报童卖报收益研究

报童卖报收益研究
问题二：
在报童和报社的利益放到一起考虑，研究怎样通过双方的博弈，让报童订购更多的报纸，使报童和报社的利益得以协调。

那么报童每天要订购多少份报纸，以获得最大的收入。

报童每天从报站批发报纸零售，晚上将没有卖完的报纸送回。

每份报纸的批发价为b，零售价为a，退回价为c，且a > b > c。

因此，报童每售出一份报纸赚钱(a b)，退回一份报纸赔(b c)，报童该如何确定每天的批发数量，可使收益最大
设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。

即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。

二．模型假设
（1）假设报童已经通过自己的经验或者其他的渠道掌握了每天报纸需求量为r份的概率是f(r)。

（2）不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。

（3）报社有足够的报纸可供报童购买。

（4）当天的报纸卖不出去，第二天就没有人再买，当天剩余报纸要退回报社。

（5）报童除了在从报社买报所需费用以外，其他费用（如交通费、摊位费等）一概不计。

三．符号说明
四．问题分析
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。

设每份报纸的批
发价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a > b > c 。

也就是说，报童每售出一份报纸赚钱(a b)，退回一份报纸赔(b c)，报童该如何确定每天的批发数量，可使收益最大。

根据需求量确定购进量，需求量是随机的。

假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)。

有了f(r)和a, b,c ,就可以建立关于购进量的优化模型。

假设每天报纸购进量是n 份，因为需求量是随机的，r 可以小于等于或大于n ，所以报童每天的收入也是随机的,所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（月，年）卖报的日平均收入。

设报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n), 如果这天的需求量r<=n, 则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n,则n 份将全部售出。

考虑到需求量为r 的概率是p(r)，所以
∑∑=∞+=-+----=n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01)()()()])(()[()( ，
记报童每天购进n 份报纸时平均收入为)(n G ，考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以 当 r n ≤时，报童的日均收入为
()0()[()()()]n r G n P r a b r n r b c ==----∑当r ＞n 时，报童的日均收入为
()1()()r n G n P r a b n ∞
=+=-∑； 故()01
()[()()()][()()]n r r n G n P r a b r n r b c P r a b n ∞==+=----+-∑∑
故∑∑=∞+=-+----=n
r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01)()()()])(()[()( ，
把r 看作离散型随机变量
由题意知，r<n 时，；
其中，报童的日均损失为()0()()()
n r L n P r b c n r ==--∑
报童的日均损失。

报童的日均损失为01()()()()()()()n r r n L n b c n r P r a b r n P r ∞==+=--+--∑∑
因为当购进n 份报纸时，是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率；是需求量r 超过n 的概率，所以（3）式表明，购进的份数n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。

显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚的钱之比越大时，报童购进的分数就应该越多。

问题二的分析：
首先对报童模型作简单的重述和补充（数学符号有变化）。

设报纸每份的订购价为w，零售价为p，（未卖出的）处理价为v(p>w>v>0),需求量是密度函数为f(x)、分布函数为F（x）的连续随机变量，且F(0)=0.如果报童订购Q份报纸，则期望销售量为
需要处理的期望存货量为
于是报童的期望利润为
报童的最优订购量为Q，满足
通常报纸是报童从报社订购的，假设报社每份报纸的成本价为c,可以合理地假设报童的订购价w（即报社的批发价）满足w≥c>v。

仍让假定信息是完全的（即双方均拥有以上信息），此时报社和报童的决策可以通过如下两个阶段动态的博弈模型来描述：第一阶段，由报社决定批发价w；第二阶段，游报童决定订货量Q.
动态博弈一般通过反回归纳法求解。

首先考虑第二个阶段的问题，即对于给定的w，报童的最优订货量Q是w的函数，不妨记为Q（W），称为报童的最优反应，即报童的战略。

然后，对于第一阶段，报社按照利润最大决定批发价w,其决策问题是
求解上式可以得到最优的批发价w，此时，战略组合（w*,Q(w)）就构成了这个动态博弈的均衡，称为子博弈完美均衡。

在这个均衡的结果下，报童和报社的利益方在一起考虑，例如报社直销（或者等价的说，报社与报童是一个整体）并最大化自己的期望利润，报社和报童对没有卖完的报纸的处理价均为v，则报社印刷报纸的最优数量Q*，应满足
因为一般来讲w*>c，所以给出的报社的报童的最优订购量（w*）<Q*，这表明从整体来看，报童的订购量不足。

报社和报童双方能否想办法使报童的订购量提高到Q*，如果呢个，我们就说整个系统达到了协调。

目前报社的决策变量只有批发价格w，只有让w=c,才能使报童把订购量提高到Q*。

而这相当于报社不赚够钱，所以仅仅简单地降低批发价格一般不能是整个系统达到协调。

下面将以确定的Q*作为报童的最优订购量，寻求使报社和报童双方利益达到协调的途径，最常用的方法之一是通过谈判达成对双方具有约束力的协议，对双方的行为进行协调。

价格折扣协议模型
价格折扣是一种常见的营销策略，在这一协议下，报童订购的数量Q越多，则单价越低，即批发价w（Q）是Q的一个减函数。

对于给定的折扣方案w(Q),
则报童的期望利润为
而当报社与报童作为一个整体联合决策时，批发价w等于成本价c，利润函数为
如果报社和报童经协商同意，报童按照批发价w（Q）订购时，其利润占总体联合时利润的比例为，即
这样，报童的决策就会与整体决策一致，
这就是可以协调整体的价格折扣方案。

越大，报童的利润越大，报社的利润越小当在0< 《1变化时，总利润在双方之间的任意匹配比例都可以达到。