高中数学 第二章 平面向量 1 从位移、速度、力到向量教学案 北师大版必修4

1 从位移、速度、力到向量
[核心必知]
1．位移、速度和力
位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．
2．向量的概念
(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．
(2)向量的表示法
①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段．
②向量的表示法
(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A ，终点为B ，则该有向线段记作：
(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．(3)向量的模(长度)
向量 (或a)的大小，称为向量 (或a)的长度，也叫模，记作||(或|a|)．(4)与向量有关的概念
零向量长度为零的向量称为零向量，记作0
单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0
自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量
相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b
平行(共
线)
向量
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或
共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行
[问题思考]
1．有向线段就是向量，对吗？
提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．
2．相等向量的起点相同，对吗？
提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．
讲一讲
1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．
(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；
1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．
2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．
3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．
练一练
1．给出下列命题
(1)若|a|＝0，则a＝0；
(2)若a＝b，则|a|＝|b|；
(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
(5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；
(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；
(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；
(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；
(5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．
讲一讲
2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C 点，又改变方向向西走2 km到达D点．
(2)求小李到达D点时与A点的距离．
即小李到达D点时离A点4 km.
1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．
练一练
2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．
解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．
讲一讲
3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量．
1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．
练一练
3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )
解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立；
又AB∥FH，DC与EC共线都成立，
∴B，D成立．
而BD不一定等于EH，故C不一定成立．
[巧思] ＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．[妙解] 如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：
当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )
A．1个B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．
2．给出下列命题：
①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是( )
A．①② B．②
C．②③ D．③④
解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故
④不正确．
3. 设O为△ABC的外心，则是( )
A．相等向量
B．平行向量
C．模相等的向量
D．起点相同的向量
解析：选C 显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.
4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若＝3，则向量的模等于________．
解析：(1)相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.
5. 如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．
答案： 6
6．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．
解：如图，用向量表示某人的位移．
位移的大小为22＋22＝22个单位长度．
从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．
一、选择题
1．给出下列命题：
①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a<b；
③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．
2．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 3 m，则此人位移的方向是( ) A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
∴θ＝60°.
3．下列说法中正确的是( )
A．平行向量一定方向相同
B．共线向量一定相等
C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量
D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量
解析：选C 非零平行(共线)向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．
4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )
A．C A B．A∩B＝C
C．C B D．A∩B C
解析：选B ∵A∩B中还含有向量a，故B错．
二、填空题
5. 如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．
答案：菱形
6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．
7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．
8. 如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}．则集合T中有________个元素．
解析：集合T＝{PQ|P、Q∈M，且PQ≠0}中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，
}共含有8个元素．
答案：8
三、解答题
9．一架测绘飞机从A点向北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100 2 km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?
解：如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.
在Rt△CDF中，|CD|＝1002，
∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，
∴CF＝DF＝100，ED＝200，
在Rt△AED中，BE＝EA＝100，
∴|DA|＝1002＋2002＝1005(km)．
故飞机从D点飞回A点的位移大小为100 5 km.
10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．。