2016届高考数学一轮总复习108二项分布及其应用练习

第八节二项散布及其应用 ( 理)
时间： 45 分钟分值：100分
基础必做
一、选择题
1．(2015 ·唐山市期末 ) 如图，△ ABC和△ DEF都是圆内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在△ ABC 内”， B 表示事件“豆子落在△ DEF 内”，则 P(B|A) ＝ ( )
. 3
3 . 3
A
4πB
2π
C.31
D.3
2
分析△ABC≌△ DEF，设边长为3，△ABC与△ DEF重叠部分是边长
为 1 的正六边形 P(B|A)
S正六边形
S 3 3
2
S圆 2
＝＝正六边形＝，选D.
＝＝ 3
S S 2 3
△ABC △ABC
S ·3
4
圆
答案 D
2．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6 和 0.5 ，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )
A．0.45 B．0.6
． 0.65 ． 0.75
C D
分析设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由 P(B) ＝0.6 ×0.5 ＋0.4 ×0.5
＋0.6 ×0.5 ＝ 0.8 ，又因为 A? B，所以 P(AB) ＝ P(A) ＝ 0.6 ，得 P(A|B) ＝＝0.6
＝ 0.75.
0.8
答案 D
3．国庆节放假，甲去北京旅行的概率为1，乙、丙去北京旅行的概率分别为1，1 . 假设
3 4 5
三人的行动互相之间没有影响，那么这段时间内起码有
1 人去北京旅行的概率为 ()
59
3
A . 60
B . 5
. 1
. 1
C 2
D
60
1 1 1
分析 因甲、乙、丙去北京旅行的概率分别为 3，4， 5. 所以，他们不去北京旅行的概率
2 3 4 1 人去北京旅行的概率为
P ＝
2 3 4 3
分别为 ， ， ，起码有 1－×× ＝ .
3 4 5
3 4 5 5 答案 B
4．一个平均小正方体的六个面中，三个面上标明数
1，两个面上标明数 2，一个面上标
注数 3，将这个小正方体投掷
2 次，则向上的数之和为
3 的概率为 (
)
A . 6
1
B . 4
1
C . 3
1
D . 2
1
分析 设第 i 次向上的数是 1 为事件 A ，第 i 次向上的数是 2 为 B ， i ＝ 1,2 ，则 P(A )
i
i
1
＝P(A ) ＝
2， P(B ) ＝P(B ) ＝ 3，则所求的概率为 P(A B ) ＋ P(A B ) ＝P(A )P(B
) ＋ P(A )P(B )
2 1 1 2
1
1 2
2 1
1
2
2
1
1 1 1 1 1
＝ 2× 3＋ 2× 3＝ 3.
答案 C
5．一个口袋中有 5 个白色乒乓球和 5 个黄色乒乓球 ( 乒乓球除颜色不一样外其余均同样 ) ， 从中任取 5 次，每次拿出 1 个后又放回， 则抽取的 5 次中恰有
3 次取到白球的概率是 (
)
. 1
. 3
A 2
B 5
3
C 5
3
5
C C
D ． C ·0.5
5
5
分析 由题意知，任取一次取到白球和黄球的概率均为
0.5. 随意取球 5 次，恰有 3 次
取到白球的概率为 P 5(3) 3
3
·(1 － 0.5) 5－ 3
3
5
.
＝ C 5·0.5 ＝ C 5·0.5
答案 D
6．如图，用 K ，A 1，A 2 三类不一样的元件连结成一个系统．当
K 正常工作且 A 1，A 2 起码有 一个正常工作时，系统正常工作．已知
K ， A ， A 正常工作的概率挨次为 0.9 、 0.8 、 0.8 ，
1
2
则系统正常工作的概率为 ()
A ． 0.960
B ． 0.864
C ． 0.720
D ． 0.576
分析 可知 K ，A 1， A 2 三类元件正常工作互相独立．所以当
A 1， A 2 起码有一个能正常工
作的概率为 P ＝ 1－ (1 － 0.8) 2
，所以系统能正常工作的概率为 K
×0.96 ＝
＝ 0.96 P ·P ＝0.9 0.864.
答案 B
二、填空题
3
7．设 A 、 B 为两个事件，若事件 A 和 B 同时发生的概率为
10，在事件 A 发生的条件下，
事件 B 发生的概率为 1
，事件 A 发生的概率为 __________．
2
分析 由题意知： P(AB) ＝ 3 ， P(B|A) ＝ 1
，
10 2 3
10 3
∴P(A) ＝
＝1＝5.
2
答案
3
5
8．有一批种子的抽芽率为 0.9 ，出芽后的幼苗成活率为
0.8 ，在这批种子中，随机抽取
一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为
__________ ．
分析 设种子抽芽为事件 A ，种子成长为幼苗为事件 AB(抽芽，又成活为幼苗 ) ，出芽后
的幼苗成活率为： P(B|A) ＝ 0.8 ， P(A) ＝ 0.9.
依据条件概率公式 P(AB) ＝P(B|A) ·P(A) ＝0.9 ×0.8 ＝ 0.72 ，即这粒种子能成长为幼苗
的概率为 0.72.
答案 0.72
9．连续掷一枚平均的正方体骰子
(6 个面分别标有 1,2,3,4,5,6) ．现定义数列 {a } ：当
n
向上边上的点数是 3 的倍数时， a n ＝1；当向上边上的点数不是 3 的倍数时， a n ＝－ 1. 设 S n
是其前 n 项和，那么 S 5＝ 3 的概率是 ________．
分析 由 S ＝3 知：投掷 5 次中向上边上的点数是
3 的倍数发生
4 次，其概率为： P ＝
5
4 1 4 · 1－ 1
10
5
3
3 ＝ .
C
243
答案
10
243
三、解答题
10．投掷红、蓝两颗骰子，设事件
A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件
B 为“两颗
骰子的点数之和大于
8”．
(1) 求 P(A) ， P(B) ， P(AB)；
(2) 当已知蓝色骰子的点数为
3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率．
2 1
解 (1)P(A) ＝6＝ 3.
∵两颗骰子的点数之和共有
36 个等可能的结果，点数之和大于 8 的结果共有 10 个．
10
5
∴ P(B) ＝ 36＝ 18.
当蓝色骰子的点数为
3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB) ＝
5 36
.
5
36 5
(2) 由 (1) 知 P(B|A) ＝
＝ 1 ＝ 12.
3
11．2013 年 6 月“神舟”发射成功．此次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、
实验、讲课、返回．据统计，因为时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分
3 1 1 2 别为 ，
， ， ，而且各个环节的直播收看互不影响．
4 3
2 3
(1) 现有该班甲、 乙、丙三名同学， 求这 3 名同学起码有 2 名同学收看发射直播的概率；
(2) 若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数，求 X 的散布列．
解 (1) 设“这 3 名同学起码有
2 名同学收看发射直播”为事件
A ，
2
3
2
3
3
3 3
27
3
4 × 1－
3
4
＝32.
则 P(A) ＝C 4 ＋ C (2) 由条件可知 X 可能取值为 0,1,2,3,4.
3 1
1 2 1 3 1 1
P(X ＝ 0) ＝ 1－ 4 × 1－3 × 1－2 × 1－ 3 ＝36；P(X ＝1) ＝ 4 × 1－3 × 1－2
2 3 × 1－3 ＋ 1－4
1 2 3 1
2 3 1 1 ×1
×1－ ×1－ ＋1－ ×1－ ×1
×1－ ＋1－ ×1－ ×1－ ×2
＝
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
13
72
；
3 1 1 2
3
1
1
1－ 2 3 × 1－ 1 1 2
P(X ＝2)＝ × × 1－
2 × 1－ ＋ × 1－ × ×
3 ＋ 3 × 1－ × ＋
4
3
3 4 3 2 4
2 3 3 1 1 2
3
1
1
2
3
1 1
2 7
1－ 4 ×3×2× 1－3 ＋ 1－4 ×3× 1－2 ×3＋ 1－4 × 1－3 ×2× 3＝18；
3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
1 2 3 1 1 2
P(X ＝ 3) ＝ 1－4 ×3×2×3＋ 4× 1－ 3 ×2× 3＋4×
3× 1－2 ×3＋4×3× 2× 1－ 3
23
＝ 72；
3 1 1 2
1
P(X ＝ 4) ＝ 4× 3× 2× 3＝ 12.
即 X 的散布列
X 0 1 2 3 4 P
1 13
7 23 1 36
72
18
72
12
培 优 演 练
1．某次数学测试共有 10 道选择题， 每道题共有四个选项， 且此中只有一个选项是正确的，评分标准规定： 每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得 0 分．某考生每道题都选并能确立此中有 6 道题能选对， 其余 4 道题没法确立正确选项， 但这 4 道题中有 2 道题能清除两个错误选项， 另 2 道只好清除一个错误选项， 于是该生做这 4 道题时每道题都从不可以清除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．
(1) 求该考生本次测试选择题得
50 分的概率；
(2) 求该考生本次测试选择题所得分数的散布列．
解 (1) 设选对一道“能清除
2 个选项的题目”为事件
A ，选对一道“能清除 1 个选项
的题目”为事件 B ，则
P(A) ＝ 1 ， P(B) ＝
1
.该考生选择题得 50 分的概率为
2
3
P(A) ·P(A) ·P(B) ·P(B) ＝ 1 2 1 2
1
. 2 × 3 ＝
36 (2) 该考生所得分数 X ＝ 30,35,40,45,50.
1
2
1 2 1
P(X ＝ 30) ＝ 2 × 1－ 3 ＝ 9 ， 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 P(X ＝ 35) ＝ C 2 2 · 3 ＋ 2 · C 2·
3×3＝ 3，
1 2 2 2 1 1 2 1
1 2 1 2 1 2 13
P(X ＝ 40) ＝ 2 × 3 ＋C 2· 2 · C 2 · 3×3＋ 2 × 3 ＝ 36，
1 1 2
1 2 1 2 1 1 2 1
P(X ＝ 45) ＝ 2
· ＋
· 2·×＝，
C 2
3 2
C 3
3 6
1
2
1 2 1 P(X ＝ 50) ＝ 2 ×
3 ＝36. 该考生所得分数 X 的散布列为
X 30 35 40 45 50
P
1
1 13
1
1
9 3 36
6
36
2．(2014 ·陕西卷 ) 在一块耕地上栽种一种作物，每季栽种成本为 1 000 元，此作物的
市场价钱和这块地上的产量均拥有随机性，且互不影响，其详细状况以下表：
作物产量 ( kg) 300 500
概率0.5 0.5
作物市场价钱 ( 元 / kg) 6 10
概率0.4 0.6
(1)设 X 表示在这块地上栽种 1 季此作物的收益，求 X 的散布列；
(2) 若在这块地上连续 3 季栽种此作物，求这 3 季中起码有 2 季的收益许多于 2 000 元的概率．
解(1) 设 A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价钱为 6 元 / kg”，由题设知 P(A) ＝ 0.5 ， P(B) ＝ 0.4 ，
∵收益＝产量×市场价钱－成本，
∴X全部可能的取值为
500×10－ 1 000 ＝4 000,500 ×6－ 1 000 ＝2 000 ，
300×10－ 1 000 ＝2 000,300 ×6－ 1 000 ＝800.
P(X＝ 4 000) ＝ P( A )P( B ) ＝ (1 －0.5) ×(1 － 0.4) ＝0.3 ，
P(X＝ 2 000) ＝ P( A )P(B) ＋P(A)P( B ) ＝ (1 －0.5) ×0.4 ＋0.5 ×(1 － 0.4) ＝ 0.5 ，
P(X＝ 800) ＝ P(A)P(B) ＝0.5 ×0.4 ＝ 0.2 ，
所以 X 的散布列为
X 4 000 2 000 800
P 0.3 0.50.2
(2) 设 C i表示事件“第i 季收益许多于 2 000 元” (i ＝ 1,2,3) ．
由题意知C1， C2， C3互相独立，由(1) 知，
P(C i ) ＝ P(X＝ 4 000) ＋ P(X＝ 2 000) ＝0.3 ＋ 0.5 ＝ 0.8(i ＝ 1,2,3) ，
3 季的收益均许多于 2 000 元的概率为
P(C1C2C3) ＝ P(C1)P(C 2)P(C 3) ＝ 0.8 3＝0.512；
3 季中有 2 季收益许多于 2 000 元的概率为
P( C1 C2C3) ＋ P(C1 C2 C3) ＋ P(C1C2 C3 ) ＝3×0.8 2×0.2＝0.384，
所以，这 3 季中起码有 2 季的收益许多于 2 000 元的概率为0.512 ＋ 0.384 ＝ 0.896.。