湘教版数学八年级下册-第2章第5节《矩形》同.docx

初中数学试卷 鼎尚图文**整理制作
2015-2016学年湘教版八年级数学下册第2章第5节《矩形》同步测试与解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016•灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则下面的结论：
①△ODC 是等边三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°；④S △AOE =S △COE ， 其中正确结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，矩形CEFG 上的点G 在CD 边，EF=a ，CE=2a ，连接BD 、BF 、DF ，则△BDF 的面积是（ ）
A ．32
B ．16
C ．8
D ．16+a 2
3．（2016•鄂州一模）如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标（﹣2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是（ ）
A ．（
74，72）、（﹣12，4） B ．（32，3）、（﹣23
，4） C ．（32，3）、（﹣12，4） D ．（74，72）、（﹣23，4）
4．（2014•大庆校级模拟）下列各组条件中，能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）
A ．∠A+∠B=90°
B ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD
C ．AB ∥C
D ，AD=BC ，AC=BD D ．AC=BD ，∠A=90°
5．（2014•吴江市模拟）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知下列6个条件：
第1题图
第2题图
①AB ∥DC ；②AB=DC ；③AC=BD ；④∠ABC=90°；⑤OA=OC ；⑥OB=OD ． 则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．②⑤⑥
D ．④⑤⑥
6．（2014春•曲阜市期末）已知：线段AB ，BC ，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD ．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A ．两人都对
B ．两人都不对
C ．甲对，乙不对
D ．甲不对，乙对
7．（2016春•丹阳市校级月考）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）
A ．1.2
B ．1.3
C ．1.4
D ．2.4
8．（2015春•武汉校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值 是（ ）
A ．2.5
B ．2.4
C ．2.2
D ．2
9．（2014•永嘉县校级模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ）
第7题图
第8题图
A ．2
B ．2.2
C ．2.4
D ．2.5
10．（2014•乐清市二模）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（ ）
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先减小后增大
D ．先增大后减少
二．填空题（共7小题）
11．（2015春•太康县期末）如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，则最快 s 后，四边形ABPQ 成为矩形．
12．（2014春•淮阴区校级月考）已知平面上四点A （0，0），B （4，0），C （4，2），D （0，
2），直线y=mx ﹣m+2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为 ．
13．（2012•团风县模拟）如图．△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是 ．
14．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE=CD ，连接AE 交BC 于F ，∠AFC=n ∠D ，当n= 时，四边形ABEC 是矩形．
第11题图
第13题图 第14题图
第15题图
15．（2013秋•扬中市校级月考）如图1，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B=；
如图2，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）．
16．（2016•淅川县一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P 是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是．
17．（2016春•建湖县校级月考）矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为．
三．解答题（共6小题）
18．（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
19．（2015•枣庄校级模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．
（1）证明：△A1AD1≌△CC1B；
（2）若∠ACB=30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形．（直接写出答案）
20．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．
21．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．
22．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．
23．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为；
对图（3）的探究结论为；
证明：如图（2）
试题解答参考
一．选择题（共10小题）
1．（2016•灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=1
2
（180°﹣∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S COE，∴④正确；
故选C．
2．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（）
A．32 B．16 C．8 D．16+a2
解：根据题意得：
△BDF的面积=8×4+2a•a+1
2
×2a（4﹣a）﹣
1
2
×8×4﹣
1
2
a（2a+8）=32+2a2+4a﹣a2﹣16﹣a2
﹣4a=16；
故选：B．
3．（2016•鄂州一模）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）
A．（7
4
，
7
2
）、（﹣
1
2
，4）B．（
3
2
，3）、（﹣
2
3
，4）C．（
3
2
，3）、（﹣
1
2
，4）
D．（7
4
，
7
2
）、（﹣
2
3
，4）
解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、∵点A坐标（﹣2，1），点C纵坐标为4，
∴AF=1，FO=2，AE=3，
∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，
∴∠EAC=∠AOF，
∵∠E=∠AFO=90°，
∴△AEC∽△OFA，
∴，
∴EC=3
2
，∴点C坐标（﹣
1
2
，4），
∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，
∴CN=2，BN=1，BM=MN﹣BN=3，BM=AE=3，OM=EC=3
2
，
∴点B坐标（3
2
，3），
故选C．
4．（2014•大庆校级模拟）下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．∠A+∠B=90°B．AB∥CD，AB=CD，AC=BD
C．AB∥CD，AD=BC，AC=BD D．AC=BD，∠A=90°
解：A、不能判断四边形ABCD为矩形，故A选项错误；
B、由AB∥CD，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，
AC=BD，所以平行四边形ABCD为矩形．故B正确．
C、不能判断四边形ABCD为矩形，故C选项错误；
D、AC=BD，∠A=90°，不能判断四边形ABCD为矩形，故D选项错误；
故选B．
5．（2014•吴江市模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．
则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
解：A、①AB∥DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．（2014春•曲阜市期末）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A ．两人都对
B ．两人都不对
C ．甲对，乙不对
D ．甲不对，乙对
解：由甲同学的作业可知，CD=AB ，AD=BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴▱ABCD 是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM ，MD=MB ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴▱ABCD 是矩形．
所以乙的作业正确；
故选A ．
7．（2016春•丹阳市校级月考）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）
A ．1.2
B ．1.3
C ．1.4
D ．2.4
解：连结AP ，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=2234+=5，
∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，
∴四边形AFPE 是矩形，
∴EF=AP ．
∵M 是EF 的中点，
∴PM=1
2 AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP=34
5
=2.4，
∴AP最短时，AP=2.4，
∴当PM最短时，PM=1
2
AP=1.2．
故选A．
8．（2015春•武汉校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2
解：如图，连接CD．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=1
2
BC•AC=
1
2
AB•CD，
即1
2
×4×3=
1
2
×5•CD，
解得CD=2.4，
∴EF=2.4．
故选B．
9．（2014•永嘉县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：1
2
×4=
1
2
×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选C．
10．（2014•乐清市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
解：如图，连接AP．
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选C．
二．填空题（共7小题）
11．（2015春•太康县期末）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B
和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得
3x=20﹣2x．
解得x=4，
故答案为：4．
12．（2014春•淮阴区校级月考）已知平面上四点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直线y=mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为﹣1．
解：∵点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），
∴四边形ABCD为矩形，
∵直线y=mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y=mx﹣m+2过矩形的对角线的交点，
而矩形的对角线的交点坐标为（2，1），
∴2m﹣m+2=1，
∴m=﹣1．
故答案为﹣1．
13．（2012•团风县模拟）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是
23．
解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF=1
2 BC，
又∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∵BC=2，∴DF=1
2
BC=1，
在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，
∴tan30°=，即AD=3，
∴CD=AD=3，
则矩形BCDE的面积S=CD•BC=23．
故答案为：23
14．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．
解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE=∠D，
由题意易得AB∥EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∴四边形ABEC是矩形，
故答案为：2．
15．（2013秋•扬中市校级月考）如图1，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B=50°；
如图2，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A=90°（填上你认为正确的一个答案即可）．
解：（1）∵∠BAC=80°，
∴∠EAC=100°，
∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=50°，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠EAD=50°；
（2）添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：50°，∠A=90°．
16．（2016•淅川县一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P 是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是4＜a＜5．
解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴对角线AC==10，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴8＜AP＜10，
连接AP，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=1
2 AP，
∴4＜a＜5．
故答案为：4＜a＜5．
17．（2016春•建湖县校级月考）矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为10cm2或15cm2．
解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC
又∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE．
当AE=2cm，DE=3cm时，AD=BC=5cm，AB=CD=AE=2cm．
∴矩形ABCD的面积是：2×5=10cm2；
当AE=3cm，DE=2cm时，AD=BC=5cm，AB=CD=AE=3cm，
∴矩形ABCD的周长是：5×3=15cm2．
故矩形的周长是：10cm2或15cm2．
故答案是：10cm2或15cm2．
三．解答题（共6小题）
18．（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
（2）连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由（1）知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴（6﹣x）2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
19．（2015•枣庄校级模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．
（1）证明：△A1AD1≌△CC1B；
（2）若∠ACB=30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形．（直接写出答案）
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．
∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1
∴AA1=CC1，∠A1=∠ACB，A1D1=CB．
∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）．（6分）
（2）解：∵∠CAB=60°，
又∵四边形ABC1D1是菱形，
∴∠BC1A=60°，
∴△ABC1是等边三角形，
∴AC1=BC1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠C1BC=∠ACB=30°，
∴BC1=CC1=AC1，即C1为AC的中点，
∴当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．（9分）
20．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．
证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM=BE，FB=FM，
∵矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，
∵CE=AC，
∴AC=CE=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．
21．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．
解：有两对全等三角形，分别为：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE．
解法一：
求证：△AA′E≌△C′CF．
证明：由平移的性质可知：
∵AA′=CC′，
又∵∠A=∠C′，
∠AA′E=∠C′CF=90°，
∴△AA′E≌△C′CF．
解法二：
求证：△A′DF≌△CBE．
证明：由平移的性质可知：A′E∥CF，A′F∥CE，
∴四边形A′ECF是平行四边形．
∴A′F=CE，A′E=CF．
∵A′B=CD∴DF=BE，
又∵∠B=∠D=90°，
∴△A′DF≌△CBE．
22．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=1
2
AC，BO=OD=
1
2
BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO．
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC==43cm，
∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×43cm=163cm2．
23．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为PA2+PC2=PB2+PD2；
对图（3）的探究结论为PA2+PC2=PB2+PD2；
证明：如图（2）
解：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2．
（1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，
根据（1）中的结论可得，
在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，
∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，
同样根据（1）中的结论可得，
在矩形BCNM中有PC2+PM2=PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2=PD2+PM2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．。