数值积分法稳定性分析

当系统有实根 λ = α(α < 0)时，为了保证计算稳定性， 要求
h <
结论：步长 h
2
α
，
必须小于系统时间常数的两倍。
(2) 后差公式为
(1 − λ h ) y n + 1 −
差分方程的特征根
1 z = = 1 − λh 1
y n +1 = y n + h λ y n +1 yn = 0
<1
(1 − h α )2 + h 2 β 2
此思想，也适用于其他数值积分方 法。 类似地可得RK法的绝对稳定域
1 1 2 r Gr = λh : 1 + λh + (λh) + ⋅ ⋅ ⋅ + (λh) < 1 2! r! 据此可得出各类RK公式的稳定条件。
表3.4 RK方法的稳定区域
r
Gr
(− 2,0)
G1(− 2ຫໍສະໝຸດ 0)判断： 判断： 不同的数值解法对应着不同的差分
递推公式。一个数值法是否稳定取决于该
差分方程的特征根是否满足稳定性要 求。
3.4.2 稳定性分析
以Euler法为例说明各种数值积分方法稳定 性分析方法。Euler公式有以下三种形式： (1) 前差公式
y n +1 = y n + hf n
(2) 后差公式
3.4 数值积分法稳定性分析
3.4.1 数值解法稳定性含义
考虑如下一阶系统 & y + 10 y = 0 , y (0 ) = 1 采用Euler法求其数值解。 设计算步长为 h ,则Euler递推公式为
(1 − 10 ) =
y n +1 = y n + h (− 10 y n ) = (1 − 10 h ) y n
G2
(− 2.51,0)
G3
(−2.78,0)
G4
表3.5 Adams 法的稳定域
(− ∞ ,0 )
(− 2,0)
(− ∞,0)
(− 1,0 )
(− 6 11,0) (−3 10,0) (− 6,0 ) (− 3,0 )
条件稳定算法，步长 等式
h 必须满足下列不
λh < M
λ 其中 M 为由积分方法确定的常数。 相当于
n +1
y 0 = (1 − 10 h )
n +1
1 (1)当 h > 0.2 时， − 10 h > 1，递推结果发散； (2)当h = 0.2 时，数值解显等幅振荡趋势； (3)当 0 < h < 0.2 时，递推结果收敛。
所谓数值解的稳定性: 所谓数值解的稳定性
指在扰动(初始误差、舍入误差、截断误差 等)影响下，其计算过程中的累积误差不会 随计算步数的增加而无限增增长。
结论：只要原方程稳定，那么利用后 差公式获得的差分方程的特征根一定落 在单位圆内，与步长无关。后差公式是 恒稳定的。
(3) 对于梯形公式，其差分方程特征根为
z
2
(1 + αh 2) + (βh 2) < 1， < 0) (α = 2 2 (1 − αh 2) + (βh 2)
2 2
也是恒稳定的。
连续系统微分方程或状态方程的特征根 或闭环系统的极点。 或闭环系统的极点
yn+1 = yn + hfn+1
h yn+1 = yn + ( fn + fn+1 ) 2
(3) 梯形公式
& 以检验方程 y = λy 为例进行稳定性 讨论，λ = α + jβ ,α < 0 。
(1) 前差公式为
yn+1 = yn + λhyn = (1+ λh) yn
1 + λh < 1
要使上述差分方程稳定，必须使