《高等代数与解析几何》

《高等代数与解析几何》教学大纲
学时数：192 学分：12
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学
一、课程说明
高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用．
二、与其它课程的关系
本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础．
三、大纲部分
以下按各章具体写出
第一章预备知识（6学时）
本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立．
教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域
和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质．
教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用．
新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广.
教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容.
教学内容
1.数环和数域
１
2.整数和整除性
3.数学归纳法
4.映射
课堂训练方案充分利用“习作”这一环节，补充有关数域的性质例题和独立思考题.
课外训练指导方案
1.首先组成课外学习小组;
2.以数域和整数的整除性以及双射等内容补充相关的练习题;
3.由教师指导以及相互讨论的方式完成上述难度大的练习题.
自学指导方案
本章将以映射为自学内容，先由教师给出自学提纲，让学生带着问题读书，以达到能充分
理解映射的定义和性质.
考试设计
本章以数域和映射为主要测试试点；主要测试分析问题和解决问题的能力.
参考书目
1.北大编，高等代数，高教出版社（1988）；
2.北师大编，高等代数，高教出版社（1983）.
课时安排
共6学时,讲授6学时.
第二章行列式（14学时）
教学目的与要求掌握行列式的定义与性质，能熟练应用行列式的定义及性质计算并证
明行列式，掌握用行列式解线性方程组的方法.
教学重点行列式的定义与性质.
教学难点行列式的定义与性质.
新知识点排列，n阶行列式的定义与性质，行列式依行依列展开，克莱姆法则，拉普拉斯定理.
教学方法与手段教师讲解与师生集体讨论相结合.
教学内容
1.二阶与三阶行列式
2.排列
3.n阶行列式的定义
4.行列式的性质
5.行列式依行依列展开
6.克莱姆法则
7.拉普拉斯定理
课堂训练方案师生集体讨论例题——学生独立思考课后习题——适当补充练习题—
简要介绍本章内容的发展概况及应用.
２
课外训练指导方案复习学过的知识——独立完成课后作业——思考指定参考书中有关的题目.
自学指导方案列出本部分的知识点——新知识点——重点——难点——处理课后习
题与复习题——学习指定参考书中有关的内容，找出其区别与联系——思考指定参考书中有关的题目——找出本章内容与初等数学的联系与区别——找出新学知识与前面所学知识的联系与区别，进一步体会本课程的系统性——写出学习本章知识的心得.
考试设计学完前四节进行一次开卷测验，学完后三节进行一次开卷测试，学完整章内
容进行一次闭卷测验.
参考书目
1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2001;
2.廖家藩，《高等代数》，电子科技大学出版社，1995;
3.叶伯成，《高等代数》，青岛海洋大学出版社，1989;
4.孙宗明，《高等代数的内容与方法》，兰州大学出版社，1990;
5.王品超，《高等代数新方法》，山东教育出版社，1989.
课时安排
共14学时，讲授12学时，习题课2学时.
第三章向量代数（30学时）
本章内容主要介绍几何空间的向量及运算性质，作为应用解决几何空间中有关平面、直线等几何问题.
教学目的与要求透彻理解有关向量的一些基本概念，牢固掌握向量的各种运算性质和
规律，能熟练地运用向量的坐标进行运算，掌握一些几何度量的向量、坐标表示,能熟练地求出平面、直线的方程，掌握点、直线、平面的位置关系与度量关系.
教学重点向量的各种运算，几何度量，平面、直线方程，点、直线、平面间的关系.
教学难点向量的分解与仿射坐标、向量积.
新知识点仿射坐标（系）、正交投影
教学方法与手段精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段.
教学内容
1.向量及线性运算
2.仿射坐标系与直角坐标系
3.向量的数量积
4.向量的向量积
6.混合积与复合积
7.平面的方程
8.直线的方程
9.点、平面、直线的关系
10.平面束
３
课堂训练方案充分调动学生的思维机器，以典型例题为突破，独立思考的问题加以诱导，加深内容掌握的深度.
课外训练指导方案
1.补充思考的问题；
2.典型题目的课外作业；
3.相关学习内容的学习指导书的参考.
自学指导方案
1.列出自学提纲；
2.让学生提出自学中的问题.
考试设计测试向量运算规律的应用，几何度量，平面、直线方程，及点、直线、平面的关系.
参考书目
1.吕林根编：《解析几何》，1982;
2.南开大学：高等代数与解析几何，2000;
3.陈志杰：《高等代数与解析几何》，2001.
课时安排
共32学时,讲授28学时,习题课 2学时,复习课2学时.
第四章矩阵（14学时）
教学目的与要求掌握矩阵的概念与运算，掌握可逆矩阵的概念、性质及判别方法，会用初等矩阵求可逆矩阵，并会用分块矩阵的方法求某些可塑矩阵的逆矩阵.
教学重点可逆矩阵的概念及判别方法.
教学难点可逆矩阵的概念及判别方法.
新知识点矩阵的运算，可逆矩阵，矩阵和等价，初等矩阵，分块矩阵.
教学方法与手段教师讲解与师生集体讨论相结合.
教学内容
1.矩阵的运算
2.可逆矩阵矩阵的秩
3.初等矩阵
4.矩阵的分块
课堂训练方案师生集体讨论例题——学生独立思考课后习题——适当补充练习题——简要介绍本章内容的发展概况及应用.
课外训练指导方案复习学过的知识——独立完成课后作业——思考指定参考书中有关的题目.
自学指导方案列出本部分的知识点——新知识点——重点——难点——处理课后习
题与复习题——学习指定参考书中有关的内容，找出其区别与联系——思考指定参考书中有关题目——找出本章内容与初等教学的联系与区别——找出新学知识与前面所学知识的联系与区别，进一步体会本课程的系统性——写出学习本章知识的心得.
４
考试设计学完前三节进行一次开卷测验，学完整章内容进行一次闭卷测验.
参考书目
1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2001;
2.廖家藩，《高等代数》，电子科技大学出版社，1995;
3.叶伯成，《高等代数》，青岛海洋大学出版社，1989;
4.张禾瑞，郝炳新，《高等代数》，高等教育出版社，1983;
5.孙宗明，《高等代数的内容与方法》，兰州大学出版社，1990.
课时安排
共14学时,讲授12学时,习题课 2学时.
第五章线性方程组（10学时）
教学目的与要求掌握矩阵秩的概念及线性方程有解的判别方法，会用矩阵的初等变换解线性方程组.
教学重点矩阵秩的概念及线性方程组有解的判别方法.
教学难点矩阵秩的概念及线性方程组有解的判别方法.
新知识点线性方程组的初等变换，矩阵的秩，线性方程组有解的判别方法.
教学方法与手段教师讲解与师生集体讨论相结合.
教学内容
1.消元法;
2.矩阵的初等变换;
3.矩阵的秩线性方程组有解的判别方法;
4.齐次线性方程组.
课堂训练方案师生集体讨论例题——学生独立思考课后习题——适当补充练习题——简要介绍本章内容的发展概况及应用.
课外训练指导方案复习学过的知识——独立完成课后作业——思考指定参考书中有关题目.
自学指导方案列出本部分的知识点——新知识点——重点——难点——处理课后习
题与复习题——学习指定参考书中有关的内容，找出其区别与联系——思考指定参考书中有关的题目——找出本章内容与初等数学的联系与区别——找出新学知识与前面所学知识的联系与区别，进一步会体本课程的系统性——写出学习本章知识的心得.
考试设计学完整内容进行一次开卷测验.
参考书目
1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2001;
2.廖家藩，《高等代数》，电子科技大学出版社，1995;
3.叶伯成，《高等代数》，青岛海洋大学出版社，1989;
4.张禾瑞，郝炳新，《高等代数》，高等教育出版社，1983;
5.孙宗明，《高等代数的内容与方法》，兰州大学出版社，1990;
6.王品超，《高等代数新方法》，山东教育出版社，1989.
５
课时安排
共8学时，讲授6学时，习题课2学时.
第六章多项式（24学时）
教学目的与要求掌握多项式的整除、最大公因式及根的概念，熟练掌握求两个多项式
的最大公因式的方法，掌握有理系数不可约式项式的方法.
教学重点多项式的整除及最大公因式，有理系数多项式的根的求法及有理系数不可约多项
式的判定.
教学难点多项式的最大公因式，有理系数多项式的根的求法及有理系数不可约多项式的判定.
新知识点多项式的整除性，多项式的最大公因式、重因式，多项式的根，不可约多项式，因式分解.
教学方法与手段教师讲解与师生集体讨论相结合.
教学内容
1.一元多项式的定义和运算
2.多项式的整除性
3.多项式的最大公因式
4.多项式的因式分解
5.多项式的重因式
6.多项式函数与多项式的根
7.复数域与实数域的上的多项式
8.有理数域上的多项式
9.多元多项式
课堂训练方案师生集体讨论题——学生独立思考课后习题——适当补充练习题——简
要介绍本章内容的发展概况及应用
课外训练指导方案复习学过的知识——独立完成课后作业——思考指定参考书中有关题目
自学指导方案列出本部分的知识点——新知识点——重点——难点——处理课后习
题与复习题——学习指定参考书中有关的内容，找出其区别与联系——思考指定参考书中有关的题目——找出本章内容与初等数学的联系与区别——找出新学知识与前面所学知识的联系与区别，进一步体会本课程的系统性——写出学习本章知识的心得.
考试设计学完前三节进行一次开卷测验，学完后六节进行一次开卷测试，学完整章内容进行一次闭卷测验.
参考书目
1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2001;
2.廖家藩，《高等代数》，电子科技大学出版社，1995;
3.叶伯成，《高等代数》，青岛海洋大学出版社，1989;
4.张禾瑞，郝炳新，《高等代数》，高等教育出版社，1983;
６
5.孙宗明，《高等代数的内容与方法》，兰州大学出版社，1990;
6.王品超，《高等代数新方法》，山东教育出版社，1989.
课时安排
共30学时,26学时,习题课2学时, 复习课2学时.
第七章向量空间（20学时）
教学目的与要求掌握线性空间的概念、向量的线性相关性及线性空间的基、维数与坐标的概念，会求齐次线性方程组的解空间.
教学重点向量的线性相关性及线性空间的基、维数与坐标.
教学难点向量的线性相关性.
新知识点向量的线性相关性及线性空间的基、维数与坐标，子空间的和，齐次线性方程组的解空间.
教学方法与手段教师讲解与师生集体讨论相结合.
教学内容
1.线性空间的定义
2.向量的线性相关性
3.基维数坐标
4.子空间
5.子空间的直和
6.线性空间的同构
7.齐次线性方程组的解空间
课堂训练方案师生集体讨论例题——学生独立思考课后习题——适当补充练习题——简要介绍本章内容的发展概况及应用
课外训练指导方案复习学过的知识——独立完成课后作业——思考指定参考书中有关题目
自学指导方案列出本部分的知识点——新知识点——重点——难点——处理课后习题与复习题——学习指定参考书中有关的内容，找出其区别与联系——思考指定参考书中有关的题目——找出本章内容与初等数学的联系与区别——找出新学知识与前面所学知识的联系与区别，进一步体会本课程的系统性——写出学习本章知识的心得.
考试设计学完前三节进行一次开卷测验，学完后四节进行一次开卷测试，学完整章内容进行一次闭卷测验.
参考书目
1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2001;
2.廖家藩，《高等代数》，电子科技大学出版社，1995;
3.叶伯成，《高等代数》，青岛海洋大学出版社，1989;
4.张禾瑞，郝炳新，《高等代数》，高等教育出版社，1983;
5.孙宗明，《高等代数的内容与方法》，兰州大学出版社，1990;
７
6.王品超，《高等代数新方法》，山东教育出版社，1989.
课时安排
共20学时,讲授16学时,习题课 4学时.
第八章线性变换（18学时）
线性变换是线性代数的主要研究对象，主要研究向量空间中间量的内在联系.
教学目的和要求理解线性变换的定义和运算；掌握线性变换的矩阵表示法；会求矩阵的特征根和特征向量；能熟练的将一个可以对角化的矩阵化成对角形；会求矩阵的最小多项式.
教学重点线性变换和矩阵的对应关系；特征根和特征向量；矩阵的对角化.
教学难点特征子空间；矩阵可以对角化的判别.
新知识点矩阵的最小多项式；求特征子空间的新方法.
教学方法和手段采用“细读——精细——习作”这一新的教学方法.
教学内容
1.定义和性质
2.线性变换的运算
3.线性变换和矩阵
4.不变子空间
5.特征值和特征向量
6.可以对角化矩阵
7.最小多项式
课堂训练方案
1.针对得出的定义，给出着干思考题，目的主要是巩固定义，加课对概念和理解;
2.针对引出或证明的结论，给出若干应用题，目的在于理论联系实际，便抽象的理论具体化.
课外训练方案
1.针对课堂内容，给出适量的课外练习题;
2.分成若干课外学习小组，以5人为一组，选出组长一人;
3.由组长组织课外讨论，教师定期指导.
自学指导方案
1.选定内容并提出问题，让同学带着问题读书本章以第一节和第二节为自学内容;
2.及时指导，并侧重点和难点和分析讲解.
考试设计
1.考试分为单元考试，期中考试和期末考试,期末考试多引入外校试题;
2.考试分为开卷和闭卷，平时考试以开卷为主，期末考试以闭卷为主.
参考书目
1.北京大学编，《高等代数》，高教出版社;
2.北师大编，《高等代数》，高教出版社.
８
共14学时讲授12学时，复习2学时.
第九章若当（Jordan）标准形（12学时）
研究λ-矩阵，可进一步解决矩阵的化简问题可以给出矩阵的各种标准形，建立完备的理论.
教学目的与要求理解λ-矩阵的概念；会用初等变换将λ-矩阵化成标准形，会求不变因子和初等因子；会求若当形.
教学重点
1.λ-矩阵的标准形;
2.不变因子和初等因子以及若当形.
教学难点若当标准形的理论推导
新知识点
1.求标准形的初等变换法;
2.理论推导的新方法.
教学方法与手段采用新的教学方法，即“细读——精讲——习作”，此方法的目的是培养能力.
教学内容
1.λ-矩阵的概念
2.标准形
3.不变因子
4.矩阵相似的判定
5.初等因子
6.矩阵的若当标准形
课堂训练方案
1.对每一个新的定义，增加一定量的思考题，以巩固定义，指出定义的实质内容.
2.对于每一个结论，分析其应用，并给切实的应用题，以达到理论与实际相结合之目的.
课外训练方案
1.对每一个知识点，补充相应的课外练习题;
2.根据各自的志趣，组成相对独立的课外研究小组，各抒己见，以达到问题解决之目的.自学指导
方案
本章以第三节和第四节为自学内容，其指导方案为：
1.教师先提出有代表性的问题;
2.让学生为解决这些问题而读书.
3.选部分同学讲个别问题，以提高演讲能力，将来成为一名优秀教师.
考试设计
本章的考试，以λ-矩阵的标准形为主线，达到能准确的求出不变因子和初等因子，进而求出任意λ-矩阵的标准形.
９
1.北京大学编，《高等代数》，高教出版社;
2.北师大编，《高等代数》，高教出版社.
课时安排
共10学时,讲授8学时,习题课2学时.
第十章欧氏空间（12学时）
欧氏空间是实数域上定义了内积的向量空间，是几何空间的推广，是线性代数的主要内容之一.
教学目的和要求理解内积和欧氏空间的定义；能由线性无关组求出标准正交组；理解正交换变换的定义；会证明有关正交换和正交矩阵的等价命题；理解对称变换的定义；会证明有关对称变换和对称矩阵的等价命题；能将实对称矩阵化成对角形.
教学重点
1. 标准正交基和构造；
2. 正交变换和正交矩阵；
3. 对称变换和对称矩阵；
4. 度量矩阵和性质.
教学难点正交变换和对称变换的系列命题的证明.
新知识点度量矩阵的性质和应用
教学方法与手段加强新知识点的教学和讨论，对旧的知识点进行革命化清理，但要顾及考研的要求，充分体现由“现代教学方法研究”提出的新观点，使“细读——精讲——习作”这一改革方案得以更好的施行.
教学内容
1.欧氏空间的定义
2.标准正交基
3.正交变换与正交矩阵
4.对称变换与对称矩阵
课堂训练方案
1.在定义之后，给出2—3个思考题，借以巩固定义，找出定义的核心内容;
2.做到理论与实际相联系，即引出重要结论之后，随即给出其应用，主要解决有一定难度的习题.
自学指导方案
本章以第一节为自学内容，指导方案为：
1.以“内积”为主线，把握住内积为实数，知道整个欧氏空间就是由此展开讨论的;
2.抓住柯——布不等式证明的关键，即向量α,β的线性相关性;
3 柯——布不等式在具体欧氏空间中的应用.
考试设计
本章的考试，以正交变换和对称变换的相关问题进行命题.
１０
参考书目
1.北京大学编，《高等代数》，高教出版社;
2.北师大编，《高等代数》，高教出版社.
课时安排
共12学时,讲授 10学时,习题课 2学时.
第十一章二次型（12学时）
二次型的理论是线性代数的主要研究对象，同时也是中学教学内容的深入与提高.
教学目的与要求理解二次型和对称矩阵的对应关系；掌握矩阵的合同关系；会将二次型化为标准形；掌握实二次型和复二次型标准形的唯一性；掌握正定二次型的判别.
教学重点
1.标准形和规范形;
2.二次型的正定性.
教学难点
1.惯性定律的证明;
2.有关正定性绪论的证明.
新知识点正定二次型判别条件的新证明方法.
教学方法与手段坚持“细读——精讲——习作”的现代教学教学方法，这是一种灵活的教学手段.
教学内容
1.二次型的定义及其矩阵表示
2.二次型的标准形
3.复数域和实数域上的二次型
4.正定二次型
课堂训练方案
1.由定义绘出思考题，如：由二次型写出矩阵，由对称矩阵写二次型;
2.理论的应用，坚持理论与实际相结合，如：正定二次型的判别条件，给出带有文字的练
习题进行巩固.
3.以化二次型形和习题作为课外练习题；以学习小组为单位，采用集体讨论或解决重点而有代表性
的习题.
自学指导方案
本章主要以复数域和实数域上的二次型作为自学内容，具体方案：
1.给出自学提纲；
2.重点要解决的问题；
3.检查对主要问题的掌握情况如何.
考试设计
1.方法方向主要测试化二次型为标准形的方法;
１１
2.理论方向涉及惯性定律和二次型正定的问题.
参考书目
1.北京大学编，《高等代数》，高教出版社;
2.北师大编，《高等代数》，高教出版社.
课时安排
共12学时,讲授10学时，习题课 2学时.
第十二章常见曲面（20学时）
本章学习的常见曲面在数学、物理和工程中都有广泛应用，它也是空间解析几何的基本内容，首先导出柱面、锥面、旋转曲面的方程，然后根据二次曲面的标准方程研究它们的性质、形状、直纹性，最后给出利用正交变换给出化简一般二次面面的方法.
教学目的与要求
1.掌握几种常见曲面的形成规律，并很好地由已知条件导出曲面的方程;
2.能根据都有球面、双曲面、抛物面的标准方程利用平行截线法来研究其形状与性质;
3.熟练掌握求直母线的方法，应用直母线的性质计算证明直母线的有关问题;
4.会利用正交变换化简二次曲面方程.
教学重点
1.柱面、锥面、旋转曲面方程求法;
2.利用平行截线法来研究椭球面、双曲面、抛物面的形状与性质;
3.直纹面直母线的求法.
教学难点
1.柱面、锥面、旋转曲面的形成;
2.直母线的性质;
3.正交变换化简二次曲面方程;
4.注意方程在仿射坐标系下，还是在直解坐标系下.
新知识点正交变换在二次曲面方程化简中的应用.
教学方法与手段
1.从曲面的显著几何特点来求方程，从标准方程的研究图形的性质;
2.从局部研究整体的方法;
3.借助教具加深对平行截线法的理解和增强直观性，加强多媒体的应用;
4.通过精讲、深入、自学相结合完成此章内容.
教学内容
1.曲面、曲线方程
2.柱面
3.锥面
4.旋转曲面
１２
5.椭球面
6.双曲面
7.抛物面（包括正交变换在二次曲面方程化简中的应用）
8.二次曲面的直纹性
课堂训练方案
充分利用静与动的关系加强曲面的形成及平行截线法的教学，提出思考的问题，通过典型例题加深问题的理解.
课外训练指导方案加强所学内容的练习与复习,补充深入理解的内容，增加大难度习题及讨论，提高问题的解决方案，增加参考文献，充分理解与练习平面截曲面问题.
自学指导方案
1.出示自学提纲，带着问题去自学;
2.提出学习中的问题;
3.平面截曲面的截线问题的方法（参阅有关文献）.
考试设计抓住曲面方程求法和曲面的性质，平面截曲面问题来设计考试题.
参考书目
1.《新编解析几何教学辅导》，石油大学出版社，1994;
2.陈志杰，《高等代数与解析几何》，高等教育出版社，2001.
课时安排
共20学时, 讲授16学时，习题课 2学时，复习2学时.
四、实践性教学要求
本课程是数学专业的基础课，与中学数学联系很大，本课程上课时制作部分模型，教学过程利用模型，使学生能直接观察，觉察出图形的各种特征，帮助思考，讲授是可以根据具体情况对内容作适当的调整，讲授要循序渐进，由浅入深，使学生真正体会到数学的奥妙．指导性的列出自学提纲与自学部分内容，成立课外学习小组，练习巩固所学内容，完成课下作业，了解问题的发展与延拓．
１３。