等腰三角形动点问题探究

《等腰三角形》动点问题动点问题探究
播州区泮水中学谭洪康
教学设计：
一、学习目标：
1、概念：等腰三角形：有两边相等的三角形.,
2、性质：
（1）等腰三角形两底角相等（等边对等角）；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（三线合一）；
3、掌握分析动点问题的方法，化动为静；
4、掌握数形结合思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法解决动点问题.
二、教学重点、难点：
教学重点：
1、等腰三角形的概念及性质；
2、解决动点问题的思路和方法.
3、规范书写，提高得分点.
教学难点：
在动点问题中“怎样化动为静”，“快速准确地找到解决问题的突破口”
三、教学内容：
中考数学专题复习--等腰三角形动点问题
图形中的点、线、面的运动，构成了数学中的一个新问题----动态问
题。

在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

(一)、一个动点：图形中一个动点所形成的等腰三角形问题
例1：如图，已知平行四边形ABCD 中AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s 。

若设运动时间为t （s ），连接PC ，当t 为何值时，ΔPBC 为等腰三角形？
提示：如图，连接PC
以BP 、BC 边为等腰ΔPBC 的腰 ∴PB=BC 即7-t=4
即：t=3
所以当t=3s 时， ΔPBC 为等腰三角形
归纳：1、定图形；2、表线段；3、列方程；4、解问题
注意：分情况考虑等腰三角形的底和腰
如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P 从点A 沿射线AB 运动，速度仍是1cm/s 。

设运动时间为t （s ），连接PC ，当t 为何值时，ΔPBC 为等腰三角形？
1、如图已知 ABCD 中，AB=7cm ，BC=4cm ，∠A=30°
C
A
P
A
(2)若点P 从点A 沿射线AB 运动，速度仍是1cm/s 。

当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？
规范书写，提高得分点
解：如图（1）当以B 为顶点时，BP=BC ，连接PC ，以BP 、BC 边为腰
∴PB=BC=4，
7-t=4
即：t=3
所以当t=3S 时， ΔPBC 为等腰三角形如图(2)以点B 为顶点，连接PC ，以BP 、BC 边为腰
∴ PB=BC=4，AP=AB+BP=7+4=11，
即t=11 (S)
所以当t=11S 时， ΔPBC 为等腰三角形
如图（3）以点P 为顶点时，PB=PC
连接PC ，以BP 、PC 边为腰,过P 作PE ⊥BC
∵PB=PC PE ⊥BC ∴BE=1/2BC=2
∴ 在Rt ΔPBE 中 cos30︒=BE/BP 得 PB=
∵ AP=AB+BP ∴ t=
所以，当t= (S)时ΔPBC 为等腰三角形
如图（4）以点C 为顶点，CB=CP ，连接PC ，以BC 、PC 边为腰,过C 作CE ⊥BP 在RT ΔBEC
中 ，cos30︒=BE/BC 得 BE==2√3
∵ BC=PC CE ⊥BP ∴BP=2BE=4√3
∵ AP=AB+BP
A
A
A
A
∴AP= 即：
所以，当t= (S)时ΔPBC为等腰三角形
综上所述：当t=3s、11s、时，ΔPBC为等腰三角形
三：实践新知，提炼应用
例2.如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）2-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O 作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．
（1）求抛物线的解析式、直线AB的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．
问题1：当t为何值时，△OPQ为等腰三角形？
问题2：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．
四、课堂小结：
1、动点问题的关键：起点，终点，方向，速度，最终用路程表示线段的长。

2、步骤：(1)、定图形；(2)、表线段；(3)、列方程；(4)、解问题
3、常用知识：相似、三角函数、特殊角的性质、面积公式、勾股定理等知识；
数学思想：
化动为静、分类讨论、数形结合、构建数学模型（如：函数模型，方程模型，直角三角形模型，相似模型等）
五、作业布置：
2如图，矩形ABCD中，AB=6，BC= ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。

设运动的时间为t秒（t≥0）。

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t ,使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由。