二、两阶段单纯形法

对线性规划的可行域而言，单纯形法实质上是进行同 解变换。因而上述方程组与原问题（LP）1的约束方程 组的解集相同，且由于已有一个标准基，故可用它取 代原问题（LP）1的约束方程组，再利用第四节中的单 纯形法求解。
（2）某个人工变量ys还是基变量。这时，显然有 表1-13中第s行等价于如下方程：
bs ys 0
表1-14中，
yi是人工变量 i 对应的检验数 dij是人工变量 i y , y
的系数
yi , j 都非正, 且由于- 显然，所有的检验数 是最优值，故必有 * 0 * (1)若 0 ，则可断言原问题（LP）1没有可行解
假设（LP）1有行解
*
X，则有
AX b, X 0
1．人工变量的引入 设原问题为
( LP)1 :
max Z CX s.t. AX b X 0
引入人工变量
y1 ,, ym
，构造新规划
( LP)II :
max W - y1 - y 2 - - y m s.t. IY+AX b Y 0, X 0
其中
，
Y ( y1 , y2 , ym )
0.25
-0.5 -0.375 -1.5
0
1 0 0
1
0 0 0
0.5
0 0.25 0
0
0 1 0
2
0 4 0
本节课结束! 谢谢!!
表1-15 cj 初 始 表 -1 0 0 0 0
y
0 1 0 0
x1
1 2 2 1
x2
（1） 3 3 1
x3
1 0 0 1
x4
0 -1 -1 0 1 6 6 1
1
（2）第二阶段：用第一阶段所得的含标准基的约束
方程组取代原问题的约束方程组，再用单纯形法求解。
例1.14 试用两阶段单纯形法求解
max Z - x1 x2 - 3x3 s.t. 2 x1 x2 x1 0, j 1,2,3
解法
4
1.5 x1 x2 x3 7
例1.15 求解线性规划
0
x2 （1） 3
0
x3 1 0
0
x4 0 -1 1 4
0
0 1 0
2
1 -1 -1
3
1 0 0
0
1 -3 -3
-1
0 -1 -1
返回
7
1 3 3
1.14解 第一阶段：由于原问题只有两个约束，且系数 矩阵又有一个单位向量，故只需再引入一个人工变量y 就可以获得单位矩阵，构造新规划如下： max W - y s.t. y 2 x1 x2 4 1.5 x1 x2 x3 7 y 0, x j 0, j 1,2,3
1.5x1 x2 x3 7
方程组等价于：
x1 0.5x2
2
0.25x2 x3 4
与例1.14第一阶段的最后结果完全相同。转入第 二阶段后，其过程与结果也应与表1-17相同。
表1-18 cj 初 始 表 -1 y1 1 0 0 0 -1 y1 0 1 0 0 0 x1 （4） 2 1.5 6 0 x2 2 1 1 3 0 x3 0 0 1 0 b 8 4 7 12
d si yi a x j bs 0 （1-19） sj
对（1-19）式可分两种情形进行讨论： 1）（1-19）式中所有的 a 均为零。注意到所有的 sj
yi 都为零。 （1-19）式实际上是恒等式
0=0
说明表1-14的第s行是多余的、无意义的，应从表1-14 中删除掉，约束方程减为m-1个，最优表中出现一个 m-1阶的单位矩阵，正好可作为初始下3个特 （1）（LP）II存在可行解，例如取Y=b， X=0，就得到一个可行解。 （2）（LP）II 必有最优解。这是因为，由 于（LP）II有可行解，且yi非负， 故（LP）II的最大值上有界，不会超零。 （3） （LP）II存在一个标准基。 基于以上几点，可以用单纯形法求解（LP）II， 设其最优单纯形法为表1-14。 表1-14中，
0.5 -0.75
-1
0
0
0
0
第二阶段：去掉第一阶段结果中的人工变量y，剩余 部分用以替换原问题的约束方程组，则可得原问题的 等价形式为：
max Z - x1 x2 - 3x3 s.t. x1 0.5 x2 x j 0, j 1,2,3
用单纯形法求解，其过程及结果见表1-17。从该表中
例114试用两阶段单纯形法求解解法例115求解线性规划注意前两个约束实际是同一约束故其中之一是多余约束试观察多余约束是如何在迭代计算过程中被除解法113解将原问题标准化再引入人工变量y构造新规划
二、两阶段单纯形法
两阶段单纯形法也是一种人工变量法，它的 算法可分为两个阶段： 第一阶段，引入人工变量，构造一个具有标 准基的新线性规划，求解这个新线性规划，其 结果将有两种可能：或者将原问题的约束方程 组化成具有标准基的形式，或者提供信息，表 明原问题有可行解。 第二阶段，利用第一阶段所得的标准基， 对原问题求解。
n
* 0
bm
例1.13 求
max Z 3x1 - 2 x 2 s.t. x1 x 2 1 2 x1 3x 2 6 x1 0, x 2 0
解法
2．两阶段单纯形法的步骤 （1）第一阶段：首先将原问题标准化，得到（LP）1 形式，再引入必要的人工变量 yi ，构造新的 线性 规划（LP）1 ，并用单纯形法解新规划（LP）1， 得到形如表（1-14）的最优单纯形表。若该表中的 * ，则表明原问题没有可行解，应停止计算； 0 * 0，表明已将原问题的约束方程组变换成了 若 含有标准基的同解方程组，转（2）。
max W - y s.t. x1 x 2 x3 1 y 2 x1 3x 2 - x4 6 y 0, x1 , x2 , x3 , x4 0
其求解过程及结果见表1-15。 * 从表1-15可以看出 3 0 表明原问题无可行解。 事实上，容易验证，当 x1 , x 2 均非负时，原问题的两个
-4.5
0
0
再看一例
5
1.15解 引入人工变量
y1 , ，构造新规划为 y2
max W - y1 - y 2 s.t. y1 4 x1 2x 2 y 2 2 x1 x2 8 4
*
其计算过程及结果见表1-18。在表1-18中， 0 且行中，x j 的系数以及 b2 全为零，故原问题的约束
* 0 本阶段的计算过程及结果见表1-16，在表1-16中，
人工变量全部为非基变量，
原问题已得到标准基 ( x1 , x3 )
表1-16 cj -1 y 0 x1 0 x2 0 x3 b
初 始 表
1
0 0
（2）
1.5 2 1 0
1
1 1 0.5 0.25
0
1 0 0 1
4
7 4 2 4
最 优 表
max Z - x1 x2 - 3 x3 s.t. 4 x1 2 x2 2 x1 x2 x j 0, j 1,2,3
注意前两个约束实际是同一约束，故其中之一是多余 约束，试观察多余约束是如何在迭代计算过程中被除 去的。
8 4
1.5 x1 x2 x3 7
解法
1.13解 将原问题标准化，再引入人工变量y，构造新规划：
0
-1
-1
0
0
-3
-3
-1
-1
3
3
，
不等式约束是互不相容的。 (2)若 * 0 注意目标函数的表达式，可知必有 yi 全为零，
可分两种情形讨论：
（1）人工变量 yi全部是非基变量。不失一般性，可设
x1 ,, x m 是基变量，则表1-14等价于如下方程组：
x1 a1.m1 xm1 a1n xn b1 xm am.m1 xm1 amn xn bm
2）（1-19）式中的 a 不全为零，例如某个 a 非零。 sj sj 此式，可用 a 为主元，进行换基迭代，变量 X sk sj 入基，而人工变量 yi 出基。由于有 此时将产生一个退化的基可行解。
bs 0
两阶段单纯行法的步骤为:
表1－15
cj
初 始 表
-1
y 0 1
-1
x1 1 2
那么， 0, X ) 则是（LP）II的一个可行解，且对应的 ( 目标值为
W 0 -
*
，这与
-
*
是最优值相矛盾。
表1－14
y1
d11
ym
x1
xn
a1n
b
d1m a11
b1

d m1
d mm
a m1
1
a mn
y1
ym
可以知道，原问题的最优解为
2
0.25x2 x3 4
X x (0,4,3)T , 最优值Z x -5
表1-17 cj 初 始 表 -1 x1 1 0 0 最 优 表 2 -0.5 1 x2 （0.5） 0.25 2.25 1 0 -3 x3 0 1 0 0 1 b 2 4 14 4 3