山东大学833信号与系统第32讲

y(k) 2 (k) (k 2)*2 (k 1) (k 2)
4 (k 1) 2 (k 2) 2 (k 3) (k 4)
4.查卷积和表(p34;表7－1） *捡验卷积结果正确与否的方法
a.参与卷积的两序列的各项之和的乘积 是否等于所得序列各项之和？
n f nk 1
nf
nk
y(k) f (k) h(k)
2 0 0 0
0
2
0
0
1 0 2 0
0
1
0
2
0 0 1 0
0 0 0
0 2
4
0 1 2
0 0 2
2 0 1
y(k) 0,4,2,2,1
L n n (m, L).(L.n) (m.n)
m L =m
3.单位序列卷积法
f (k) 2 (k) (k 2)*h(k) 2 (k 1) (k 2)
f (k)与h(k)所标数的乘积，为求卷积，只要将对角
线上的数值迭加即可。
f (k)
h(k)
2
0
00 0
-1
0
排表法
2 4 0 -2
12
0
-1
y(k) 0，4，2，-2, -1
yc f3 h3 1
f (k) f (0) f (1) f (2) f (3)
h(k)
h(0) h(0) f (0) h(0) f (1) h(0) f (2) h(0) f (3) h(1) h(1) f (0) h(1) f (1) h(1) f (2) h(1) f (3) h(2) h(2) f (0) h(2) f (1) h(2) f (2) h(2) f (3) h(3) h(3) f (0) h(3) f (1) h(3) f (2) h(3) f (3)
y(0) h(0) f (0)
y(1) h(0) f (1) h(1) f (0)
y(2) h(0) f (2) h(1) f (1) h(2) f (0)
......
2 0 1
0 21
2 0 1
4 0 2 000
0 4 2 2 1
y(k) 0,4,2,2,1 不进位乘法
*以矩阵相乘的形式出现
x2 (n) u[u(n 6) u(n 1)] (n 6) (n 1)
n
s(n) x1(n) * x2 (n) x1(i) x2 (n) i
1 n(n 1)[u(n) u(n 6)]15u(n 6) (n 6) (n 1)
2
{1 (n 6)(n 7)[u(n 6) u(n)]15[u(n) u(n 1)] 2
6.位移序列的卷积： y(k j) e(k)*h(k j) e(k j)*h(k) e(k j1)*h(k j j1) y(k j) e(k)*h(k j) e(k j)*h(k) e(k j1)*h(k j j1)
1. (n);因果，稳定 2. (n 5);因果，稳定 3.(n+4);非因果，稳定
4.2u(n);因果，非稳定 5.u(3-n); 非因果，不稳 6.2nu(n);因果，不稳定 7.3n u(n);非因果，稳定
8.2nG5 (n);因果，稳定
9.0.5n u(n);因果，稳定
10.0.5nu(n);非因果，不稳定
1.交换律： e(k) * h(k) h(k) *e(k)
2.分配律 :
e1(k) e2 (k)*h(k) e1(k) h(k) e2 (k)*h(k)
3.结合律：
[e(k)*h1(k)]*h2 (k) e(k)*[h1(k)*h2 (k)]
4.卷积和的差分 y(k) e(k) * h(k) e(k) * h(k) y(k) e(k) * h(k) e(k) *h(k)
a
1
1 1 a 1 an1 1 a
有界稳定
发散 不稳定
例 y(n) 1 y(n 1) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2) 5
• 求系统单位样值响应 h(n)
• 判断系统稳定性
解： 1 h(n) C( 1)n n 2
5
5
h(0) 1, h(1) 9 h(2) 66 C 66
m
n
mu(m)u(n m 6) n6 m 1(n 6)(n 7)u(n 6)?
m6
m0
2
n1
1
mu(m)u(n m 1) m (n 1)(n 2)u(n 1)
m
m0
2
mu(m 6)u(n m 6) n6 m [1(n 6)(n 7) 15]u(n)
x(k) x( j) (k j)
j
(k)
LDTIS
h(k)
k
0
k
c (k j)
ch(k j)
LDTIS
k
j
(k) h(k)
j
c (k) ch(k)
c (k j) ch(k j)
二.卷积和的计算 • 图解法 • 按公式计算 • 序列阵表格法 • 查表法 • 利用单位序列信号求卷积 • 利用卷积的性质求卷积
m
3.相乘：如n 4时h(4 m)
y(4) x(0)h(4) x(1)h(3) x(2)h(2)
4
x(3)h(1) x(4)h(0) x(m)h(4 m)
5.求和式
m0
0
n 0时
y(n)
n
n
anm an am 0 n N 1
m0
m0
a
n
[1
a 1
( n 1)
a 1
r 0
g(n) (2n 3 5n 10)u(n)
g(n 1) (2n1 35n1 10)u(n 1)
(n) u(n) u(n 1)
由 g(n) 求h(n)
h(n) g(n) g(n 1)
14 (n) (1 2n 12 5n )u(n 1)
特征根：
2
5
1 2 2 5
2 a1 a2 ( 2)( 5)
y(n) 7 y(n 1) 10 y(n 2) 14 x(n) 85 x(n 1) 111x(n 2)
二、根据单位样值响应 分析系统的因果性和稳定性
• 因果性：输入变化不领先于输出变化
必要条件 n 0 h(n) 0
• 稳定性：输入有界则输出必定有界
充分条件
h(n)
n
p4p040: :77228
5
25
h(n)
(n)
9
(n
1)
66
1
n
u(n
2)
5
5
h(n) 1 9 66(0.2)n
n0
5 n2
稳定系统
§7.6.卷积和
LTIS : y(t) e( )h(t )d
0
LDTIS : y(k) e( j)h(k j) j 0
任意序列都可以表示为 加权，移位的
单位取样序列之和：
k 0
k 0
k 0
0 4 2 2 1 (2 0 1)(0 2 1) 3
b.由y(k)和f (k)反求h(k),若与已知条件相符
0
y(k)便是正确的。2 0 1 0
2
4
1
2
h(k)
2 1
000
h(k)* f (k) y(k)
4 2 2
h(k) f 1(k)* y(k)
4 0 2 2 0 1
P32:例7－15
1.图解法：例.某系统的单位样值响应是
h(n) anu(n),其中0 a 1,若激励信号为
GN (n)即x(n) u(n) u(n N ),求响应y(n) ?
h(n)
x(m)
*
m m
h(m)
1.折迭：h(m)是 将h(m)依纵轴反 折后得到的。
m
h(n m)
2.位移：h(n m)是 将h(m)沿m轴右移 n得到的。
确定初始 条件
h(n) 1 (n2 3n 2)u(n) 2
例7－14
y(n) 5y(n 1) 6y(n 2) x(n) 3x(n 2)
只考虑 x(n)激励
1 2 2 3
h(0) 1, h(1) 0,
n
n
C1 2, C2 3
h1(n) C1 2 C2 3
n 1
n 1
h1(n) (3 2 )u(n)
a1 7 a2 10
2 7 10
h(n) 7h(n 1) 10h(n 2) b0 (n) b1 (n 1) b2 (n 2)
h(n) 14 (n) (1 2n 12 5n )u(n 1)
2
5
h(0) 14 h(1) 13 h(2) 62
n 0 h(0) 14 b0 14 n 1 h(1) 13 b1 98 13 85 n 2 h(n) 62 b3 62 7 13 1014 111
§7.5离散时间系统的单位样值响应
一、求系统单位样值响应（1）
(n) 离散时间系统
h(n)
• 一般时域经典方法求h(n)
• 将 (n)转化为起始条件，于是齐次解，即零
输入解就是单位样值响应h(n) 。
• 在 n 0 时，接入的激励转化为起始条件
• 在 n 0 时，接入的激励用线性时不变性
来进行计算。
11.1 n
u(n);因果，稳定
12. 1 u(n);因果，稳定 n!
11. 1 u(n);因果，不稳定 n
例：已知某系统的 h(n) anu(n)
问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？
n 0 u(n) 0 h(n) a u(n) 0 n
是因果系统
h(n)
n
a
nu(n)
a 1
n
p28.例7－3
y(n) 3y(n 1) 3y(n 2) y(n 3) x(n)
三重根
1
y(n) (C1n2 C2n C3 )(1)n
x(0) 1, x(1) 0, x(2) 0,
h(0) 1, h(1) 0, h(2) 0,
1
3
C1 2 C2 2 C3 1
齐次解
4.卷积和的求和
k
y( j) [ e( j)]* h(k) e(k) *[ h( j)]
j0
j
j
5.与单位序列的卷积：
e(k)* (k) e(k)
e(k)* (k j) e(k j)
e(k)* (k j) e(k j)
e(k j1) * (k j2 ) e(k j1 j2 )
1 (n 1)(n 2)[u(n 1) u(n 1)] 2
5.用函数式计算卷积
s(n) x1(n) x2 (n)
m[u(m) u(m 6)][u(n m 6) u(n m 1)]
m
mu(m)u(n m 6) mu(m)u(n m 1)
m
m
mu(m 6)u(m 6)u(n m 6) mu(m 6)u(n m 1)
方程，并已知当x(n)=u(n) 时的响应为：
g(n) (2n 3 5n 10)u(n)
（1）求系统单位样值响应 （2）若系统为零状态，求此二阶差分方程
解 设此二阶系统的差分方程的一般表达式为：
2
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) br x(n r)
2 a1 a2 0
只考虑 3x(n 2) 激励 h2 (n) 3h1(n 2) 3[3n1 2n1 ]u(n 2)
利用LTI
h(n) h1 (n) h2 (n) (3n1 2n1)u(n) 3(3n1 2n1)u(n 2)
求系统单位样值响应（2）
• 利用已知的阶跃响应求单位冲激响应h(n) 例：已知因果系统是一个二阶常系数差分
求：s(n) x1(n) x2(n)
n
n
n
n
解： x1(i) i[u(i) u(i 6)] i i
i
i0
i0 i6
应用杂级数
1 2 3 ... n 1 n(n 1)u(n) 2
n
1
1
i
x1 (n)
2
n(n
1)u(n)
[ 2
n(n
1)
(1
2
3
4
5)]u(n
Hale Waihona Puke 6)1 n(n 1)[u(n) u(n 6)]15u(n 6) 2
m
m6
2
[mu(m 6)u(n m 1)] n1 m [1(n 1)(n 2) 15]u(n 5)
m
m6
2
s(n) 1 (n 6)(n 7)[u(n 6) u(n)] 2
15[u(n) u(n 5)]
1 (n 1)(n 2)[u(n 1) u(n 5)] 2
三.卷积和的性质
2 0 1
0
4.利用差分性质求卷积(可以证明）
x1(n) x2 (n) [ x1(i)]x2 (n)＝x1(n) x2 (i)
i
i
f1
f2
df1 dt
t
f2 ( )d
d 2 f1 dt 2
tt
f2( )d
已知：x1(n) n[(u(n) u(n 6)]; x2(n) u(n 6) u(n 1)
]
a n [11aaN1
]
y(n)
n
*离散卷积和的动画演示：
2.序列阵表格法(排表法）
例:已知f (k)和h(k)如图所示，试用几种
不同的方法求卷积和y(k )并验证之。
2 f (k)
4
h(k)
2
01
k*
1
1
0 12
k
常采用的方法为表格的顶端序列以f (k)表示，左面
边界纵排序列以h(k )表示，表中所记录的数字相应于