高中数学 第2章 概率 2.4 二项分布学业分层测评 北师

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 概率 2.4 二项分
布学业分层测评 北师大版选修2-3
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )
A ．0.93
B ．1－(1－0.9)3
C ．C 3
5×0.93
×0.12
D ．C 3
5×0.13
×0.92
【解析】 由独立重复试验恰好发生k 次的概率公式知，该事件的概率为C 3
5×0.93
×(1－0.9)2
.
【答案】 C
2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为1
4，现有流星数量为5的流星群穿过大气层
有2个落在地面上的概率为( )
A.1
16 B.135512 C.
45
512
D.27
1 024
【解析】 此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 2
5·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫142
·⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝135512
. 【答案】 B
3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为65
81
，
则事件A 在1次试验中出现的概率为( )
A.1
3 B.25 C.5
6
D.34
【解析】 设所求概率为p ，则1－(1－p )4
＝6581，得p ＝13.
【答案】 A
4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向
为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是
( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 2
5×⎝ ⎛⎭⎪⎫125
C ．C 3
5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
D ．C 25×C 3
5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫125
【解析】 如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所以概率为
P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫
122×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
5
.故选B. 【答案】 B
5．若随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．1或2 B ．2或3 C ．3或4
D ．5
【解析】 依题意P (ξ＝k )＝C k
5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243，P (ξ＝3)＝40
243，P (ξ＝
4)＝10243，P (ξ＝5)＝1
243
.故当k ＝2或1时，P (ξ＝k )最大．
【答案】 A 二、填空题
6．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________．(已知0.999
1 000
≈0.367 70,0.999999
≈0.368 06，精确到0.000 1)
【解析】 设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B (1 000，0.001)． (1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P (A )＝1－P (X ＝0)＝1－0.9991 000
≈1－0.367 70
＝0.632 3.
(2)恰好发生一次车祸的概率为
P (X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999
999≈0.368 06≈0.368 1. 【答案】 0.632 3 0.368 1
7．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰
好为两个正数和一个负数的概率为______．(用数字作答)
【解析】 由已知可求通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝2
5，取得负数
的概率为1
2
.
∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 2
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝625
.
【答案】
625
8．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～
B (10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，
p )；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数
X 是随机变量，且X ～B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
n ，12
.
【解析】 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量
X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合
二项分布的定义．
【答案】 ①② 三、解答题
9．(2016·滨州高二检测)某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X ，求X 的分布列．
【解】 由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为1
3，4名人员选择A 社区即4次
独立重复试验，
即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以P (X ＝k )＝C k
4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)，所以X 的分布列为
三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为3
5，
乙队获胜的概率为2
5
，且每局比赛的胜负是相互独立的．
(1)求甲队以3∶2获胜的概率； (2)求乙队获胜的概率．
【解】 (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P 1，则P 1＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫352
·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35＝
6483 125. (2)设乙队获胜的概率为P 2，则P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35·25＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫252·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25＝
9923 125
.
能力提升]
1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )
A ．0.216
B ．0.36
C ．0.432
D ．0.648
【解析】 甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62
＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 1
2×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p ＝p 1＋p 2＝0.648.
【答案】 D
2．(2016·孝感高级期中)掷一枚质地均匀的骰子n 次，设出现k 次点数为1的概率为
P n (k )，若n ＝20，则当P n (k )取最大值时，k 为( )
A ．3
B ．4
C ．8
D ．10
【解析】 掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X ，X ～B ⎝
⎛⎭⎪⎫20，16，
P n (k )＝C k 20·⎝ ⎛⎭⎪⎫
5620－k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫16
k
. P n k P n k －
＝15⎝ ⎛⎭
⎪⎫21k －1. 当1≤k ≤3时，15⎝ ⎛⎭⎪⎫21k －1>1，P n (k )>P n (k －1)．当k ≥4时，15⎝ ⎛⎭⎪⎫
21k －1<1，P n (k )<P n (k －
1)．因此k ＝3时，P n (k )取最大值．故选A.
【答案】 A
3．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________. 【导学号：62690040】
【解析】 所有同学都不通过的概率为(1－p )n
，故至少有一位同学通过的概率为1－(1
－p )n
.
【答案】 1－(1－p )n
4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．
【解】 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝1
3
.
(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13， 则P (X ＝0)＝C 0
3·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827
，
P (X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫
131·⎝ ⎛⎭⎪⎫23
2
＝49， P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23
1
＝29
， P (X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
3＝
127
. X 的分布列如下：。