费 用为随机变量ξ，试求第一年厂家估计的利润.
(说明：销售利润=实际销售收入一成本；估
计利润二销售利润一ξ的数学期望）
20. (本小题满分13分）
在数列{}n a 中，122,4a a ==，且当2n ≥时，2*11
,.n n n a a a n N -+=∈. (I)求数列{}n a 的通项公式n a
；
(II)若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和.n S ； (III)求证：12311113 (234)
n a a a na ++++< 21. (本小题满分14分）
已知函数()()ln 1f x x =+，
()()()()()220,,().g x a x x a a R h x f x g x =-≠∈=-
（I ）若关于x 的不等式()2g x bx ≤-的解集为
{}21x x -≤≤-，求实数,a b 的值；
(II)若()()3,x f x g x ∀>≤成立，求实数a 的取值范围； (III)在函数的图象上是否存在不同的两点
()()
1122,,,A x y B x y ，使线段AB 的中点的横坐标0x 与直线AB 的斜率k 之间满足()'
0k h x =？若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由.
【参考答案】
1.B 【解析】,x y 可分别取()()()1,1,1,2,2,2，所以{}2,3,4.Q =
2.B 【解析】本题容易题，考查茎叶图与中位数概念，去掉88与95余下数从小到大数第4个
3.B 【解析】本题考查通项公式
16(2)r r r T C x +=-，而3r =可
求3x 项的系数为160-. 4.C 【解析】本题考查三角函数同角变形，可分子分母同除以余弦，弦化切tan 13tan 1x x +=-解tan x ，也可以去分母
求正、余弦关系cos 2sin x x =后由正切定义sin tan cos x
x x =解。

5.A 【解析】本题考查立体几何的三视图，需要空间想象力。

原几何体是：下面棱长为3的正方体，上面是高为2（高线也是一侧棱，且垂足是棱的中点）的三棱锥,
3133323032V ⨯=+⨯⨯=得解。

6.C 【解析】本题考查三角形中的正、余弦定理运用，
222a b c a b c R R R ⨯+⨯<⨯得222a b c +<,故C 是钝角。

7.C 【解析】本题考查立体几何中的线面关系。

αβ⊥时，除了可能l m ，也可能相交或为异面直线。

8.D 【解析】以BC 为x 轴建立坐标系（圆心为O 点），由题数量积知道,MOC NOC ∠∠分别90,60︒︒
，由平面几何知道，+=A BGC π∠∠，且
6MCN π∠=,得75A ︒∠=，从而105.BGC ︒∠=
9.A 【解析】本题考查排列、组合应用。

由题知道实际只是把语文教师2名（包含1名干部），数学教师3名，英语教师3名 (包含2名干部）这8人派到观阁、广兴、天池的方法数：1、领导的安排:英语3人中只能二领导中1人与语文的领导派到观阁、广兴而地去，另二英语教师到天池12224C A =；2、组员排法：3名数学教师观阁、广兴、
天池每一地方各1人，语文教师到观阁
336A =,3、前
面两步分步计数原理求解4624.⨯= 10.D 【解析】由递推数列容易有：令1,a
t =，可以得出231,3a t a t
=+=+， 利用()16,,1,2,3i i a a i ≤≤∈=N ,知道13,t ≤≤于是t 由三种可能
选法： 1,2,4;2,3,5;3,4,6.由题意可得133331612C A P ==。

11.1【解析】本题考查复数的运算及模的定义，容易求出z i =,于是 1.z =
12.22式=22
1
2log 22log x
x
+
≥22
log x =
时取等号。

13.14【解析】本题考查算法的程序框图，容易得到2x =-, 所以2
12.4
y -==
14.
2
3
-【解析】
2cos +cos =cos -+cos +=2cos cos =cos .
3333πππαγββββ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
15.①②④【解析】
定义域相同的函数()f x 与()g x ，除了分段函数()f x 在第二段上单减，其余都是在定义域上单增，并且 ①
()
f x 值域是11220=041033⎡⎤⎛⎤⎡⎤
⋃ ⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎦⎣⎦
，，，正确；
②利用条件易判断为正确；
③可以求出()
f x 的值域
2
[0,]
3
A =与
()
g x 值域
B=
52-3,22a a ⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
，方程()()f x g x =在[0,1]内恒有解即B A ⊆,可得82153
a ≤≤与任意0a >矛盾；
④即上问中
A B φ
⋂≠,可得到
25
2-320
32
a a ≤-≥且，可以得
解4495
a ≤≤,正确。

16、【解析】（Ⅰ）已知(cos sin ,sin ),(cos sin ,2cos )a x x x b x x x =+=-, 所以()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x a b x x x x x x =⋅=+-+,
22cos sin sin 2cos 2sin 2x x x x x
=-+=+,
所以()f x 2sin(2)
4
x π
=+,
由
222,2
4
2k x k k Z
π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得
3,88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈
故函数()f x 的单调递增区间为3[,]()
88
k k k Z ππππ-+∈；
（Ⅱ）当
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，
52,444x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
，
所以当5244
x π
π+
=即
2
x π
=
时，
min 2()f x =-
；
当
24
2x π
π
+
=
即
8
x π
=
时，max
()1
f x =．
所以当
2x π
=
时，
min
2()
f x =-
；
当8
x π
=
时，max
()1
f x =．
17．【解析】（Ⅰ）证明：连接EF ，
由已知，//,BE AF BE AF =，
又PA ⊥平面ABCD ，∴四边形ABEF 为矩形， ∴//EF AB ，又矩形ABCD 中,//AB CD ∴四边形CDFE 为平行四边形,则//DF EC 又DF ⊄平面PEC ，EC ⊂平面PEC 即证，//DF 平面PEC ．
（Ⅱ）∵PA ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为矩形， 以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -
在Rt PEF ∆中，2
PE =
，1EF AB ==，1PF ∴=
故得到如下点的坐标：(0,0,2)P ，(1,0,1)E ，(1,2,0)C ， 则(1,0,1)PE =-，(1,2,2)PC =-
设平面PEC 的法向量为(,,)n x y z = 由
0220
n PE x z n PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 取
1
(1,,1)
2
n =
因为平面PAD 的法向量为AB =，
2
cos ,3124
AB n
AB n AB n
⋅<>===
⋅+ .
故平面PEC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为
23
．
z
y
A
B
C
D
P
E
F
18、【解析】（Ⅰ）
().
1,2,222
1,12⎩
⎨⎧<>-≤≤+-=x x x x x x x f 或
343f
∴=
（Ⅱ）当21≤≤x 时，(),
12
+-=x x
x f
()()t x x x t x x x f x x h +--=+-+⋅=
32
1
323116132232
令(),32
1
3223
x x x
x g --=
则()()()
132322
+-=--='x x x x
x g ，
所以函数()x g 在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛23,1上单减，在⎪⎭
⎫
⎝
⎛2,2
3上单增. 又()().8
2723,6
173
82,6
171-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛->-=-=g g g 所以38617-≤-<-t 或8
27-=-t ， 即,61738<≤t 或8
27=
t 时，函数()x h 有一个零点， 当617827-≤-<-t ，即827
617<
≤t 时，函数()x h 有两个不同零点， 当38<t 或8
27>
t 时，函数()x 无零点. 19、【解析】（Ⅰ）由题意，2
50005005001000y x x x =---，
即2
4000500500y x x =--.（*
5,x x N ≤∈） （Ⅱ）设需要厂家上门调试的地区个数为随
机变量ξ,则1~(3,)10
B ξ
所以，3
10E np ξ==，
即厂家调试机器需要额外开支的费用的平均值为206E ξ=（万元）
故第一年厂家估计的利润为
40003950050066994
y =⨯-⨯--=（万元）
20、【解析】（Ⅰ）∵当2n ≥时，211
n
n n a
a a -+= ，
∴数列{}n
a 为等比数列
又∵1
2
a
=，2
4
a
=， ∴公比为2
1
2
a
a
=
所以，数列{}n
a 通项公式为 2n
n
a
=．
（Ⅱ）由题， (21)2n
n
b
n =-
23123252(21)2n
n S n =⨯+⨯+⨯+
+-
2341
2123252(23)2(21)2n n n S n n +=
⨯+⨯+⨯+
+-+- 相减，得2
3
1
122(222)(21)2n n n
S n +-=⨯+++
+--
1
1221
28(12
)(21)26222n n n n n n n -++++=----=-+-⋅+
1(23)26
n n
S
n +∴=-+.
（Ⅲ）证明：因为()()()22
1
2112112
11≥⋅--=-+<
⋅-n n n n n n n n
n n n
所以()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⨯+⨯<
-=∑n n n
i i
n n ia
21211241231231221
4212111
143321
.4
3
412121818121=+<⋅-++=
n n
21、【解析】（I ）当1a =时，()2
()ln 12h x x x
x
=++-（1x >-），
()2211
x h x x -'=
+ ()2
2
02102
h x x
x '>⇒->⇒>
或212
x -<<-， ∴()x h 在
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22,1和
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,22上单增，在
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-22,22上单减.
（II ）因为,3>x 所以()(),21ln
2
x m x
x x a =-+≤ ()()()
()()
,211ln 1222
222x x x x x x x x m -++---=
' 令()()()x x x x x n +---=1ln 1222
2，
则()()01ln 4>+='x x x n ，且(),00=n
所以()()00>'⇒>x m x n ，则()x m 在()+∞,3上单调递增， 所以().2ln 3
23-=≤m a （III ）假设存在，不妨设.12
1
x x <<-
()()()()()()()22
111222121212
12
1212ln 12ln 121ln
12.x a x x x a x x h x h x k x x x x x x a x x a x x ++--+---==--++=++-- ()(),
2
211ln
,221121212
1
0000++=-++⇒'=-++='x x x x x x x h k a ax x x h
令.
1,12211
x t x t
+=+=则
,
12
2ln 2ln 2211ln
2
1212
1212121212121+-=⇔+=-⇔++=-++t t t t
t t t t t t t t x x x x x x
令()(),101
2
2ln ,2
1<<+--
==t t t t t u t t
t
则()()(),01122
>+-='t t t t u 所以()t u 在()1,0上单增，
所以()(),01=<u t u 故().0
x h k '≠
不存在符合题意的两点.。