1.5(人教版老教材)正态分布

2.3−1 P(ξ ≥ 2.3) =1− P(ξ < 2.3) =1−Φ( ) =1−Φ(0.65) =1− 0.7422 = 0.2578 2
(2)由P(ξ ≥ C ) = 2 P(ξ ≤ C )得1 − P(ξ < C ) = 2 P(ξ ≤ C )则有 C −1 C −1 C −1 1 − Φ( ) = 2Φ ( ).即3Φ ( ) = 1, 2 2 2 C −1 1 C −1 即Φ ( ) = , 查表得： = 0.60, 解得C = 2.2 2 3 2
６．假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图 （１）假设检验 假设检验是就正态总体而言的， 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步 １）提出统计设计，统计假设里的变量服从正态分布 N ( µ , σ ) 提出统计设计， ２）确定一次实验中的取值a是否落入范围 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 确定一次实验中的取值a是否落入范围 ３）作出推断： 作出推断： 如果 a ∈ ( µ − 3σ , µ + 3σ ) ，接受统计假设
(2)走第一条路线及时赶到的概率为 65 − 50 P ( 0 < ζ ≤ 65 ) ≈ Φ = Φ (1.5 ) = 0.9332 10 走第二条路线及时赶到的概率为 65 − 60 P ( 0 < ζ ≤ 65 ) ≈ Φ = Φ (1.25 ) = 0.8944 4 因此在这种情况下应走第一条路线。
（2） P ξ > C ) = 1 − P (ξ ≤ C )又（ξ > C ) = P (ξ ≤ C ) ∴（ P C −3 ) = 0.5 ∴ P(ξ ≤ C ) = 0.5而P(ξ ≤ C ) = Φ ( 2 C −3 = 0,∴ C = 3 查Φ ( x)表，得Φ (0) = 0.5, 2
变式：设ξ ~ N(1,22 )，试求:(1)P(0<ξ ≤ 2),P(5<ξ<7),P(ξ ≥ 2.3) (2)求常数C，使P(ξ ≥ C)=2P(ξ ≤ C). 2 −1 0 −1 解(1) P(0 < ξ ≤ 2) = Φ ( ) − Φ( ) = Φ (0.5) − Φ (−0.5) 2 2 = Φ (0.5) − [1 − Φ (0.5) ] = 2Φ (0.5) − 1 = 2 × 0, 6915 − 1 = 0.3830
( x0 ≥ 0)
的值 Φ ( x0 ) 是指总体
Φ ( x0 ) = P ( x < x0 )
在表中直接查到
x0 < 0的 Φ( x0 ) 值，可用 Φ ( x0 ) = 1 − Φ ( − x0 ) 求出 （３）标准正态总体在任一区间 ( x1 , x2 ) 内取值的概率为
（２）若
P = Φ
( x 2 ) − Φ ( x1 )
( − x )2 − 2
x2 2 x （2）解x ∈ R, x ∈ [ 0, +∞ ) ,∴− ∈ ( −∞, 0] ,∵ 又y = e 为增函数 2 ∴e
x2 − 2
1 = e 2π
x2 − 2
= f ( x) ∴ f ( x)是偶函数
≤ e = 1.∴ f ( x) max
0
1 = f (0) = 2π
步步高例题
例 1： 正 态 总 体 µ = 0， σ =1时 的 概 率 密 度 函 数 是 f(x) = 1 e 2π
x2 − 2
,x∈ R
(1)证明f(x)是偶函数;(2)求f(x)的最大值;(3)利用指数函数的性质说明 f(x)的增减性.
（）证明：设任意x ∈ R 1 1 f (− x) = e 2π
５．标准正态分布与一般正态分布的关系 一般正态总体均可化为标准正态总体 （１）对任一正态总体 N
x−µ F (x) = Φ σ 2 （２）正态总体 N µ , σ 在区间 ( a , b ) 内取值的概率
( µ , σ ) ，取值小于 x 的概率
2
(
)
b−µ a−µ F ( a < x < b) = Φ −Φ σ σ
( x −1 ) 2 −
4
x2 2
例2：ξ ~ N ( 3，2 )，借助于Φ ( x ) 表，求:(1)P(-2<ξ <7); 2 (2)确定C的值，使得P(ξ > C )=P(ξ ≤ C) 7−3 −2 − 3 解(1) P(−2 < ξ < 7) = Φ ( ) − Φ( ) = Φ (2) − Φ (−2.5) 2 2 = Φ (2) − [1 − Φ (2.5) ] = 0.9772 − (1 − 0.9938) = 0.9710
由于是小概率事件， 如果 a ∉ ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 由于是小概率事件，就拒绝统计假设
(2)生产过程中质量控制图及其原理 生产过程中质量控制图及其原理
µ
控制上界
µ + 3σ
µ
x 控制下界
µ − 3σ
时间
µ − 3σ
µ + 3σ
图１－５－３ 图１－５－２ 质量控制图是在进行质量管理的有力工具， 质量控制图是在进行质量管理的有力工具，是根据假设检验的基 本思想操作的 将正态分布曲线（如图１ 顺时旋转９０ ９０度即可得到控 将正态分布曲线（如图１－５－２）顺时旋转９０度即可得到控 制图．如图１ 制图．如图１－５－３
x x 图１－５－２中的直线 x = µ ， = µ − 3σ ， = µ + 3σ 分别 成为图１ 之中的中心线，控制下界和控制上界． 成为图１－５－３之中的中心线，控制下界和控制上界．在生产过 程中，从某一时刻起，每隔１小时，对检查对象任取一个进行检查， 程中，从某一时刻起，每隔１小时，对检查对象任取一个进行检查， 并把其结果用圆点在图１ 上表示出来， 并把其结果用圆点在图１－５－３上表示出来，为了便于考察圆点 的变动趋势，常用折线把它们连接起来．若点在控制界内， 的变动趋势，常用折线把它们连接起来．若点在控制界内，则服从 假设；否则， 假设；否则，要拒绝假设
( x−µ) 2 −
2σ 2
f ( x) =
1 2πσ
e
பைடு நூலகம்
x ∈ R
是参数， 式中实数 µ , σ (σ > 0 ) 是参数，分别表示总体的平 均数与标准差．当这个总体是有无限容量的抽象总体， 均数与标准差．当这个总体是有无限容量的抽象总体， 其分布叫正态分布． 其分布叫正态分布． 正态分布由参数 记为 N µ , σ 2
x2 1 t (3)令t = − , 则f ( x) = e ,∵ f ( x)关于t是增函数。 2 2π x2 t = − ,当x ∈ ( 0, +∞ ) 时, t关于x是减函数 2 当x ∈ ( −∞, 0 ) 时, t关于x是增函数。由复合函数单调性可知， 1 + e 当x ∈ ( 0， ∞ ) 时，f ( x) = 2π 1 当x ∈ ( −∞, 0 ) 时，f ( x) = e 2π
(
)
µ ,σ
唯一确定， 唯一确定，正态分布常
（２）正态曲线
f ( x) =
1 2π σ
e
( x − µ )2 −
2σ 2
x ∈ R
（１）
的图象被称为正态曲线 书中图１－４画出了三条正态曲线．观察图形可知：正态曲线 书中图１ 画出了三条正态曲线．观察图形可知： 具有两头低，中间高， 具有两头低，中间高，左右对称的基本特征 ２、标准正态总体与标准正态曲线 在函数（ 在函数（１）中，当 µ = 0, σ 体，相应的函数表达式为
变式; 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 ζ（单位：h),已知 ζ ~ N(1000,302)要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7% 问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上? 解:因为灯泡的使用寿命 ζ ~ N(1000,302), 故 ζ 在 1000 + 3 × 30） 的概率为99.7% ,即 ζ (1000-3 ×30， 在(910,1090)内取值的概率为99.7%,故灯泡最低使用寿 命应控制在910小时以上.
= 1时的正态总体称为标准正态总
,x∈ R
f
(x ) =
1 e 2π
x2 − 2
相应的曲线称为标准正态曲线．简记为：Ｎ（０ 相应的曲线称为标准正态曲线．简记为：Ｎ（０，１） ：Ｎ（
3.正态曲线的性质 正态曲线的性质 (1).曲线在 x 轴的上方 与 x 轴不相交 曲线在 轴的上方,与 (2).曲线关于直线 曲线关于直线 (3),曲线在 曲线在
x=µ
x=µ
对称
时位于最高点
(4).当 x < µ 时,曲线上升 当 x >µ 时,曲线下降 并且当曲 当 曲线上升;当 曲线下降,并且当曲 曲线上升 曲线下降 线向左,右两边无限延伸时 右两边无限延伸时,以 轴为渐近线,向它无限靠近 线向左 右两边无限延伸时 以 x 轴为渐近线 向它无限靠近 (5)当 µ 一定时，曲线的形状，由σ 确定，σ 越大，曲线越“矮 确定， 越大，曲线越“ 当 一定时，曲线的形状， σ 表示总体的分布越分散， 越小，曲线越“瘦高” 胖”表示总体的分布越分散， 越小，曲线越“瘦高”表示总 体的分布越集中 ４．标准正态分布表 （１）标准正态分布表中相应与 x0 . 的概率， 取值小于 x0 的概率，即
x2 − 2
是减函数，
x2 − 2
是增函数，
变式： 变式：下列函数是正态密度函数的是 （Ｂ） 2 (x − µ ) 1 A. f ( x ) = e , µ , σ (σ > 0 ) 都是实数 2 2σ 2πσ
2π − x 2 B. f ( x ) = e 2π 2 1 C. f ( x ) = e 2 2π D. f ( x ) = 1 e 2π
方法小结
对于服从正态分布η ~ N ( µ，σ 2 )，求P (η < a )， 即求面积，要注意转作为 标准正态分布，要转化为随机变量取正值的情况，即 a −u P (η < a ) = F ( a ) = Φ σ
7 −1 5 −1 P 5 < ξ < 7) = Φ( （ ) −Φ( ) = Φ(3) −Φ(2) = 0.9987 − 0.9773 = 0.0214 2 2
例3:某人从城市南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两 条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所 需时间(单位:分)服从正态分布N(50,10)第二条路线沿环城 公路走,路线较长,但交通堵塞少,所需时间服从正态分布 N(60.42).(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线?(2)若只 有65分钟可用,又应走哪条路线?
1.5正态分布 学习目标: 学习目标: 1.了解正态分布的概念, 1.了解正态分布的概念, 了解正态分布的概念
2.理解标准正态曲线, 2.理解标准正态曲线, 理解标准正态曲线
3.理解正态曲线的性质和会查标准正态分布表 3.理解正态曲线的性质和会查标准正态分布表
正态分布 １．正态分布与正态曲线 （１）如果随机变量的概率密度为
解：设ζ 为行车时间 70 − 50 0 − 50 （）走第一条路线，及时赶到的概率为（ < ζ ≤ 70） Φ 1 P0 = −Φ 10 10 70 − 50 ≈ Φ = Φ( 2) = 0.9722 10 70 − 60 走第二条路线及时赶到的概率为（ < ζ ≤ 70） Φ P0 ≈ 5) = Φ( 2。 = 0.9938 40 因此在这种情况下应走第二条路线。